魏杰信號與系統(tǒng)電子教案l19_ch7

1、信號與系統(tǒng)Signals andSystems魏杰電子信息工程學院第7章 離散時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析7.1 離散時間信號的復頻域分析7.2 離散時間LTI系統(tǒng)的復頻域分析7.3 離散時間系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性7.4 離散時間系統(tǒng)的模擬2學習要求1.2.熟練掌握信號單邊z變換及基本性質(zhì)。掌握利用單邊z變換求解離散系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。重點掌握離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性（時域特性、頻率響應、穩(wěn)定性）的關系。掌握離散時間系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型模擬框圖。3.4.3重點和難點本章的重點是離散時間系統(tǒng)的復頻域分析、系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性本章的難點是離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性47.1

2、離散時間信號的復頻域分析7.1.1 單邊z變換的定義及收斂域7.1.2 常用序列的z變換7.1.3 單邊z變換的主要性質(zhì)7.1.4 單邊z反變換57.1 離散時間信號的復頻域分析理想抽樣信號的拉普拉斯變換xsam (t) = x(t) d (t - kT) = x(kT)d (t - kT)k =-X sam (s) = Lxsam (t)k =-= x(kT )e-ksT k =-= z, 有令esTs域到z域的映射關系：6z = esTLx(t) = xkz-k = X (z)samk =-7.1 離散時間信號的復頻域分析z變換定義及符號表示X (z) = xkz-k k =-雙邊z變換x

3、k = 1 X (z)zk -1dzz反變換2jcC為F(z) 的收斂域(ROC )中的一閉合曲線符號表示正變換：X(z)=Zxk反變換： xk =Z-1X(z)xk z或X (z)7物理意義：將離散信號分解為不同頻率復指數(shù) eksT 的線性組合7.1.1 單邊z變換的定義及收斂域X (z) = xkz-k k =0單邊z變換收斂域(ROC)使上式級數(shù)收斂的所有z的范圍稱為X(z)的收斂域一般右邊序列的收斂域為z平面中的一圓外區(qū)域圓z RIm zxROCRe zz平面Im z|z|=1單位Re z-118例1 求以下序列的Z變換及收斂域。0 k N -1其它xk = 1xk = akuk, a

4、 0(1)(2)0Im z解：1(1) X (z) = az-k=1- az-1kk =0Re zaROC : z1 - z- NN -1(2) X (z) = z-k=1 - z-1 0ROC: zk =0有限長序列z變換的收斂域為|z|09|a|7.1.2 常用序列的z變換Zdk =1,Za kuk =e jW0kuk z 011)2)zza1 - a z-11, z3)11 - e jW0 z-11- cosWz-1cos(W k)ukz 0, z101- 2z-1 cosW+ z-20sinWz-1sin(W k)ukz 0, z101- 2z-1 cosW+ z-20107.1.3

5、單邊z變換的主要性質(zhì)xkz X (z), z Rxx kzX(z), zx k zX(z), zRR11x122x21. 線性特性 max(Rz, Rx)x12收斂域可能發(fā)生變化！11ax k + bx k z aX(z) + bX(z)12127.1.3 單邊z變換的主要性質(zhì)2. 位移特性 因果序列的位移Z xk - nuk - n = z-n X (z) 非因果序列的位移 Rzx-1-n-kZxk - nuk=+ RzX (z)xkzzxk =-nn-1k =0-kZxk + nuk=X (z) - Rnzxkzzx127.1.3 單邊z變換的主要性質(zhì)2. 位移特性-1Zxk - nuk=

6、 z-n X (z) + xkz-k 證明k =-nxk xk -1xk - 2z X (z)kkk000Zxk -1uk = z -1 X (z) + x-1Zxk - 2uk = z -1Zxk -1uk + x-2= z -2 X (z) + z -1 x-1 + x-2依此類推 可證上式成立13例2求RNk=uk-uk-N的z變換及收斂域。1解：ukZ z 1,1 - z -1利用因果序列的位移特性和線性特性，可得z- N= 1 - z -N1X (z) =1- z-1-1- z-11 - z -1由于RNk為有限長序列，故其收斂域為ROC擴大|z|0線性加權(quán)后序列z變換的ROC可能比

7、原序列z變換的ROC大147.1.3 單邊z變換的主要性質(zhì)3.序列卷積證：Z x1k* x2k = Z x1nx2k - nn=0= x1nZ x2k - nn=0-n= X(z)x nz21n=0= X1 (z) X 2 (z)15x1k* x2k X1 (z) X 2 (z),z max(Rx , Rx)12kZ xn例3求n=0k xn = xk* ukn=0解：xkzzX (z),R設x利用z變換的卷積特性，以及1uk zz,11 - z-1可得k= X (z)xn = Zxk ZukZ1- z-1n=0 max(1, Rx )z16例4求以下周期序列的單邊z變換。k = 2n,k =

