克萊姆法則及證明

1、第7節(jié) 克萊姆（Cramer）法則一、線性方程組元線性方程組是指形式為：（1）的方程組，其中代表個(gè)未知量，是方程的個(gè)數(shù)， ; 稱為方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng)。線性方程組的一個(gè)解是指由個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組， 當(dāng)個(gè)未知量分別用代入后，式（1）中每個(gè)等式都成為恒等式。方程組（1）的解的全體稱為它的解集合，如果兩個(gè)線性方程組有相同的解集合，就稱它們是同解方程組。為了求解一個(gè)線性方程組，必須討論以下一些問題：(1).這個(gè)方程組有沒有解？(2).如果這個(gè)方程組有解，有多少個(gè)解？(3).在方程組有解時(shí),解之間的關(guān)系,并求出全部解。本節(jié)討論方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等(即)的情形。二、克萊姆法則定理1（克萊姆法則

2、）如果線性方程組 （2）的系數(shù)行列式：那么這個(gè)方程組有解，并且解是唯一的，這個(gè)解可表示成：（3）其中是把中第列換成常數(shù)項(xiàng)所得的行列式，即。分析：定理一共有3個(gè)結(jié)論：方程組有解；解是唯一的；解由公式（3）給出。因此證明的步驟是：第一，把 代入方程組，驗(yàn)證它確實(shí)是解。這樣就證明了方程組有解，并且（3）是一個(gè)解，即證明了結(jié)論與。第二，證明如果是方程組（）的一個(gè)解，那么一定有。這就證明了解的唯一性，即證明了結(jié)論。證明：先回憶行列式的一個(gè)性質(zhì)，設(shè)階行列式，則有：接下來證明定理。首先，證明（3）確實(shí)是（2）的解。將行列式按第列展開得：，其中是行列式中元素的代數(shù)余子式?，F(xiàn)把代入第個(gè)方程的左端，得：這說明將（

3、3）代入第個(gè)方程后，得到了一個(gè)恒等式，所以（3）是（2）的一個(gè)解。其次，設(shè)是方程組（2）的一個(gè)解，那么，將代入（2）后，得到個(gè)恒等式：（4）用系數(shù)行列式的第列的代數(shù)余子式依次去乘（4）中個(gè)恒等式，得到：將此個(gè)等式相加，得：從而有：。這就是說，如果是方程組（2）的一個(gè)解，那么一定有，所以方程組只有一個(gè)解。三、齊次線性方程組在線性方程組中，有一種特殊的線性方程組，即常數(shù)項(xiàng)全為零的方程組，稱為齊次線性方程組。顯然，齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)榫褪撬慕?，這個(gè)解稱為零解；其他的，即不全為零的解（如果還有的話），稱為非零解。所以，對(duì)于齊次線性方程組，需要討論的問題，不是有沒有解，而是有沒有非零解。這個(gè)

4、問題與齊次線性方程組解的個(gè)數(shù)是有密切關(guān)系的。如果一個(gè)齊次線性方程組只有零解，那么這個(gè)方程組就只有唯一解；反之， 如果某個(gè)齊次線性方程組有唯一解， 那么由于零解是一個(gè)解，所以這個(gè)方程組不可能有非零解。對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，應(yīng)用克萊姆法則，有 推論1 如果齊次線性方程組（5）的系數(shù)行列式不等于零，那么（5）只有零解。推論2齊次線性方程組有非零解的必要條件是它的系數(shù)行列式等于零。四、例子例1解線性方程組解：方程組的系數(shù)行列式：所以根據(jù)克萊姆法則，這個(gè)線性方程組有唯一解。又因所以這個(gè)線性方程組的唯一解為：例2解線性方程組解：方程組的系數(shù)行列式：所以根據(jù)克萊姆法則，這個(gè)線性方程組有唯一解。又因所以這個(gè)線性方和組的唯一解為：例3 已知三次曲線在四個(gè)點(diǎn)處的值分別為：，試求其系數(shù)。解：將三次曲線在4點(diǎn)處的值代入其方程，得到關(guān)于的線性方程組：它的系數(shù)行列式是范德蒙行列式：所以根據(jù)克萊姆法則，這個(gè)線性方程組有唯一解。又因所以，即所求的三次曲線方程為。例4如果齊次線性方程組有非零解，那么必須滿足什么條件？解：由克萊姆法則知，齊次線性方程組有非零解的必要條件是其系數(shù)行列式等于零，因此有又由：，從而必須滿足的條件為。注用克萊姆法則求解系數(shù)行列式不等于零的元非齊次線性方程組，需要計(jì)算個(gè)階行列式，它的計(jì)算工作量很大。實(shí)際上關(guān)于數(shù)字系數(shù)的線性方程組（包括系數(shù)行列式等于零及方程個(gè)數(shù)和未知量