傳染病的傳播及控制分析數(shù)學建模

1、傳染病的傳播及控制分析摘要 為進一步探索傳染病的傳播和流行規(guī)律及其與防治措施的關(guān)系，本文通過建立傳染病的傳播模型，了解傳染病的擴散傳播規(guī)律，為預測和控制傳染病提供可靠、足夠的信息。 本文針對該問題建立了SEIR微分方程模型，對病毒的傳播過程進行了模擬分析，得出了患者人數(shù)隨時間的變化規(guī)律。我們將人群分為五類：患者、疑似患者、正常人、治愈者和死亡者。前三者作為傳染系統(tǒng)。我們認為治愈者獲得終身免疫，和死亡者一樣移出傳染系統(tǒng)，即后兩者合并為移出者。 本模型將病毒的傳染與擴散分為兩個部分：控制前和控制后。在控制前，相當于沒有對病毒擴散做任何限制，患者數(shù)量短時間內(nèi)大量增長，并以死亡的形式退出傳染系統(tǒng)；在控

2、制后，由于對潛伏者進行了一定強度的隔離，與此同時，確診患者得到有效的治療，使得傳染源數(shù)量減少，患者平均每天接觸的人數(shù)減少，治愈者增多，并作為主要的移出者移出傳染系統(tǒng)。 在模型建立的基礎(chǔ)上，通過Matlab軟件擬合出患者人數(shù)隨時間變化的曲線關(guān)系圖，得到如下結(jié)果：控制前，患者人數(shù)呈指數(shù)增長趨勢；控制后，在時，患者人數(shù)大致在7天時到達最大值，在25天時基本沒有患者；在時，患者人數(shù)大概在第8天到達最大值，大概在28天之后基本沒有患者；在時，大概在第5天患者人數(shù)到達峰值為47391，在21天時基本沒有患者。綜上分析，對隔離強度的處理是控制傳染病的一個重要手段。針對所得結(jié)果，對H7N9的傳播控制時提出了醫(yī)

3、院、政府和個人應有的一些控制措施。 關(guān)鍵詞：隔離強度 潛伏期 SEIR模型 一、問題重述：2013年中，H7N9是網(wǎng)上的熱點，尤其是其高致死率，引起了人們的恐慌，最近又有研究顯示，H7N9有變異的可能。假設(shè)已知有一種未知的現(xiàn)病毒1潛伏期為天，患病者的治愈時間為天，假設(shè)該病毒可以通過人與人之間的直接接觸進行傳播，患者每天接觸的人數(shù)為，因接觸被感染的概率為(為感染率)。為了控制疾病的傳播與擴散，將人群分成五類，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。潛伏期內(nèi)的患者被隔離的強度為（為潛伏期內(nèi)患者被隔離的百分數(shù)）。在合理的假設(shè)下建立該病毒擴散與傳播的控制模型，利用所給數(shù)據(jù)值生成患者人數(shù)隨時間變化的曲線

4、，增強或者減弱疑似患者的隔離強度，比較患者人數(shù)發(fā)生的變化，并分析結(jié)果的合理性。最后結(jié)合該模型的數(shù)據(jù)對控制H7N9的傳播做出一些科學的建議。二、問題假設(shè)：1、 假設(shè)單位時間內(nèi)感染病毒的人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例；2、 假設(shè)單位時間內(nèi)治愈人數(shù)與現(xiàn)有感染者成比例；3、 假設(shè)單位時間內(nèi)死亡人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例；4、 假設(shè)患者治愈恢復后不會再被感染同種病毒，有很強的免疫能力，即被移除出此傳染系統(tǒng)；5、假設(shè)正常人被傳染后，進入一段時間的潛伏期，處于潛伏期的人群不會表現(xiàn)癥狀，不可傳染健康人，不具有傳染性；6、假設(shè)患者入院即表示患者被隔離治療，被視為無法跟別人接觸，故不會傳染健康人；7、假設(shè)實際治愈周期過后

