高一數(shù)學(xué)教案[蘇教版]集合之間的運(yùn)算

1、1.2.2 集合的運(yùn)算一 .課標(biāo)解讀1.普通高中數(shù)學(xué)課程中明確指出:“理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集 ; 理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集; 能使用venn 圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算,體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.”2.重點(diǎn) :交集與并集 .全集與補(bǔ)集的概念.3.難點(diǎn) :理解交集與并集的概念.符號(hào)之間的區(qū)別與聯(lián)系.二 .要點(diǎn)掃描1. 交集交集定義：由屬于a又屬于 b 的所有元素構(gòu)成的集合叫a 與 b 的交集，記作ab ，表示為ab x | xa 且 xb圖中陰影部分表示集合a 與 b 的交集：注意：此定義包含了兩層含義：一層含義為凡是ab

2、 中的元素都是兩集合a 與 b 的公共元素；另一層含義是集合a 與 b 中的所有公共元素都在ab 中。另外，當(dāng)兩集合a 與 b 沒有公共元素時(shí)，不能說(shuō)集合a 與 b 沒有交集，而是ab。交集的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)于任何兩個(gè)集合a 與 b ，都有abba;aaa;aa;如果 ab,則 aba。2. 并集并集定義：把給定的兩個(gè)集合a 與 b 的所有元素并在一起構(gòu)成的集合叫a 與 b 的并集，記作ab ，表示為 ab x | xa 或 xb ， 圖中陰影部分表示集合a 與 b 的并集：第 1頁(yè)共 17頁(yè)注意：兩集合的并集，公共元素只能出現(xiàn)一次。xa 或 xb 包含了三種情況: xa 但 xb ;xa 但 x

3、b ; xa 且 xb .并集的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)于任何兩個(gè)集合a 與 b ，都有abb a;aaa;aaa;如果 ab,則 ab b。3. 補(bǔ)集補(bǔ)集的定義如果 au ，由全集 u 中不屬于 a 的所有元素構(gòu)成的集合，叫做a 在 u 中的補(bǔ)集，記作cu a ,表示為 cu a x | xu 且 xa圖中陰影部分表示集合a 在全集 u 中的補(bǔ)集：補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)于任何集合a ，都有acu au ;acu a;cu (cu a)a。三 .知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn) 1 交集、并集、補(bǔ)集的重要結(jié)論第 2頁(yè)共 17頁(yè)( ab)，b)ba ( aa cu a，( a b) c a ( b c)( ab)，b)ba (

4、aacu au，(ab)ca(bc)a( bc)( ab)( ac )a( bc)( ab)( ac )知識(shí)點(diǎn) 2 表示交集、并集、補(bǔ)集關(guān)系的常見的幾種韋恩圖四 .典題解悟-基礎(chǔ)在線 - 題型一 交集由屬于 a 又屬于 b 的所有元素構(gòu)成的集合叫a 與 b 的交集 .例 1. a= x | x 2( p2)x10, xr ， b x | x0, xr, ab，求實(shí)數(shù)p 的取值范圍。解析：因?yàn)閍b，第 3頁(yè)共 17頁(yè)若 a，則方程x2( p2) x10 無(wú)實(shí)數(shù)解，所以( p2)24p 2 4 p0， -4p-4.答案 : p -4. 題型二 并集把給定的兩個(gè)集合a 與 b 的所有元素并在一起構(gòu)成

5、的集合叫a 與 b 的并集 .例 2.a1,3,x2 ,1,ab1,3,，求 x 。x bx解析：集合中的元素有兩個(gè)性質(zhì)，即確定性和互異性，本例應(yīng)用并集的基本知識(shí)及集合中元素互異的特征性質(zhì)排除了 x 1這個(gè)解。a1,3, x, b x 2 ,1, ab1,3, xx 23 或 x 2x ，若 x23 ，則 x3 ；若 x 2x ，則 x0, x1。但 x1時(shí) x 21，這時(shí)集合b 的表示與集合元素具有互異性相矛盾，所以 x3 或 x3 或x。0第 4頁(yè)共 17頁(yè)答案 :x3 或 x3 或 x0。例 3.已知集合 a x | x26x 80,b x | ( xa)( x3a) 0,（ 1）若 a

6、b ，請(qǐng)求 a 的取值范圍；（ 2）若 ab，請(qǐng)求 a 的取值范圍；（ 3）若 ab x | 3x4 ，請(qǐng)求 a 的取值范圍。ax3a, a0解析：化簡(jiǎn)集合a=x|2x4 仍然成立，所以a b 成立，同理 3a=4 也符合題意，雖然要求，當(dāng) a2a3a4a43 故 a 的取值范圍是 4,2 。所以解得a2a32（ 2）當(dāng) a0 時(shí)，顯然 ab成立，即 a(,0) ；或 a0 時(shí)，如下圖b 或 b 位置均使 ab成立。當(dāng) 3a2 或 a4 時(shí)也符合題目意，事實(shí)上，2a,4a ，則 ab成立。第 5頁(yè)共 17頁(yè)所以，要求 03a2 或 a4 ，解得 a( 0, 2 4,) 。3或所以a 0 時(shí)，

