彈性力學(xué)-第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答.ppt

1、第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,彈性力學(xué) 主講 鄒祖軍 第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,7-1 平面應(yīng)變問題,7-2 平面應(yīng)力問題,7-3 平面問題及體積力為常量時(shí)的特性,7-4 應(yīng)力函數(shù),7-5 平面應(yīng)力問題的近似性質(zhì),7-6 自由端受集中力作用的懸壁梁,7-7 受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,7-8 三角形水壩,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-1 平面應(yīng)變問題,7-1 平面應(yīng)變問題,A. 幾何特征,一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和尺寸不變化。柱體所占空間V, 近似認(rèn)為無限長(zhǎng),B. 外力特征,外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長(zhǎng)度 z 方向不變化。,約束 沿長(zhǎng)

2、度 z 方向不變化。,在oxy平面內(nèi)構(gòu)成平衡力系,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-1 平面應(yīng)變問題,C. 變形特征,如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為 xy 面，任一縱線為 z 軸。,設(shè) z方向?yàn)闊o限長(zhǎng)，則,沿 z 方向都不變化，,僅為 x，y 的函數(shù)。,任一橫截面均可視為對(duì)稱面,(7.1),滿足條件(7.1)及以上特征的彈性力學(xué)問題稱為平面應(yīng)變問題,(3.13),將(7.1)代入幾何方程(3.13),(7.2),(a),在平面應(yīng)變問題中，獨(dú)立的應(yīng)變分量只有三個(gè),在平面應(yīng)變問題中，獨(dú)立的應(yīng)變分量只有三個(gè),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-1 平面應(yīng)變問題,(5.26b),(7.3),因 由胡

3、克定律,(b),六個(gè)應(yīng)力分量中獨(dú)立的也只有三個(gè),(7.4),(7.5),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-1 平面應(yīng)變問題,應(yīng)力分量只是x,y的函數(shù),且Z方向體積力為0,則平衡方程變?yōu)?(7.6),和 是x,y的函數(shù),應(yīng)變協(xié)調(diào)方程(3.34c)中五個(gè)自動(dòng)滿足,剩下一個(gè)為,(7.7),將物理方程(7.4)代入上式得,(3.34c),(c),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-1 平面應(yīng)變問題,(7.6),對(duì)平衡方程(7.6)中的兩式分別相對(duì)于x和y求導(dǎo),相加得,(d),利用式(d)消去式(c)中的剪應(yīng)力得,(7.8),(e),式(7.8)是應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程,邊界條件為,(7.9),式中 是二

4、維Laplace算子,平面應(yīng)變問題:二個(gè)位移分量,三個(gè)應(yīng)變分量和三個(gè)應(yīng)力分量.滿足幾何方程(7.2),本構(gòu)關(guān)系(7.4)和平衡方程(7.6)共八個(gè)方程及邊界條件(7.9),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-1 平面應(yīng)變問題,三種可以按平面應(yīng)變問題求解的情況,第一種:在z=0和z=L的兩端有邊界條件,(7.10),以上條件平面應(yīng)變問題是精確滿足的.如圖7.1a,第二種:柱體很長(zhǎng).除兩端外,w=0,側(cè)面上z向外力也為零.也可按平面應(yīng)變問題求解,如圖7.1b,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-1 平面應(yīng)變問題,第三種:柱體很長(zhǎng).高應(yīng)力區(qū)遠(yuǎn)小于低應(yīng)力區(qū),且低應(yīng)力區(qū)的應(yīng)力近似為零.除兩端外,也可按平

5、面應(yīng)變問題求解,如圖7.1c,7-2 平面應(yīng)力問題,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-2 平面應(yīng)力問題,A. 幾何特征,一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多。, 平板,如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等,B. 受力特征,外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿 z 方向不變化。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-2 平面應(yīng)力問題,C. 應(yīng)力特征,如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy 平面，垂直于中面的任一直線為 z 軸。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 軸方向不變。,可認(rèn)為整個(gè)薄板的各點(diǎn)都有：,由剪應(yīng)力互等定理，有,結(jié)論：,平面應(yīng)力問題只有三個(gè)應(yīng)力分量：,應(yīng)變分量、