5、，如果患者沒有治愈，則認為患者死亡，即實際治愈周期過后，患者都被移出此感染系統(tǒng)；8、假設(shè)考察地區(qū)內(nèi)疾病傳播期間忽略人口的出生，死亡，流動等種群動力因素對總?cè)藬?shù)的影響。即：總?cè)丝跀?shù)不變，記為N；三、符號說明：符號解釋說明S(t)t時刻正常人（易受感染）人數(shù)E(t)t時刻疑似患者的人數(shù)Q(t)t時刻處于潛伏期的人數(shù)I(t)t時刻確診患者的人數(shù)R(t)t時刻退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)（包括治愈者和死亡者）1 潛伏期的人數(shù)中轉(zhuǎn)化為確診患病的人數(shù)占潛伏期人數(shù)的比例2 每日退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)比例a3 確診患者的治愈時間患者的人均日接觸人數(shù)因接觸被感染的概率潛伏期內(nèi)的患者被隔離的強度4、 問題分析： 根據(jù)題意，這是

6、一個傳染性病毒隨著時間演變的過程，需要研究傳染病在傳播過程中各類人群的人數(shù)變化，特別是通過研究患者和疑似患者的人數(shù)變化，預測傳染病的傳染的高峰期和持續(xù)時間長度，從而我們可以采取相應隔離措施達到控制傳染病傳播的效果。 我們要分析、預測、研究它就得建立動態(tài)模型，查閱相關(guān)資料可知，關(guān)于傳染病的模型已有不少，其中以微分方程模型最具代表性，因題目中把人群分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我們采用微分方程中的SIER模型，將死亡者和治愈者都歸于系統(tǒng)移出者統(tǒng)稱為恢復人群。在此基礎(chǔ)上，我們找出單位時間內(nèi)這五類人群人數(shù)的變化來建立微分方程，得出模型。再利用matlab編程畫出圖形，改變其隔

7、離強度后重新作圖進行比較，對結(jié)果進行分析，并利用此模型對控制H7N9的傳播做出建議。五、模型的建立和求解：5.1傳染病模型的準備 不同類型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點，弄清這些特點需要相當多的病理知識，因此我們不可能從醫(yī)學的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按一般的傳播機理建立模型。查閱相關(guān)資料可知，目前關(guān)于傳染病的模型已有不少，其中以微分方程建立的模型比較具有代表性，模型復雜程度有區(qū)別，故適合的情形也不同，包括I模型、SI模型、SIR模型、SEIR模型等2。I模型是最簡單的模型，從已感染人數(shù)和有效接觸率出發(fā)構(gòu)建模型，但未區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨著時間增加

8、，病人人數(shù)會無限增長，這顯然不符合實際；SI模型是I模型的改進模型，它區(qū)分了已感染者和未感染者，但是該模型沒有考慮到病人可以治愈，導致人群中的健康者只能變成病人，病人不能變成健康者，這也是不符合實際的；在考慮病人治愈后有較強免疫力的情況下，SIR模型對SI模型進行了改進，即增加了移除者（包括死亡者和治愈者），但在實際情況下，傳染病會出現(xiàn)疑似患者，故需要考慮隔離的情況。SEIR模型3-4對SIR模型進行了改進，增加了疑似患者，考慮到了隔離強度，故我們選擇SEIR模型進行此次建模。 根據(jù)題目所給的條件，人群分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。根據(jù)SEIR模型重新歸類，得到以下結(jié)果：

9、 （1）健康人群，即易感染（Susceptibles）人群。記其數(shù)量為S(t)，表示t時刻未感染病但有可能感染該疾病的人數(shù)； （2）確診患者，即被感染（Infection）該疾病的人群，記其數(shù)量為I(t)，表示t時刻已經(jīng)確診為患者入院的人數(shù)；（3）疑似病患，即被入院隔離的人群，包括一部分正常人一部分處于潛伏期的感染者，記其數(shù)量為E(t)，表示t時刻可能感染該疾病的入院被隔離的人數(shù)；（4）潛伏期感染者，即已感染病毒但處于潛伏期的人群，記起數(shù)量為Q(t)表示t時刻已經(jīng)感染病毒但沒有表現(xiàn)癥狀即處在潛伏期的人數(shù)。 （5）恢復人群（Recovered），記其數(shù)量為R(t)，表示t時刻已從感染病者中移出的

