中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題十三：函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題13 函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題【知識(shí)縱橫】 函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合，是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現(xiàn)了一般到特殊的觀念。也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，例求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般通過(guò)函數(shù)解析式組成的方程組來(lái)解決。又如例4復(fù)合了一次函數(shù)、二次函數(shù)，并對(duì)所得的函數(shù)要結(jié)合自變量的取值范圍來(lái)考慮最值，這就需要結(jié)合圖像來(lái)解決?！镜湫屠}】 【例1】（天津市）已知拋物線，（1）若，求該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，且當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，且時(shí)，對(duì)應(yīng)的；時(shí)，對(duì)應(yīng)的，試判斷當(dāng)時(shí)，拋物線與軸是否有公共點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的

2、結(jié)論；若沒(méi)有，闡述理由【思路點(diǎn)撥】（）令y=0，求方程的兩根；（2）考慮判別式；（3）由不等式及結(jié)合圖像解之?！纠?】（黃石市）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)在線段的垂直平分線上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；ABCOxy（3）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，將拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點(diǎn)試探究：拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？向下最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？【思路點(diǎn)撥】（2）設(shè),建立關(guān)于t的方程；（3）考慮拋物線向上平移、向下平移兩種情況?！纠?

3、】（吉林長(zhǎng)春）已知兩個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)與當(dāng)時(shí)，；且二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線（1）求的值；（2）求函數(shù)的表達(dá)式；（3）在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，問(wèn)函數(shù)的圖象與的圖象是否有交點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由【思路點(diǎn)撥】（1）（y 1 + y 2）；（2）由對(duì)稱軸的方程，求出a的值；（3）考慮方程根的判別式?！纠?】（廣西南寧）隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高。某園林專(zhuān)業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹(shù)木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利潤(rùn)與投資量成正比例關(guān)系，如圖所示；種植花卉的利潤(rùn)與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元）（1）分別求出利潤(rùn)與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這

4、位專(zhuān)業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲取的最大利潤(rùn)是多少？【思路點(diǎn)撥】：（2）設(shè)獲得的利潤(rùn)是萬(wàn)元，則，注意x范圍內(nèi)最值求法。【學(xué)力訓(xùn)練】1、（廣州）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn).（1）根據(jù)圖象，分別寫(xiě)出A、B的坐標(biāo)；（2）求出兩函數(shù)解析式；（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)為何值時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值.2、（江西省卷）已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數(shù)，且）（1）請(qǐng)寫(xiě)出三條與上述拋物線有關(guān)的不同類(lèi)型的結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左邊），與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左邊），觀察四點(diǎn)坐標(biāo)，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你所得到的

5、正確結(jié)論，并說(shuō)明理由；yxAOBB（3）設(shè)上述兩條拋物線相交于兩點(diǎn)，直線都垂直于軸，分別經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，在直線之間，且與兩條拋物線分別交于兩點(diǎn)，求線段的最大值3、（四川自貢）拋物線的頂點(diǎn)為M，與軸的交點(diǎn)為A、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），ABM的三個(gè)內(nèi)角M、A、B所對(duì)的邊分別為m、a、b.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.（1）判斷ABM的形狀，并說(shuō)明理由.（2）當(dāng)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，求拋物線的解析式，并畫(huà)出該拋物線的大致圖形.（3）若平行于軸的直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，以CD為直徑的圓恰好與軸相切，求該圓的圓心坐標(biāo).4、（青海省卷）王亮同學(xué)善于改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，他發(fā)現(xiàn)對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧反思，

6、效果會(huì)更好某一天他利用30分鐘時(shí)間進(jìn)行自主學(xué)習(xí)假設(shè)他用于解題的時(shí)間（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖甲所示，用于回顧反思的時(shí)間（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖乙所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點(diǎn)），且用于回顧反思的時(shí)間不超過(guò)用于解題的時(shí)間（1）求王亮解題的學(xué)習(xí)收益量與用于解題的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（2）求王亮回顧反思的學(xué)習(xí)收益量與用于回顧反思的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時(shí)間，才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？（學(xué)習(xí)收益總量解題的學(xué)習(xí)收益量回顧反思的學(xué)習(xí)收益量）OOyyxxA2515圖甲圖乙425參考答案【典型例題】 【例1