7、b x | x 20顯然a b成立。,a 0 可取，綜上所述，a 的取值范圍是(, 24,) 。3（ 3）因?yàn)?a x | 2x4,ab x | 3x4 ，如下圖集合 b 若要符合題意，位置顯然為a 3 ，此時(shí)， b x | 3 x9 ，所以，a3為所求。答案 : 4 ,2 ;3 (, 2 4, ) ;3a3 題型三 補(bǔ)集如果 au ，由全集 u 中不屬于 a 的所有元素構(gòu)成的集合，叫做a 在 u 中的補(bǔ)集 .例 4.已知全集 u=2， 3， a2+2a-3,a=2,|a+7|, cua=5, 求 a 的值。解析 : 由已知22u=2， 3， a +2a-3, ca=5, 得 a +2a-3=

8、5 ，解得 a=-4 或 a=2u若 a=-4 ， |a+7|=3 ，滿足條件；若 a=2， |a+7|=9 ，與題意不符，舍去。所以 a=-4 。第 6頁(yè)共 17頁(yè)答案 :a= -4例 5.設(shè)全集 u=r, 集合 a= x| x2- x- 60 , b= x| x|= y+2, y a , 求 cu b, a (cub), a (cub), cu (a b), ( cu a) (cub).解析 :a= x |-2x 3, 0| x|=y+2 5. b= x|-5 x0 或 0x5 cu b= x | x -5 或 x =0 或 x 5 ,a (cub)= x|x -5 或 -2 x3 或 x

9、 5, a (cu b)= 0 ,cu(a b)=( cua) (cub)= x | x -5 或 x 5.答案 : 略.-拓展一步 -1.有限集合中元素的個(gè)數(shù)在研究集合時(shí)， 常遇到有關(guān)集合中元素的個(gè)數(shù)問題，我們便把有限集合a 中元素的個(gè)數(shù)記作n(a) ，如 a 2,4,6 ，則 n( a) =3.下面看一個(gè)例題：a a,b, c, b a, c, d, e, ab a, c, ab a, b, c,d , e觀察它們的元素個(gè)數(shù)間的關(guān)系，n( a)3, n(b) 4,n( ab) 2, n( ab) 5發(fā)現(xiàn) : 一般地，對(duì)于任意兩個(gè)有限集合a ， b ，有 n( a b)n( a)n(b)n(

10、 a b) ；這就是著名的容斥原理；對(duì)于任意三個(gè)有限集合a， b，c，有n( a b c ) n( a) n(b) n(c ) n( a b) n( a c ) n(b c ) n( a b c )注意： n() 0例 6.天鵝旅行社有 15 人組成了國(guó)際導(dǎo)游組， 其中能用英語(yǔ)導(dǎo)游的有11 人，能用日語(yǔ)導(dǎo)游的有 8人，若每人至少會(huì)這兩種外語(yǔ)之一，求既能用英語(yǔ)又能用日語(yǔ)的導(dǎo)游有多少位？解析：設(shè) a= 能使用英語(yǔ)的導(dǎo)游 ， b= 能使用日語(yǔ)的導(dǎo)游 ，第 7頁(yè)共 17頁(yè)ab 國(guó)際導(dǎo)游組成員 ， ab 既能用英語(yǔ)又能用日語(yǔ)的導(dǎo)游 由n( ab) n( a) n( b) n( ab) ，則 15=11+

11、8 n( a b) ,則 n( a b) =4。答案：既能用英語(yǔ)又能用日語(yǔ)的導(dǎo)游有4 位。2.德摩根律利用維恩圖觀察cu ( ab) 與 (cu a)(cu b) 的關(guān)系通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)： (cu a)(cu b) 與 cu ( ab) 是相同的，即 (cu a) (cu b) = cu ( a b)同樣的道理可以發(fā)現(xiàn)：cu ( a b) = (cu a)(cu b)這便是著名的德摩根律，它可以敘述為：a, b 交集的補(bǔ)集等于a, b 的補(bǔ)集之并；a, b 并集的補(bǔ)集等于a, b 的補(bǔ)集之交。例 7. 已知集合 a=(x ， y)|ax+y=1 ， b=(x ，y)|x+ay=1 ， c=(x ，