10、人數(shù)，包括死亡者和治愈者，這部分人數(shù)既不是已感染者，也不是非感染者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已經(jīng)推出了傳染系統(tǒng)。 該傳染病的傳播流程圖如下： 圖1 傳染病傳播流程圖 5.2傳染病模型的建立5傳播過程中每一個群體都處于動態(tài)的變化中。對S來說，一部分未被隔離的潛伏期感染者能感染正常人，使其成為潛伏期感染者流出S；對于E來說，流入者包括一部分潛伏期的感染者和一部分正常人，流出者包括一部分沒有被感染的正常人和隔離后被確診患者；對于I來說，它既有從包括隔離和未被隔離的H中確診的流入者，也有已經(jīng)治愈的流出者；對于R來說，它只有從I中治愈轉(zhuǎn)化而來的流入者。以上過程在傳染的每一時刻都是相同的。為此

11、我們可將時間假定的非常小，在某一時刻對S、E、I、R取其對時間的微分，這樣既可建立傳染病控制模型的微分方程組如下： 1、控制前階段： 前兩天，患者沒有住院，疑似患者沒有被隔離，患者可以隨意接觸和感染正常人。分析控制前階段時間內(nèi)，疫情的發(fā)展與變化。 （1）正常人-疑似患者：控制前階段病人尚未被隔離，所以疫情發(fā)展比較迅速，此時病人人均每天接觸個正常人，假設(shè)時刻病人人數(shù)為，則新增疑似患者人數(shù)為，。 （2）疑似患者-潛伏期： 疑似患者中包括病毒攜帶者和非病毒攜帶者，病毒攜帶者會進入潛伏期，而非病毒攜帶者最終還是正常人。 設(shè)疑似患者中病毒攜帶者占疑似患者的比例為，假設(shè)時刻疑似患者人數(shù)為，潛伏期患者人數(shù)為

12、，則，故新增潛伏期人數(shù)為。 （3）潛伏期-確診患者：因為每日潛伏期病人變?yōu)榇_診患者的數(shù)量呈指數(shù)增長，用表示這一特性。那么新增確診患者人數(shù)為，現(xiàn)在要確定，如果潛伏期天數(shù)為到，假設(shè)其變化到了一個穩(wěn)定階段，那么隨著天數(shù)的增加潛伏期的病人越來越多，其概率分布呈指數(shù)穩(wěn)步增長，則每天有概率的人變?yōu)樨i流感患者，即。所以新增患者人數(shù)：。 （4）確診患者-治愈、死亡：設(shè)T為退出系統(tǒng)人數(shù)（治愈者和死亡者），如果治愈天數(shù)設(shè)為，那么天后病人要么死亡要么被治愈，而被治愈的人產(chǎn)生抗體，不再會被傳染，所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系統(tǒng)的人。設(shè)系統(tǒng)退出率為，則有退出人數(shù)。的求解方法與相同，即隨著天數(shù)的增加退出傳染系統(tǒng)的人

13、數(shù)也越來越多，則。故新退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)。根據(jù)上述的式子可進一步得出： 所以得出以下：2、 控制后階段： 兩天之后，患者全部住院，疑似患者全部被隔離，剩下一部分未被隔離的感染者變成患者后可以接觸和感染正常人。分析控制后階段時間內(nèi)，疫情的發(fā)展與變化。 （1）正常人-疑似患者：控制后階段，病人開始被隔離，所以疫情發(fā)展開始變慢，并受隔離強度影響，此時病人每天接觸的正常人數(shù)目也在變小，假設(shè)病人的數(shù)目為，則疑似患者數(shù)目。又因為接觸率與隔離強度有關(guān)，也呈指數(shù)分布，所以，故新增疑似患者的數(shù)目。 （2）疑似患者-潛伏期：控制后階段，疑似患者中病毒攜帶者占疑似患者的比例不會改變。假設(shè)時刻疑似患者人數(shù)為，潛伏期患

14、者人數(shù)為，故新增潛伏期人數(shù)為。 （3）潛伏期-確診患者：潛伏期患者變?yōu)榇_診患者的過程與控制前時刻相同，所以新增患者人數(shù)。 （4）確診患者-治愈者、死亡者：同樣退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)不變，則新增退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)。根據(jù)上述可進一步求得出： 整理后得：5.3 傳染病模型的求解： 1、控制前：通過對模型的推導，我們發(fā)現(xiàn)不能給出每個函數(shù)的解析解，因此考慮利用Matlab中的ode系列函數(shù)進行求解。首先，對傳染病模型進行標準化，再帶入?yún)?shù)，并由此建立微分方程組函數(shù)文件，隨后用ode函數(shù)對該文件進行調(diào)用，即可得到微分方程組的解向量，然后利用plot函數(shù)畫出此解向量即可得到各類人群歲時間變化的曲線圖。 控制前患