6、位移分量也僅為 x、y 的函數(shù)，與 z 無關(guān)。,(7.11),(7.12),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-2 平面應(yīng)力問題,如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？,平面應(yīng)力問題,平面應(yīng)變問題,非平面問題,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-2 平面應(yīng)力問題,(5.26b),獨(dú)立的應(yīng)變分量也只有三個(gè).平面應(yīng)力問題的胡克定律為,因 ,由(5.26b)左邊前兩式相加得,(a),由(5.26b)第三式得,(7.13),由,得,(b),(7.14),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-2 平面應(yīng)力問題,平面應(yīng)力問題:二個(gè)位移分量,三個(gè)應(yīng)變分量和三個(gè)應(yīng)力分量.滿足幾何方

7、程(7.2),本構(gòu)關(guān)系(7.14)和平衡方程(7.6)共八個(gè)方程及邊界條件(7.9),Z方向的位移,(c),不考慮剛體位移,(7.15),必須滿足協(xié)調(diào)方程(3.34c).有三個(gè)自動(dòng)滿足,剩下三個(gè),(d),其中A,B,C是常數(shù),(7.16a),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-2 平面應(yīng)力問題,若解 是x,y的線性函數(shù),則平面應(yīng)力問題的解是精確解,對(duì)于h很小的薄板,z方向?qū)?yīng)力的影響很小,即使(7.16)不滿足,仍可近似按平面應(yīng)力問題求解.,(7.16b),同樣可得平面應(yīng)力問題的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程為,(7.17),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-3 平面問題及體積力為常量時(shí)的特性,7-3 平面問

8、題及體積力為常量時(shí)的特性,平面應(yīng)力問題,平面應(yīng)變問題,基本方程中,平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題在數(shù)學(xué)上完全相同,統(tǒng)稱為 彈性力學(xué)平面問題,當(dāng)體力為常量時(shí)，應(yīng)力協(xié)調(diào)方程（7.8）和（7.17）簡(jiǎn)化為,(7.18),上式及平衡方程、應(yīng)力邊界條件也與彈性常數(shù)無關(guān)。,重要結(jié)論：對(duì)單連通的應(yīng)力邊值問題，如果物體的幾何形狀及 外力相同，則不管什么材料和什么平面問題，物體內(nèi)的應(yīng)力分量 的大小及分布都相同。,但位移、應(yīng)變及 不一定相同。這個(gè)結(jié)論對(duì)做試驗(yàn)相同重要,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-3 平面問題及體積力為常量時(shí)的特性,(c),在S上,在A中,(a),在常體積力下，對(duì)單連通的應(yīng)力邊值問題，可用等效面

9、力來替換 體積力。,則基本方程為,(b),先求(b)、(c)的解 ,再由(a)求出,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-4 應(yīng)力函數(shù),7-4 應(yīng)力函數(shù),以應(yīng)力為未知量求解下面的的平衡方程和應(yīng)力協(xié)調(diào)方程,(b),(a),平面應(yīng)力,平面應(yīng)變,并使 滿足邊界條件,對(duì)多連通還應(yīng)滿足位移單值條件,設(shè)體積力為有勢(shì)力.則,(7.19),則平衡方程和協(xié)調(diào)方程為,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-4 應(yīng)力函數(shù),(c),(d),平面應(yīng)力,平面應(yīng)變,(c)的第一式可寫為,是全微分,則必存在P,(e),同理由(c)的第二式,必存在Q,(f),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-4 應(yīng)力函數(shù),(g),將(g)代回(e

10、)和(f)則:,(7.20),(7.20)式是平衡方程(c)的通解,函數(shù) 被稱為Airy應(yīng)力函數(shù),則必存在函數(shù),將(7.20)代入應(yīng)力協(xié)調(diào)方程得應(yīng)力函數(shù)協(xié)調(diào)方程,平面應(yīng)力,平面應(yīng)變,(7.21),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-4 應(yīng)力函數(shù),將(7.20)代入應(yīng)力邊界條件(7.9)得,(7.22),當(dāng)體積力為常數(shù)時(shí),應(yīng)力即可用(7.20)表示,也可用下式表示,(7.23),(7.24),(7.25),滿足上式的 是雙調(diào)和函數(shù),當(dāng) 是調(diào)和函數(shù)時(shí),則(7.21)為,平面問題的應(yīng)力邊值問題為在邊界條件(7.22)下求解(7.21),（1）,根據(jù)問題的條件,（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），,假

