矢量分析與場論講義PPT

1、1 場的概念（Field）,一、場的概念,場是用空間位置函數(shù)來表征的。若對全空間或其中,某一區(qū)域 V 中每一點 M, 都有一 個數(shù)量 (或矢量) 與,之對應(yīng), 則稱在 V 上確定了一個 數(shù)量場 (或矢量場).,場都是矢量場。,例如: 溫度場和密度場都是數(shù)量場, 重力場和速度,若場中物理量在各點處的對應(yīng)值不隨時間變化，,就稱為穩(wěn)定場，否則，稱為不穩(wěn)定場。,注,引入或選擇某種坐標系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來,進行計算和研究它的性質(zhì).,2.場的性質(zhì)是它本身的屬性, 和坐標系的引進無關(guān).,場的特點：分布于整個空間，看不見，摸不著，只能借助儀器 進行觀察測量，靠人腦去想像其分布情況； 具有客觀物質(zhì)的一切特

2、征，有質(zhì)量、動量和能量。,3、描述方法,函數(shù)表示法：借助一定坐標系下的函數(shù)來表示場的分布。對矢量場，用 ；數(shù)量場常用 表述。,幾何表示法，也叫圖示法：用能反映場性質(zhì)和分布的一族曲線或曲面表示場的分布特征，分別稱為矢量線（像電力線、磁力線）；等值面（像等溫面，等位面）。,二、數(shù)量場、矢量場的描述方法,以下討論中總是設(shè)它對每個變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。,因此給定了某個數(shù)量場就等于給定了一個數(shù)性函數(shù),在引進了直角坐標系后, 點 M 的位置可由坐標確定。,同理,每個矢量場都與某個矢性函數(shù),并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。,數(shù)量場的等值面（線）： 是由場中使u取相同數(shù)值的點所組成的曲面。,等值線,在某一高度上

3、沿什么方向高度變化最快？,直觀表示數(shù)量u在場中的分布。,以溫度場為例：,熱源,等溫面,等值面舉例,可以看出：數(shù)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。,矢量場的矢量線： 矢量線上每一點處曲線與對應(yīng)于該點的矢量相切。,直觀描述矢量在場中的分布情況。,2. 矢量線連續(xù)分布，一般互不相交。,圖2 矢量線,l,觀察： 1.在曲線上的每一點M處， 場的矢量都位于該點處的切線上（如圖所示），稱其為矢量線。例：靜電場電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等。,矢量線的微分方程： M點位置,矢量線l 微分,場矢量,l,矢量線在這點的切線的方向余弦和矢量線上的 成比例，從而得到矢量線應(yīng)滿足的微分方程,在場矢量

4、 不為零的條件下，由線性微分方程組的理論可知所考慮的整個場被矢量線所填滿，而通過場中每一點有一條且只有一條這樣的曲線，且過不同的點的兩條矢量線沒有公共點。,例2 求矢量場,的矢量線方程。,【例1】 設(shè)點電荷q位于坐標原點，它在空間一點M(x,y,z)處所產(chǎn)生的電場強度矢量為 式中，q、均為常數(shù)， r=xi+yj+zk為M點的位置矢量。求E的矢量線方程并畫出矢量線圖。,解題過程：,圖 點電荷的電場矢量線 (P27),2、方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)是數(shù)性函數(shù) 在一點處沿任意方向 對距離的變化率，它的數(shù)值與所取 的方向有關(guān)， 一般來說，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如圖所示， 為場中的任意

5、方向，M0是這個方向線上給定的一點，M為同一線上鄰近的一點。,為M0和M之間的距離，從M0沿 到M的增量為 若下列極限 存在，則該極限值記作 ，稱之為數(shù)量場 在M0處沿 的方向?qū)?shù)。,例題,例1 求函數(shù),方向的方向?qū)?shù)。,例3 設(shè),例4 求數(shù)量場,方向的方向?qū)?shù)。,3、梯度 由于從一點出發(fā)，有無窮多個方向，即數(shù)量場,沿某一確定方向取得 在該點的最大方向?qū)?shù)， 則可引進梯度概念。,在一點處的方向?qū)?shù)有無窮多個，其中，若過一點,梯度：（場在某點的梯度為一矢量）它的大小等于所有方向?qū)?shù)的最大值，它的方向為取得最大值的方向。,梯度(Gradient),當 ,即 與,方向一致時, 為最大。,方向?qū)?shù)與梯