15、者人數(shù)隨時間變化的關(guān)系如下圖所示： 圖2 控制前患者的人數(shù)隨時間的變化 由上圖可以看出控制前還未采取任何措施時，患者的人數(shù)迅速增加，類似于指數(shù)型增長曲線。這是由于在開始的兩天，患者兩天后才入院，疑似患者兩天后才被隔離缺乏。一方面，他們將病原體迅速地傳染給了健康人；另一方面，他們由于缺乏治療，無法被治愈。當時，患者的數(shù)量越來越多，增長速度越來越快。基本符合實際情況，可見模型的合理性。2、 控制后： （1）當隔離強度時，患者人數(shù)隨時間變化的關(guān)系如下圖所示： 圖3 控制后時患者人數(shù)隨時間的變化 由上圖分析可知，兩天后，對患者進行入院隔離，對疑似患者進行部分隔離，使得新進入潛伏期的人數(shù)在減少。因此，由

16、于時間的延遲，患者人數(shù)的迅速增長，并在接下來的幾天內(nèi)達到峰值，隨后逐漸下降最后平緩的趨于零?；颊呷藬?shù)在增長趨于緩慢的幾天后到達一個峰值。我們求得當隔離率為p=0.4時，患者人數(shù)大致在7天時到達最大值93701，在25天時基本沒有患者。 （2）改變隔離強度為時，患者人數(shù)隨時間變化的關(guān)系如下圖所示： 圖4 控制后時患者人數(shù)隨時間的變化 由上圖分析可知，當p=0.3時，即隔離強度有所下降時，患者人數(shù)在前8天屬于迅速增長趨勢，但增長趨勢慢慢減緩。大概在第8天，患者人數(shù)到達最大值，其后由于大量的患者被治愈且受感染的人數(shù)越來越少，導致患者人數(shù)顯著下降，大概在28天之后基本沒有患者。（3）改變隔離強度為時，

17、患者人數(shù)隨時間變化的關(guān)系如下圖所示： 圖5 控制后時患者人數(shù)隨時間的變化 由上圖分析可知，當時，患者人數(shù)在前四天增長迅速，但由于隔離率很高，病情很快得到有效的控制，使增長人數(shù)越來越少，在第5天患者人數(shù)到達峰值為47391，其后患者由于治愈人數(shù)越來越多，人數(shù)逐漸減少，在21天時基本沒有患者。3、 控制前后模型總體：上圖皆為總體模型的分圖，在進行總體分析時，可以進行進一步的表示。為更直觀的比較不同隔離強度引起的患者人數(shù)變化情況，我們作圖6將不同強度的隔離強度情況相結(jié)合。同時，為了貼合題意，我們在圖像上將控制前的兩天和控制后的情況結(jié)合起來，得到總圖如下所示： 圖6 患者人數(shù)隨時間的變化 由上圖分析可

18、知，控制前，患者人數(shù)的增長速度遠高于控制后患者人數(shù)的增長速度，說明實行疑似患者隔離政策對控制傳染病傳播的效果是很明顯的；三條曲線比較可知，當隔離強度不同時，對患者人數(shù)最高峰出現(xiàn)的天數(shù)和傳染病傳播的持續(xù)時間（即患者全部痊愈沒有再出現(xiàn)患者）有極大的影響。在隔離強度較小時，患者人數(shù)的最高峰出現(xiàn)時間靠后，傳染病持續(xù)的傳播時間較長；在隔離強度較大時，患者人數(shù)能較快的出現(xiàn)最高峰再較迅速的下降，因此傳染病持續(xù)的時間比較短，更有利于傳染病的控制。所以，在實際的傳染病控制過程中，對傳染病進行有效的控制，加大疑似患者隔離的強度是很有必要的。六、模型評價： 優(yōu)點：本模型中采用微分方程中的SEIR模型，對傳染病傳播做