11、設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式 ；,（2）,根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（7.25）計(jì)算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。, 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。,半逆解法,位移分量求解：,（1）,將已求得的應(yīng)力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得應(yīng)變分量,將應(yīng)變分量,代入幾何方程，并積分求得位移分量,表達(dá)式；,由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-4 應(yīng)力函數(shù),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-5 平面應(yīng)力問題的近似特性,7-5 平面應(yīng)力問題的近似特性,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)

12、解答 7-5 平面應(yīng)力問題的近似特性,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-5 平面應(yīng)力問題的近似特性,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-5 平面應(yīng)力問題的近似特性,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-5 平面應(yīng)力問題的近似特性,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-5 平面應(yīng)力問題的近似特性,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-5 平面應(yīng)力問題的近似特性,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-5 平面應(yīng)力問題的近似特性,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-6 自由端受集中力作用的懸臂梁,7-6 自由端受集中力作用的懸臂梁,如圖7.2的懸臂梁,屬平面應(yīng)力問題,以應(yīng)力為未知量,假定不計(jì)體力,按半逆解

13、法求解,由上下邊界上的 假定整個(gè)梁中 .由平衡方程(7.6)得,(7.6),積分,(e),積分,(f),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-6 自由端受集中力作用的懸臂梁,將 代入應(yīng)力協(xié)調(diào)方程(7.18),(7.18),上式對(duì)任意x成立,必有,積分,(g),由邊界條件,(7.9),對(duì)上下邊界有,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-6 自由端受集中力作用的懸臂梁,對(duì)左邊界有,(h),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-6 自由端受集中力作用的懸臂梁,由上式第一式得,(j),由圣維南原理,(d),(i),將求出的常數(shù)代入(g)得,(7.31),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-6 自由端受集中力

14、作用的懸臂梁,位移的求法:將應(yīng)力分量(7.31)代入平面應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系(7.14)得應(yīng)變分量,再將應(yīng)變分量代入幾何方程(7.2).有,是梁截面的慣性矩,(7.31)與材力相同,積分,(k),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-6 自由端受集中力作用的懸臂梁,要使上式恒成立,必有,(l),a是待定常數(shù),積分上式,得,b,c是待定常數(shù),將上式代入(k),得,(m),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-6 自由端受集中力作用的懸臂梁,利用固定端位移條件,在(l,0)處,式(m)代入上式得,最后位移為,(7.32),y=0,得梁的撓度方程(與材力一致),7-7受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁,要點(diǎn), 用半逆解法求

15、解梁、長(zhǎng)板類平面問題。,1. 應(yīng)力函數(shù)的確定,(1),分析：, 主要由彎矩引起；, 主要由剪力引起；,由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。,又 q =常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱，不隨 x 變化。,推得：,(2),由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：,積分得：,(a),(b), 任意的待定函數(shù),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,(3),由 確定：,代入相容方程：,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,方程的特點(diǎn)：,關(guān)于 x 的二次方程，且要求 l x l 內(nèi)方程均成立。,由“高等代數(shù)”理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。即：,對(duì)前兩個(gè)方程積

16、分：,(c),此處略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng),對(duì)第三個(gè)方程得：,積分得：,(d),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,(d),將(c) (d) 代入 (b) ，有,(e),此處略去了f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),式中含有9個(gè)待定常數(shù)。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,(e),2. 應(yīng)力分量的確定,(f),(g),(h),3. 對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,（1）對(duì)稱條件的應(yīng)用：,由 q 對(duì)稱、幾何對(duì)稱：, x 的偶函數(shù), x 的奇函數(shù),由此得：,要使上式對(duì)任意的 y 成立，須有：,

17、第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,（2）邊界條件的應(yīng)用：,(a) 上下邊界（主要邊界）：,由此解得：,代入應(yīng)力公式,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,( i ),( j ),( k ),(b) 左右邊界（次要邊界）：,（由于對(duì)稱，只考慮右邊界即可。）, 難以滿足，需借助于圣維南原理。,靜力等效條件：,軸力 N = 0；,彎矩 M = 0；,剪力 Q = ql；,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,可見，這一條件自動(dòng)滿足。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,(p),截面上的應(yīng)力分布：,4