6、度的關(guān)系： 是等值面 上p1點法線方向單位矢量。它指向 增長的方向。 表示過p2 點的任一方向。 易見，,所以 即,該式表明： 即沿某一方向的方向?qū)?shù)就是梯度在該方向上的投影。 梯度的概念重要性在于，它用來表征數(shù)量場 在空間各點沿不同方向變化快慢的程度。 4、 算符（哈密頓算符） 算符既具有微分性質(zhì)又具有方向性質(zhì)。在任意方向 上移動線元距離dl， 的增量 稱為方向微,分，即 顯然，任意兩點 值差為,總結(jié)：數(shù)量場梯度的性質(zhì),（1）數(shù)量場沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。 （2）數(shù)量場在任一點的梯度垂直于過該點的等值面，且指向場增大的一方。（注意：等值面的法向有兩個） （3）一個數(shù)量場的

7、梯度（一旦）確定，則該數(shù)量場也隨之確定，最多相差一個任意常數(shù),標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）,數(shù)量場沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。,例1 三維高度場的梯度,圖 三維高度場的梯度,例2 電位場的梯度,圖 電位場的梯度,高度場的梯度,與過該點的等位線垂直；,數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)；,3 矢量場的通量與散度,1、通量 一個矢量場空間中，在單位時間內(nèi)，沿著矢量場 方向通過 的流量是dQ，而dQ是以ds為底，以v cos為高的斜柱體的體積，即 稱為矢量 通過面元 的通量。 對于有向曲面s，總可以 將s分成許多足夠小的面元 ， 于是,通過曲面s的通量f即為每一面元通量之和

8、 對于閉合曲面s，通量f為,向量場 沿選定方向的曲面S的面積分,定義,稱為 向曲面指定一側(cè)穿過曲面S的通量。,例題,例1 設(shè)由矢徑,圓錐面,曲面S。,P55 3. 求矢量場,所圍成的封閉,有一由,如果曲面s是閉合的，并規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：,（）,（）,（）,表示有凈的矢量線流入，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；,表示有凈的矢量線流出，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；,表示流入和流出閉合曲面的矢量線相等或沒有矢量線流入、流出閉合曲面,閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉 合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系,若S 為閉合曲面，可根據(jù)凈通量 的大小判斷閉合面中

9、源的性質(zhì):, 0 (有正源), 0 (有負源), = 0 (無源),2、散度 設(shè)封閉曲面s所包圍的體積為 ，則,就是矢量場 在 中單位體積的平均通量，或者 平均發(fā)散量。當閉合曲面s及其所包圍的體積 向 其內(nèi)某點 收縮時，若平均發(fā)散量的極限值存在， 便記作,稱為矢量場 在該點的散度(div是divergence的縮寫)。,散度的重要性在于，可用表征空間各點矢量場發(fā)散的強弱程度，當div ，表示該點有散發(fā)通量,的正源；當div ，表示該點有吸收通量的負源； 當div ，表示該點為無源場。,的散度為,定理,重 點,散度(Divergence)的表達式,直接從散度的定義出發(fā)，不難得到矢量場 在空間任意

10、閉合曲面的通量等于該閉合曲 面所包含體積中矢量場散度的積分。 上式稱為矢量場的Gauss定理。,積分的Gauss定理,注：它能把一個閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對 該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。,推論2 若處處散度為0，則通量為0. 推論3 若某些點（或區(qū)域）上有散度不為0或不存 在，而在其他點上都有散度為0，則穿出包圍這些點（或區(qū)域）的任一封閉曲面的通量都相等，為一常數(shù)。 電學(xué)上的高斯定理： 穿出任一封閉曲面S的電通量，等于其內(nèi)各點電荷的代數(shù)和。 高斯定理,4 矢量場的環(huán)量及旋度(Rotation),1. 矢量場的環(huán)量,定義：線矢量l: 矢量場A中的 一條封閉的有向曲線 環(huán)量：（圖2） 性質(zhì)：