19、出合理假設(shè)，對人群進行了合理的分類，并對其進行數(shù)據(jù)擬合，得出傳染病傳播過程中，各類人群的人數(shù)發(fā)展趨勢，采用數(shù)值計算,圖形觀察與理論分析相結(jié)合的方法,先有感性認識，再用特殊點進行理論分析,最后進行數(shù)值驗證和估算,可以看作計算機技術(shù)與建模方法的巧妙配合。比較全面地達到了建模的目的,即描述傳播過程、分析感染人數(shù)的變化規(guī)律,可以有效預報傳染病高潮到來的時刻和傳染病將持續(xù)的時期，對群眾接受傳染病的預防知識起到很好的警示作用。通過這些數(shù)據(jù)，政府可以更好的探索制止蔓延的手段和措施。 缺點：所建立的模型中，沒有考慮不同年齡段病毒的抵抗力不同，且將治愈者和死亡者當作一類人進行了處理，題目只給出了患者治愈所需的天

20、數(shù)，沒有給出患者死亡的概率，于是我們暫且認為其患者住院達到治愈天數(shù)時即被移出系統(tǒng)，可能是治愈也可能是死亡。其所得的結(jié)果存在一定的誤差，只能粗略的反應此傳染病的傳播情況。要準確反映，需對模型進行進一步的改進。七、模型應用： 根據(jù)建立的SEIR模型和計算所得的數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)，人群接觸的人數(shù)r值越大，正常人被感染的幾率越大，疫情擴散得越快，因此在疫情期間，應減少公共活動，降低病毒的傳播率；通過改變隔離強大的大小后比較可知，p值越小病情越難控制，所以要保證患者能及時住院治療，從而遏制病毒的擴散；綜上所述，結(jié)合實際情況我們可以對控制H7N9傳播提供一些建議：醫(yī)院方面：醫(yī)院應提高醫(yī)院的醫(yī)療水平和衛(wèi)生水平，

21、提高醫(yī)療工作人員的工作效率，加強醫(yī)院的合理化管理，加大對感染者的隔離力度，這樣有助于傳染病的治療和控制工作有序的展開：（1） 根據(jù)人感染H7N9禽流感的流行病學特點，針對傳染源、傳播途徑和易感人群，結(jié)合實際情況，建立預警機制，制定應急預案和工作流程。（2） 醫(yī)院應當規(guī)范消毒、隔離和防護工作，為醫(yī)務人員提供充足、必要、符合要求的消毒和防護用品，確保消毒、隔離和個人防護等措施落實到位，并加大隔離疑似病患的力度，這有利于傳染病的快速控制。 政府方面：應具有敏銳的警覺性，在傳染病開始廣泛傳播之前，應迅速采取一定的方法進行控制：（1）根據(jù)H7N9病毒的特點，加強醫(yī)院、學校、家禽養(yǎng)殖廠、活禽市場等這些重點

22、區(qū)域的疫情防控，確保一旦發(fā)生疫情能及時應對和有效控制。 （2）應對地方醫(yī)療保障措施進行完善，防止患者不能及時就醫(yī)的情況出現(xiàn)，增加傳染病蔓延的趨勢。（3）一方面應加大傳染病的宣傳力度，使公眾對傳染病有一定的警覺和預防意識；另一方面應進行科學的引導，不造成公眾的恐慌心理，日常生活不受影響。 個人方面：應加強對傳染病的認識，提高自身的科學知識，不盲從，不恐慌，以正確的態(tài)度進行預防：（1）保持良好的個人衛(wèi)生習慣，減少與家禽類的直接接觸，減少去禽流感疫區(qū)。（2）加強體育鍛煉，注意補充營養(yǎng)，保證充足的睡眠和休息，增強抵抗力。（3）不要輕視重感冒，禽流感的病癥與其他流行性感冒病癥相似，如發(fā)燒、頭痛、咳嗽及喉

23、嚨痛等，在某些情況下，會引起并發(fā)癥，導致患者死亡。因此，若出現(xiàn)發(fā)熱、頭痛、鼻塞、咳嗽、全身不適等呼吸道癥狀時，應戴上口罩，盡快到醫(yī)院就診，并務必告訴醫(yī)生自己發(fā)病前是否與病禽類接觸等情況，并在醫(yī)生指導下治療和用藥。八、參考文獻：1 張彤.一類具潛伏期和非線性飽和接觸率的流行病模型J,浙江工程學院學報,2004,21(2):136-140.2 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型.高等教育出版社，2003.135-1443 Anderson RM,May RM.Infection diseases of humans:dynamics and control.Oxford Univ press,Oxford,1991.4 張娟.馬知恩 各倉室均有常數(shù)輸入的SEIR流行病模型的全局分析 2003(06).5 Pagilla PR.Robust decentralized control of large-scale interconnected systems:general interconnectionsC/Proc