18、. 與材料力學(xué)結(jié)果比較,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,(7.33),4. 與材料力學(xué)結(jié)果比較,材力中幾個(gè)參數(shù)：,截面寬：b=1 ,截面慣矩：,靜矩：,彎矩：,剪力：,將其代入式 ( p ) ，有,（7.33a）,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,比較，得：,（1）,第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。,第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng) h / l1，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng) h / l較大時(shí)，須修正。,（2）,為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。,（3）,與材力中相同。,注意：,按式（7.33a），梁的左右邊界存在水平面力：,說明式（7.33a）在兩

19、端不適用。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,解題步驟小結(jié)：,（1）,（2）,（3）,根據(jù)問題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（面力分布規(guī)律、對(duì)稱性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量（ ）的變化形式。,由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（7.25），求得應(yīng)力函數(shù) 的具體形式（具有待定函數(shù)）。,（4）,（5）,將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) 代入相容方程： 確定 中的待定函數(shù)形式。,由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（7.25），求得應(yīng)力分量 。,由邊界條件確定 中的待定常數(shù)。,用半逆解法求解梁、矩形長(zhǎng)板類彈性力學(xué)平面問題的基本步驟：,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,應(yīng)力

20、函數(shù)法求解平面問題的基本步驟：,求解方法：,逆解法,假設(shè)各種滿足相容方程（7.23）的(x,y) 的形式；,（2）,然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（7.25），求出 （具有待定系數(shù)）；,（3）,再利用應(yīng)力邊界條件式（7.22），來考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求解什么問題。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁, 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。,假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式 ；,（2）,根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（7.25）計(jì)算出 并讓其滿足邊界條

21、件和位移單值條件。,半逆解法,位移分量求解：,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,附：,應(yīng)力函數(shù)確定的“材料力學(xué)方法”,要點(diǎn)：,利用材料力學(xué)中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個(gè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。,適用性：,直梁、長(zhǎng)板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。,應(yīng)力函數(shù)常可表示為：,設(shè)法由邊界面力先確定 其中之一，然后將其代入 確定另外一個(gè)函數(shù)。,材力中，應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：,式中：,M(x) 彎矩方程；,Q(x) 剪力方程。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,當(dāng)有橫向分布力q(x)作用時(shí)，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力 ，,同時(shí)，橫向分布力

22、q(x)的擠壓作用時(shí)，對(duì)軸向應(yīng)力 也產(chǎn)生影響。,應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：,然后由：,確定應(yīng)力函數(shù) 的具體形式。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,例：,懸臂梁，厚度為單位1，=常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù) 及梁內(nèi)應(yīng)力。,解：,(1) 應(yīng)力函數(shù)的確定,取任意截面，其內(nèi)力如圖：,取 作為分析對(duì)象，可假設(shè)：,（a）, f(y)為待定函數(shù),由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系，有：,（b）,對(duì) x 積分一次，有：,對(duì) y 再積分一次，有：,其中：,（c）,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,（c）,由 確定待定函數(shù)：,（d）,要使上式對(duì)任意的x，y成立，有,（e）

23、,（f）,由式（ e）求得,（g）,由式（ f）得,（h）,（i）,積分式（ h）和（i）得,（j）,（k）,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,( l ),包含9個(gè)待定常數(shù)，由邊界條件確定。,(2) 應(yīng)力分量的確定,( m ),(3) 利用邊界條件確定常數(shù),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,( o ),代入可確定常數(shù)為：,代入式（m）得,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,注：,也可利用 M（x）= 0，考慮,進(jìn)行分析。此時(shí)有：,為待定函數(shù)，由相容方程確定。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的

24、簡(jiǎn)支梁,剪力：,可假設(shè)剪應(yīng)力：,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-7受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁,7-8 三角形水壩,要點(diǎn),半逆解法（因次或量綱分析法）,問題的提法：,楔形體，下部可無限延伸。,側(cè)面受水壓作用：,（水的容重）；,自重作用：,（楔形體的容重）；,求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律 。,1. 應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量,(1) 分析：,(a), 的量綱為：,的量綱為：,(b),由 推理得：,應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。,應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-8 三角形水壩,(2) 應(yīng)力分量,考慮到：fx= 0，fy = （常體力）,(a),顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。,2. 邊界條件的