7、】（天津市）（）當(dāng)，時(shí)，拋物線為，方程的兩個(gè)根為， 該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是和 （）當(dāng)時(shí)，拋物線為，且與軸有公共點(diǎn)對(duì)于方程，判別式0，有 當(dāng)時(shí)，由方程，解得此時(shí)拋物線為與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)時(shí)， 時(shí)，時(shí)，由已知時(shí)，該拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為，應(yīng)有 即解得綜上，或 （）對(duì)于二次函數(shù)，由已知時(shí)，；時(shí)，又，于是而，即 關(guān)于的一元二次方程的判別式， 拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸下方又該拋物線的對(duì)稱軸，x由，得，又由已知時(shí)，；時(shí)，觀察圖象，可知在范圍內(nèi)，該拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)【例2】（黃石市）（1）設(shè)拋物線解析式為，把代入得，頂點(diǎn)（2）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，依題意設(shè)，由求得直線

8、的解析式為，它與軸的夾角為，設(shè)的中垂線交于，則則，點(diǎn)到的距離為ABCOxyDFHPE又平方并整理得：存在滿足條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)為（3）由上求得若拋物線向上平移，可設(shè)解析式為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或若拋物線向下移，可設(shè)解析式為由，有，向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)，向下最多可平移個(gè)單位長(zhǎng)【例3】（吉林長(zhǎng)春）（1）由得 又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即， 解得，或（舍去），故的值為 （2）由，得， 所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為， 于是，有，解得， 所以 （3）由，得函數(shù)的圖象為拋物線，其開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；由，得函數(shù)的圖象為拋物線，其開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為； 故在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)的圖象與的圖象沒(méi)有交點(diǎn) 【例4】（廣西南寧）（1）

9、設(shè)=,由圖所示，函數(shù)=的圖像過(guò)（1，2），所以2=，故利潤(rùn)關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是=；因?yàn)樵搾佄锞€的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，所以設(shè)=，由圖12-所示，函數(shù)=的圖像過(guò)（2，2），所以，故利潤(rùn)關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是；（2）設(shè)這位專(zhuān)業(yè)戶投入種植花卉萬(wàn)元（），則投入種植樹(shù)木（）萬(wàn)元，他獲得的利潤(rùn)是萬(wàn)元，根據(jù)題意，得=+=當(dāng)時(shí)，的最小值是14；因?yàn)?，所以所以所以所以，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，的最大值是32.【學(xué)力訓(xùn)練】1、（廣州）（1）y0.5x，y（2）x42、（江西省卷）（1）解：答案不唯一，只要合理均可例如：拋物線開(kāi)口向下，或拋物線開(kāi)口向上；拋物線的對(duì)稱軸是，或拋物線的對(duì)稱軸是；拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，或拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；拋物線與

10、的形狀相同，但開(kāi)口方向相反；拋物線與都與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)或拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；等等（2）當(dāng)時(shí)，令，解得 ，令，解得點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱；四點(diǎn)橫坐標(biāo)的代數(shù)和為0；（或）（3），拋物線開(kāi)口向下，拋物線開(kāi)口向上根據(jù)題意，得當(dāng)時(shí)，的最大值是23、（四川自貢）（1）令，得由勾股定理的逆定理和拋物線的對(duì)稱性知ABM是一個(gè)以、為直角邊的等腰直角三角形（2）設(shè)ABM是等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半又頂點(diǎn)M(2，1)，即AB2A(3，0)，B(1，0)將B(1，0) 代入中得拋物線的解析式為，即圖略（3）設(shè)平行于軸的直線為解方程組得， （線段CD的長(zhǎng)為以CD為直徑的圓與軸相切據(jù)題意得解得 圓心坐標(biāo)為