11、 是標量 0，l 內(nèi)有旋渦源 =0，l 內(nèi)無旋渦源,圖2 矢量場的環(huán)量(P56),定義,線積分,向量場 沿空間有向閉曲線 l 的,稱為 沿閉曲線l的環(huán)量。,環(huán)量的表達式,圖3 閉合曲線方向與面元的 方向示意圖 (P59),定義：若 存在，則 稱此極限為矢量場 A沿l之正向的環(huán)量 在點P處沿n方向的 環(huán)量面密度。,性質(zhì)：l圍成的面元法矢量 旋渦面的方向 矢量R 在任意面元方向上的投影就給出該方向的環(huán)量面密度 方向為環(huán)量面密度最大的方向；模為最大環(huán)量面密度的值 旋度的定義 定義：固定矢量R為矢量A的旋度，記作 ：rot A=R,R,圖4 旋度及其投影,旋度矢量R在n方向的投影:,渦量（或環(huán)量面密度

12、）,旋度,矢量場在某點的旋度，其大小為該點渦量的最大值，方向為使得該點渦量取最大值的方向,物理意義：是場在矢量方向上旋轉(zhuǎn)性的強弱,旋度(Rotation or Curl),簡單地說,旋度是個矢量，它的物理意義 是場在該矢量方向上旋轉(zhuǎn)性的強弱。,利用環(huán)量與旋度(它可以從整體上描述場旋,轉(zhuǎn)的強度)，我們可以用向量的形式重寫,Stokes公式。,小結(jié),1、散度（流出的量） 發(fā)散源 通量即該矢量(的垂直平面分量)穿過平面的大小 一般點的散度為0 ，散度不為0的點表示該點有提供源 (source) 散度是標量，物理意義為通量源密度，可以從Gauss公式理解 散度為零，說明是無源場；散度不為零時，則說明是

13、有源場（有正源或負源）,矢量場,2、旋度（沒有流出的量） 旋渦源 旋度即該矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即大小/面積) 旋度不為0表示有量在該平面“逗留” 旋度是矢量；其物理意義為環(huán)量密度，可以從Stokes公式里理解 旋度為零，說明是無旋場；旋度不為零時，則說明是有旋場,一、無旋場,5 幾種重要的矢量場,無旋場,有勢場,保守場,空心球體,環(huán)面體,二、無源場,矢量管：矢量線構(gòu)成的管形曲線（矢量線與曲面重合）,矢量場的Helmholtz定理 空間區(qū)域V上的任意矢量場，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一無源矢量場的疊加，即：,三、管形場

14、與有勢場,式知道, 此時沿任何封閉,曲面的曲面積分都等于零.,中作一矢量管 (圖2), 即由矢量線圍成的管狀的,若一個矢量場 的散度恒,為零, 即 我們曾,稱 為無源場. 從高斯公,我們又把 稱作管形場. 這是因為, 若在矢量場,S. 于是由(1)式得出,這等式說明了流體通過矢量管的任意斷面的流量是,間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于,相同的, 所以把場 稱為管形場.,若一個矢量場 的旋度恒為零, 即 我們在,前面稱 為無旋場. 從斯托克斯公式知道, 這時在空,由定理1推得空間曲線積分與路線無關(guān), 且存在,即,個矢量場是某個數(shù)量場的梯度場的充要條件.,通常稱v= -u 為勢函數(shù). 因

15、此若某矢量場 的旋度為零,若一個矢量場既是管量場, 又是有勢場, 則稱這個矢,量場為調(diào)和場.,若 是一個調(diào)和場, 則必有,即必有u 滿足,這時稱函數(shù) u 為調(diào)和函數(shù).也有v= -u 為調(diào)和函數(shù)。,顯然,(1)若線積分 的值在G內(nèi)與路徑無關(guān)，,其中A, B 為G 內(nèi)任意兩點；,則稱 為保守場,(2)若在G內(nèi)恒有 ,則稱 為,無旋場;,有勢場，并稱 為 的勢函數(shù).,定義6,設(shè)向量場,(3)若存在G上的函數(shù) ，使 ,則稱 為,定理4,設(shè)G 是單連域，,則以下四個命題等價：,是無旋場，即,沿G內(nèi)任意簡單閉曲線 C 的環(huán)量,與路徑無關(guān)；,是一保守場，即在G內(nèi)線積分,是一有勢場，即在G內(nèi)存在 ，,作證明.