25、利用,(1) x=0 （應(yīng)力邊界）：,代入式（a），則應(yīng)力分量為：,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-8 三角形水壩,(b),(2) （應(yīng)力邊界）：,其中：,將(b)代入，有,代入，可求得：,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-8 三角形水壩,代入式（b），有：,(7.34), 李維（Levy）解答,沿水平方向的應(yīng)力分布,與材力結(jié)果比較：, 沿水平方向不變，在材力中無法求得。, 沿水平方向線性分布，與材力中偏心受壓公式算得結(jié)果相同。, 沿水平方向線性分布，材力中為拋物線分布。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-8 三角形水壩,結(jié)果的適用性：,（1）,當(dāng)壩的橫截面變化時(shí)，不再為平面應(yīng)變問題，

26、其結(jié)果誤差較大。,（2）,假定壩下端無限延伸，可自由變形。而實(shí)際壩高有限，底部與基礎(chǔ)相連，有地基約束，故底部處結(jié)果誤差較大。,（3）,實(shí)際壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大。, 三角形重力壩的精確分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。,工程應(yīng)用：, 求使壩穩(wěn)定時(shí)的角度 ，稱為安息角。,沿水平方向的應(yīng)力分布,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 7-8 三角形水壩,平面問題的直角坐標(biāo)解答,一、多項(xiàng)式解答,逆解法,二、梁、長(zhǎng)板類彈性體應(yīng)力函數(shù)方法,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,三、三角形板、楔形體的求解方法,因次分析法（量綱分析法）：,楔形體，下部可無限延伸。,側(cè)面受水壓作用：,（水的溶重

27、）；,自重作用：,（楔形體的溶重）；,分析思路：,(a), 的量綱為：,的量綱為：,(b),由 推理得：,應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。,應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,例一：,圖示矩形板，長(zhǎng)為 l ，高為 h ，體力不計(jì)，試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能解決什么問題。式中k、q為常數(shù)。,解：,(1),應(yīng)力分量：,邊界條件：,顯然，上下邊界無面力作用。,上下邊界,(2),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,左邊界,右邊界,結(jié)論：可解決懸臂梁左端受集中力問題。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,例二：,圖示矩形截面簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)為 l ，高為 h ，受有三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試求其

28、應(yīng)力分布。,解：,（1）應(yīng)力函數(shù)形式的確定,梁截面上彎矩和剪力為：,由材料力學(xué)方法可確定應(yīng)力分量的分離變量形式：,取應(yīng)力分量 分析，,取應(yīng)力分量 與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：,對(duì)此式積分：,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,為待定函數(shù),（2）由相容方程確定待定函數(shù),代入,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,要使上述方程對(duì)任意的 x 成立，有,(a),(b),(c),積分式（a），得,將上式代入（b）積分，得,積分式（c），得,(d),(e),(f),將求得的,代入應(yīng)力函數(shù)，有,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,（3）計(jì)算應(yīng)力分量,(g),(h),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,（3）利用邊界條件確定待定常數(shù),上

29、邊界：,(i),(j),(k),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,下邊界：,(l),(m),(n),第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,左邊界：,右邊界：,(o),(p),(q),(r),(s),(t),聯(lián)立求解式（i）（t）,可得具體的應(yīng)力分量。,注：位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件。,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,彈性力學(xué)平面問題的基本理論小結(jié),一、兩類平面問題及其特征,體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不變化。,體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不變化。,z 方向的尺寸遠(yuǎn)小于板面內(nèi)的尺寸（等厚度薄平板）,z 方向的尺寸遠(yuǎn)大于xoy平面內(nèi)的尺寸（等截面長(zhǎng)柱體）,第七章

30、 平面問題的直角坐標(biāo)解答,二、平面問題的基本方程,（1）平衡微分方程,（7.6）,（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）,（2）幾何方程,（7.2）,（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）,（3）物理方程,(7.14),（平面應(yīng)力）,(7.4),（平面應(yīng)變）,（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性、線彈性、各向同性）,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,三、平面問題的基本求解方法及基本方程,思路：,（1）按位移求解,以位移u、v為基本未知量，在所有基本方程中消去其余6個(gè)量，得到以位移表示的基本方程，從中求出 u、v，再由幾何方程、物理方程求出其余未知量。,基本方程：,（6.9）,位移表示的平衡方程,（6.10）,（6.4）,位移表示的應(yīng)力邊界條件,位移邊界條件,第七章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,（2）按應(yīng)力求解,思路：,以應(yīng)力 為基本未