12、y)|x2 +y2=1 ，問： (1)當(dāng) a 取何值時(shí)， (a b) c 為含有兩個(gè)元素的集合？(2) 當(dāng) a 取何值時(shí)， (a b) c 為含有三個(gè)元素的集合？解析： (a b) c=(a c) (b c)。a c與 b c 分別為的解集。解之得：第 8頁(yè)共 17頁(yè)2a,1a2（）的解為（0， 1），（22）1a1a（）的解為（1， 0），（ 1a 2,2a）1a 21a 2(1) 使(a b) c恰有兩個(gè)元素的情況只有兩種可能：解得 a=0 或 a=1。（ 2）使 (a b) c 恰有三個(gè)元素的情況是：2a1a 21 a21a2解得 a 12 。答案 : (1) a=0 或 a=1;（ 2

13、） a12 。-錯(cuò)解點(diǎn)擊 -例 8. 15.集合 a= x|222, 若 a b=a, a c= c,x - 3x+2=0 , b=x| x - ax+a+1=0, c=x| x - mx+2=0求 a, m 的值 .錯(cuò)解 :此為易錯(cuò)題目 .正解 : m=3 或 m (-22 ,22 ).分析 :當(dāng) a-1=1, 即 a =2 時(shí) , b= 1 ;當(dāng) a-1=2, 即 a=3 時(shí) , b= 1,2 . a 的值為 2 或 3.再考慮條件 :ca, 則集合 c 有三種情況 :當(dāng) c=a 時(shí), m=3;當(dāng) c 為單元素集合時(shí), 即方程 x2- mx+2=0 有等根 .第 9頁(yè)共 17頁(yè)2得 m=

14、22 .由 =m -8=0,但當(dāng) m= 22時(shí) , c=2或 - 2 不合條件 ca. 故 m= 22 舍去 .當(dāng) c= 時(shí) , 方程 x2- mx+ 2=0 無(wú)實(shí)根 ,2 -2 2 m22 . 綜上 m=3 或 m ( -2 2 ,2 2 ).=m -8 0,五 .課本習(xí)題解析習(xí)題 1-1a( 課本第 118 頁(yè) )1.2.第10頁(yè)共17頁(yè)六 .同步自測(cè)-雙基訓(xùn)練 -1. 設(shè)集合 m= x|xx2 0 ,n=x|x2-2x-30, 則集合 m n=()a、 x|0 x1b、 x|0 x2c、 x|0 x 1d、 x|0 x22. 設(shè)全集 u=n,集合 a= x|x=2n,n n,b=x|x=

15、4n,n n則（）a、 u=a bb、 u=ca cubc、 u=acub d、 u=ca b3. 設(shè) m=2,a 2-3a+5,5,n=1,a2 -6a+10,3,且 m n=2,3則 a 的值是 ()a、 1 或 2b、 2 或 4c、 2d、 14. 設(shè)集合 m x |xn1n()2z ， n n |z ，則 m2a 、b、 mc、zd 、05. 設(shè)全集 u（ u）和集合 m ，n，p 且 m=c u n，n= c up，則 m 與 p 的關(guān)系是- （）a 、 m= c u pb 、 m=pc、 mpd 、m p6. 已知 a=(x, y)|x+y=3, b=(x,y)|x y=1 ，則

16、 a b= （）a 2, 1b x=2,y=1c (2,1)d (2,1)7. 若集合 a1,2,3 ，則滿足 ab a 的集合 b 的個(gè)數(shù)是（）a 1b 2c 7d 88.已知集合my|y x21,2，則m n（）x r , n x | y3 x第11頁(yè)共17頁(yè)a. (2,1), (2,1)b 1,3c 0, 3d9. 設(shè) a 、 b、 i 均為非空集合，且滿足ab i ，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）a. (ci a)b i b (c i a) (ci b) ic a(c i b)d (ci a) (c i b) ci b10. 已知集合 u 、p、 q 滿足 u = p q = 0,1,2,3

17、,4 , pq = 1,3 , 則 ( cu pcu q ) (pq) = ()a 0,1,3b 1,2,4c 0,2,4d 1,3,411 u=r,集合a=x|x 2, 則 c a=_;1xu12設(shè)全集u=x|x 10，x n ，集合 p= 能被 2 或 3 整除的自然數(shù) ，用列舉法表示集合cup為 。13知集合ax, yyx, xr ， bx, y y2x, xr ，則 ab =;-綜合提高-14.集合 a=1,3,x,b=x2,1, 且 ab=1,3,x,滿足這些條件的x 的值有 ().a. 一個(gè)b.兩個(gè)c.三個(gè)d.四個(gè)15.設(shè)全集為u ，非空集 p,q 滿足 pq ，則下列集合中一定是