16、它可以看作是 Green 公式的推論.,以下我們只對定理4的2D空間的情況定理,定理,設(shè)區(qū)域,則以下四個命題等價：,在 內(nèi),處處成立,定理4(及定理 )的重要性在于：,給出場論中的一個具有實際意義及數(shù)學(xué)意 義的重要結(jié)論，即：,無旋場,有勢場,保守場,給出了數(shù)學(xué)上判定保守場的多種方法；,特別還給出了求勢函數(shù)的方法：相當于,求某些二元函數(shù)的原函數(shù)的方法，同時,為解全微分方程提供了一種有效的方法。,例1,驗證矢量場,是有勢場，并求其勢函數(shù).,解,因,所以， 為有勢場。,以下介紹兩種求勢函數(shù)方法。,在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇,特殊路徑，用線積分求勢函數(shù)法.,方法1,例4,驗證向量場,是有勢場，并求其

17、勢函數(shù).,解,因,所以， 為有勢場。,以下介紹兩種求勢函數(shù)方法。,在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇,特殊路徑，用線積分求勢函數(shù)法.,方法1,此例選積分路徑由,即：,是 的一個原函數(shù) ( 力函數(shù) )。,勢函數(shù)一般表達式為：,用偏積分求勢函數(shù).,要求函數(shù),即,亦即,先對 式，視 為定數(shù)，兩邊對 積分：,方法2,這個積分“常數(shù)”當然可能是 y 的函數(shù)，,故記作,將(c)式兩端對 y求導(dǎo), 并與,(b)式比較，得：,代入 (c) 式,Stokes定理,Stokes定理實際上將在任一點渦量或旋度定義所反映的與環(huán)量的關(guān)系推廣到任一曲面或閉合回路,方向相反 大小相等 結(jié)果抵消,4、若在空間某一區(qū)域內(nèi)，矢量場的散

18、度和旋度都給定，則該矢量場確定，最多相差一個常數(shù)（由邊界條件所決定,0-3 矢量場的旋度 斯托克斯定理 Rotation of Vector Field, Stokes Theorem,1、矢量場 的環(huán)流 在數(shù)學(xué)上，將矢量場 沿一條有向閉合曲線L（即取定了正線方向的閉合曲線）的線積分 稱為 沿該曲線L的循環(huán)量或流量。 2、旋度 設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點附近，那么,以閉合曲線L為界的面積 逐漸縮小， 也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作 即單位面積平均環(huán)流的極限。它與閉合曲線的形狀無關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向 ，且通常L的正方向與 規(guī)定要構(gòu)成右手螺旋法則，

19、為此定義,稱為矢量場 的旋度（rot是rotation縮寫）。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某點附近各方向上環(huán)流強弱的程度，如果場中處處rot 稱為無旋場。 3、斯托克斯定理（Stokes Theorem） 它能把對任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。,0-4 正交曲線坐標系中 運算的表達式 Expression of Operation on Orthogonal Curvilinear Co- Ordinates System,1、度量系數(shù) 設(shè)x,y,z是某點的笛卡兒坐標，x1, x2, x3是這點的正交曲線坐標，長度元的平方表示為 其中,稱度量

20、系數(shù)（或拉梅系數(shù)），正交坐標系完全由三個拉梅系數(shù)h1, h2, h3來描述。 2、哈密頓算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 在正交曲線坐標系下的一般表達式,其中 為正交曲線坐標系的基矢； 是一個標量函數(shù)； 是一個矢量函數(shù)，只有在笛卡兒坐標系中， ，在其它正交坐標系中,3、不同坐標系中的微分表達式 a) 笛卡兒坐標 x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1,b) 圓柱坐標系 坐標變量: x1= r x2= x3= z 與笛卡兒坐標的關(guān)系： x=rcos y=rsin z= z 拉梅系數(shù): h1=1 h2=r h3=1,將 應(yīng)用于圓柱坐標可得：,c) 球坐標系,z,坐標變量： 與笛卡兒坐標的關(guān)系： 拉梅系數(shù)：,其中,0-5 二階微分算符 格林定理 Second-order Differentiation Operator, Greens Theorem,1、一階微分運算 將算符 直接作用于標量場和矢量場，即分別得到梯度、散度和旋度，即 這些都叫一階微分運算。 舉例： a)設(shè) 為源點