2007年數(shù)一真題試題+答案

1、2007年全年碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：110小題,每小題4分,共40分,下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上(1)當(dāng)時,與等價的無窮小量是( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (B).(2) 曲線漸近線的條數(shù)為( )(A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (D).(3)如圖,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區(qū)間上的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設(shè)則下列結(jié)論正確的是( )(A) . (B) .(C) . (D) . 答案： (C).(4)設(shè)函數(shù)在處連續(xù),則

2、下列命題錯誤的是( )(A) 若存在,則. (B) 若存在,則.(C) 若存在,則存在. (D) 若存在,則存在. 答案： (D).(5)設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù),且,令 ,則下列結(jié)論正確的是( )(A) 若,則必收斂. (B) 若,則必發(fā)散.(C) 若,則必收斂. (D) 若,則必發(fā)散.答案： (D).(6)設(shè)曲線(具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),過第象限內(nèi)的點和第象限內(nèi)的點,為上從點到點的一段弧,則下列積分小于零的是( )(A) . (B) .(C) . (D) .答案： (B).(7)設(shè)向量組線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是( )(A) . (B) .(C) . (D) .答案： (A).(8)設(shè)

3、矩陣,則與( )(A) 合同,且相似. (B) 合同,但不相似.(C) 不合同,但相似. (D) 既不合同,也不相似. 答案： (B).(9)某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為,則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為( )(A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (C).(10)設(shè)隨機變量服從二維正態(tài)分布,且與不相關(guān),分別表示的概率密度,則在條件下,的條件概率密度為( )(A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (A).二、填空題：1116小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.(11) .答案： .(12)設(shè)為二元可微函數(shù),

4、則 .答案：.(13)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為 .答案：非齊次線性微分方程的通解為.(14)設(shè)曲面,則 .答案：.(15)設(shè)距陣則的秩為 .答案：(16)在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù),則這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為 .答案： 三、解答題：1724小題,共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17) (本題滿分11分) 求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值.答案：函數(shù)在上的最大值為,最小值為.(18) (本題滿分10分)計算曲面積分 其中為曲面的上側(cè).答案： .(19) (本題滿分11分)設(shè)函數(shù),在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值,又,證明：存

5、在使得證明：設(shè),由題設(shè)存在相等的最大值,設(shè), 使.若,即與在同一點取得最大值,此時,取,有；若,不妨設(shè),則,且在上連續(xù),則由零點定理得存在使得,即；由題設(shè),則,結(jié)合,且在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo),應(yīng)用兩次使用羅爾定理知：存在使得.在再由羅爾定理,存在使.即.(20) (本題滿分10分)設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂,其和函數(shù)滿足.(I) 證明.(II) 求的表達(dá)式.答案： (I) 證明：對,求一階和二階導(dǎo)數(shù),得代入,得.即 .于是從而(II).(21) (本題滿分11分)設(shè)線性方程組 與 方程 有公共解,求得值及所有公共解.答案：當(dāng)時,所以方程組的通解為,為任意常數(shù),此即為方程組(1)與(2)的公共解.當(dāng)時,此

6、時方程組有唯一解,此即為方程組(1)與(2)的公共解.(22) (本題滿分11分)設(shè)階實對稱矩陣的特征值是的屬于的一個特征向量.記,其中為3階單位矩陣.(I) 驗證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值與特征向量；(II) 求矩陣.答案： (I)由,可得 ,是正整數(shù),則,于是是矩陣的屬于特征值特征向量. 所以的所有的特征向量為：對應(yīng)于的全體特征向量為,其中是非零任意常數(shù),對應(yīng)于的全體特征向量為,其中是不同時為零的任意常數(shù).(II) .(23)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機變量的概率密度為 (I) 求；(II)求的概率密度.答案： (I).(II) (24)(本題滿分11分)設(shè)總體的概率密度為其中參數(shù)未知,是來