18、空集的是（）(a)cu pcu q（b ） cu pq(c)cu pq(d) pcu q16.設(shè)集合 ax x 1 , bx xp ，要使 ab，則 p 應(yīng)滿足的條件是（）(a)p 1（ b）p 1(c)p1(d)p117.已知集合ay yx 21 , by yx 1，則 ab （）(a)0,1,2（ b）0,1 , 1,2(c) x x1(d) r第12頁(yè)共17頁(yè)18.已知全集 u=(x,y)|x,yr ,集合 a=(x,y)|y31,x2集合 b=(x,y)|y-3=x-2,那么 (cua)t =()a.b.2,3c.(2,3)d.(x,y)|y-3x-219. 已知集合 a=x| x10

19、 ,b=x|x a ，若 a b=b, 則 a 的取 范 是（）x2(a) a1(b)a 2(c)a -2(d) a-220. 已知 ab3 ， (cu a)(cu b)xn x9 且 x3 ，c u ab 4,6,8 ，ac u b1,5， a =, cuab21.已知全集 ur ， ax 2x2 , bx x1 ,cx 0 x4則 a b c， (cu a)c.22已知全集u=2， 4， 1-a ， a=-1 ， cua=2 ， a2-a+2, 數(shù) a=23，若，求 數(shù)的 24 50 名學(xué)生參加體能和智能 ，已知體能 秀的有40 人，智能 秀的有31 人，兩 都不 秀的有 4 人 種 都

20、秀的有幾人？25某班共有 27 人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué) 趣小 ，其中參加數(shù)學(xué) 趣小 的有21 人，參加化學(xué) 趣小 的有 10 人，參加物理 趣小 的有17 人，同 參加數(shù)學(xué)、物理 趣小 的有12 人，參加數(shù)學(xué)、化學(xué) 趣小 的有 6 人，三個(gè) 趣小 都參加的有2人。 同 參加化學(xué)、物理 趣小 的有幾人？七 .相關(guān) 接公理化集合 的建立集合 提出伊始，曾遭到 多數(shù)學(xué)家的激烈反 ，康托 本人一度成 一激烈 爭(zhēng)的 牲品.在猛烈的攻 下與 度的用 思考中，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩 .然而集合 前后 二十余年，最 得了世界公 .到二十世 初集合 已得到數(shù)學(xué)家 的 同.數(shù)學(xué)家 一切數(shù)學(xué)成果都可建立在

21、集合 基 上的前景而陶醉了.他 地 從算 公理系 出 ，借助集合 的概念，便可以建造起整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈.在 1900 年第二次國(guó) 數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家 加萊就曾 高采烈地宣布“數(shù)學(xué)已被算 化了.今天，我 可以 的 格已 達(dá)到了.”然而 種自得的情 并沒能持 多久 .不久，集合 是有漏洞的消息迅速 遍了數(shù)學(xué)界. 就是1902 年 素得出的 素悖 . 素構(gòu)造了一個(gè)所有不屬于自身（即不包含自身作 元素）的集合r. 在 r 是否屬于 r？如果 r屬于 r， r 足 r 的定 ，因此 r 不 屬于自身，即r 不屬于 r；另一方面，如果 r 不屬于 r，第13頁(yè)共17頁(yè)則 r 不滿足 r 的定義，因此 r

22、 應(yīng)屬于自身， 即 r 屬于 r.這樣，不論何種情況都存在著矛盾.這一僅涉及集合與屬于兩個(gè)最基本概念的悖論如此簡(jiǎn)單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地.絕對(duì)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中.這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī).危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去 .1908 年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成無(wú)矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱 zf 公理系統(tǒng) .原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn).這就是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段：公理化集合論.與此相對(duì)應(yīng)，在1908 年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論 .公理化集合論是對(duì)樸素集合論的嚴(yán)格處理.它保留了樸

23、素集合論的有價(jià)值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī).公理化集合論的建立，標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼： 沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去.從康托爾提出集合論至今，時(shí)間已經(jīng)過(guò)去了一百多年，在這一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化，包括對(duì)上述經(jīng)典集合論作出進(jìn)一步發(fā)展的模糊集合論的出現(xiàn)等等.而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的.因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻(xiàn)時(shí)，我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家對(duì)他的集合論的評(píng)價(jià)作為我們的總結(jié) .它是對(duì)無(wú)限最深刻的洞察，它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動(dòng)的最高成就之一.超限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動(dòng)的最美的表現(xiàn)之一.這個(gè)成就可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的工作.康托爾的無(wú)窮集合論是過(guò)去兩千五百年中對(duì)數(shù)學(xué)的最令人不安的獨(dú)創(chuàng)性貢獻(xiàn)之一.注：整系數(shù)一元 n 次