南航理學(xué)院《復(fù)變函數(shù)與積分變換》積分變換第7講

1、積分變換第7講,本文件可從網(wǎng)址 .com (單擊ppt講義后選擇工程數(shù)學(xué)子目錄),拉氏逆變換,前面主要討論了由已知函數(shù)f(t)求它的象函數(shù)F(s), 但在實(shí)際應(yīng)用中常會碰到與此相反的問題, 即已知象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù)f(t). 本節(jié)就來解決這個問題.由拉氏變換的概念可知, 函數(shù)f(t)的拉氏變換, 實(shí)際上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏變換.,因此, 按傅氏積分公式, 在f(t)的連續(xù)點(diǎn)就有,等式兩邊同乘以ebt, 則,右端的積分稱為拉氏反演積分, 它的積分路線是沿著虛軸的方向從虛部的負(fù)無窮積分到虛部的正無窮. 而積分路線中的實(shí)部b則有一些隨意, 但必須滿足的條件就是e-btf(t)

2、u(t)的0到正無窮的積分必須收斂. 計算復(fù)變函數(shù)的積分通常比較困難, 但是可以用留數(shù)方法計算.,定理 若s1, s2, ., sn是函數(shù)F(s)的所有奇點(diǎn)(適當(dāng)選取b使這些奇點(diǎn)全在Re(s)b的范圍內(nèi)), 且當(dāng)s時, F(s)0, 則有,什么叫一個復(fù)變函數(shù)f(s)的奇點(diǎn)?那就是此函數(shù)沒有定義的點(diǎn), 或者說是取值無窮大的點(diǎn).例如函數(shù),在0, 2, -3處有三個奇點(diǎn), 可記為s1=0, s2=2, s3=-3,假設(shè)s0是f(s)的一個奇點(diǎn), 則f(s)總可以在s0處展開為羅朗級數(shù), 形式為:,其中-1次方項(s-s0)-1的系數(shù)c-1就稱為f(s)在s0點(diǎn)處的留數(shù), 記作 Resf(s),s0=

3、c-1 或,圍繞著f(s)的奇點(diǎn)s0的附近繞一圈環(huán)的積分就等于,其中C是只圍繞s0轉(zhuǎn)一圈的任意閉合曲線.,如果函數(shù)f(s)有s1,s2,.,sn共n個奇點(diǎn), 閉合曲線C包圍了這n個奇點(diǎn), 則,定理的證明 作下圖, 閉曲線C=L+CR, CR在Re(s)b的區(qū)域內(nèi)是半徑為R的圓弧, 當(dāng)R充分大后, 可以使F(s)est的所有奇點(diǎn)包含在閉曲線C圍成的區(qū)域內(nèi).,R,O,實(shí)軸,虛軸,L,CR,b+jR,b-jR,b,根據(jù)留數(shù)定理可得,在上式左方取R的極限, 并根據(jù)Jordan引理, 當(dāng)t0時, 有,最常見的情況, 是函數(shù)F(s)是有理函數(shù), 即,其中A(s)和B(s)是不可約的多項式, B(s)的次數(shù)

4、是n, A(s)的次數(shù)小于B(s)的次數(shù), 這時F(s)滿足定理所要求的條件.,如果一元n次方程B(s)=0只有單根, 這些單根稱作B(s)的一階零點(diǎn), 也就是,如方程B(s)=0有一個二重根s1, 稱s1為B(s)的二階零點(diǎn), 也是F(s)est的二階極點(diǎn), 這時F(s)est在s=s1處可展開為羅朗級數(shù), 其形式為:,還可以用部分分式和查表的辦法來求解拉氏反變換. 根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)以及,最后得,卷積,1. 卷積的概念 在第一章討論過傅氏變換的卷積的性質(zhì). 兩個函數(shù)的卷積是指,如果f1(t)與f2(t)都滿足條件: 當(dāng)t0時, f1(t)=f2(t)=0, 則上式可以寫成,今后如不特別聲明

5、, 都假定這些函數(shù)在t0時恒等于零, 它們的卷積都按(2.20)式計算,t,O,f1(t),f2(t),t,O,f1(t),t,按(2.20)計算的卷積亦有|f1(t) * f2(t)|f1(t)| * |f2(t)|,它也滿足交換律: f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t)同樣, 它還滿足結(jié)合律與對加法的交換律, 即 f1(t) * f2(t) * f3(t) = f1(t) * f2(t) * f3(t) f1(t) * f2(t) + f3(t)= f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t),例1 求t * sin t,卷積定理假定f1(t), f2(t)滿足拉氏變換存在定理中的條件, 且L f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s), 則 f1(t) * f2(t)的拉氏變換一定存在, 且,t=t,t,O,t,由于二重積分絕對可積, 可以交換積分次序,令t-t=u, 則,不難推證, 若fk(t)(k=1,2,.,n)滿足拉氏變換存在定理中的條件, 且L fk(t)=Fk(s) (k=1,2,.,n)則有 L f1(t) * f2(t)