8、 2n +1,n = 0,1,1,2, L2, Lxk = (1)n = 0,0,1,kyk = (-1)i xk - ii=0(2)分析：周期為N的單邊周期序列xNkuk可以表示為第一個周期序列x1k及其位移x1k-lN的線性組合，即xN k uk = x1k - lN uk - lN l=0若計算出x1k的z變換X1(z)，利用因果序列的位移特性和線性特性，則可求得其單邊周期序列的z變換為X(z)l=0Z xkuk =- NlX(z)z 1=11- z - NzN117例4求以下周期序列的單邊z變換。k = 2n,k = 2n +1,n = 0,1,1,2, L2, Lxk = (1)n

9、= 0,0,1,kyk = (-1)i xk - ii=0(2)解：(1) xk可表示為xk = dk +dk - 2 +dk - 4 +L利用dk的z變換及因果序列的位移特性，可得1X (z) = 1+ z-2(2) 將yk改寫為+ z-4+L = 1z1- z-2kyk = (-1)i xk - i = (-1)k uk * xki=0由(1)題的結(jié)果及卷積特性，可得Y (z) = 1 1z18(1 + z -1)(1 - z -2 )7.1.3 單邊z變換的主要性質(zhì)4. 指數(shù)加權(quán)特性19ak xkZX ( za),za Rx例5求aksin(W0k) uk 的z變換及收斂域。解：sin

10、W0 z -1sin( Wk)ukz 1z0-+ z -2cos W1 - 2z10利用z變換的指數(shù)加權(quán)特性，可得a)-1sinW(zsin(W k)ukzak 001- 2(za)-1 cosW+ (za)-20asinWz-1= 0az- 2a z-1 cosW+ z-2a20207.1.3 單邊z變換的主要性質(zhì)5.z域微分特性21kxk z-z dX (z) ,zRdzx例6求xk=(k+1)akuk的z變換及收斂域。1解：ak ukZ z a,1 - az-1利用z域微分特性，可得 d 1az-1k= -zZkauk = a, zdz1- az-1-12(1 - az)利用z變換的線性

11、特性，可得1(k +1)ak uk Z , z a(1 - az-1)2227.1.3 單邊z變換的主要性質(zhì)6.初值與終值定理 x0 = limX (z)z若(z-1)X(z)的收斂域包含單位圓，則 x = lim (z -1)X (z)z123例7已知X(z) = 1/(1-a z-1) , |z| |a|，求x0，x1和 x 。解：x0 = limX (z) = lim 1 z= 1= limz 1 - az -1z - azz根據(jù)位移特性有xk +1uk z zX (z) - x0對上式應用初值定理，即得azx1 = lim zX (z) - x0 = lim= az - azz24例7

12、已知X(z) = 1/(1-a z-1) , |z| |a|，求x0，x1和 x 。解：當-1a 1時，(z-1)X(z)的收斂域包含單位圓，由終值定理得a = 1x = lim (z -1) X (z) = lim z(z -1) = 1 1或a = -1時，(z-1)X(z)的收斂域不包含單位圓，終值定理不適用。257.1.4 單邊z反變換xk = 1X (z)zk -1dz2jcC為X(z) 的ROC中的一閉合曲線。計算方法：冪級數(shù)展開法和長除法部分分式展開留數(shù)計算法267.1.4 單邊z反變換部分分式法b+ b z-1 +L+ bz-mB(z)X (z) = 01m1+ a z-1 +

13、L+ az-nA(z)1n1. mn，分母多項式無重根nX (z) = i=ri-1 -1p z1i各部分分式的系數(shù)為r= (1- p z-1 ) X (z)z= piii277.1.4 單邊z反變換部分分式法b+ b z-1 +L+ bz-mB(z)X (z) = 01m1+ a z-1 +L+ az-nA(z)1n2. m 1, 求xkz- 0.5z - 0.5z2解：將X(z)化為z的負冪，可得2 - 0.5z-1ABX (z) =1- 0.5z-1 - 0.5z-2=1- z-1+1+ 0.5z-12 - 0.5z-1A = (1- z) X (z)-1=1+ 0.5z-1= 1z=1

14、z =12 - 0.5z-1B = (1+ 0.5z) X (z)-1= 1z=-0.5z=-0.51- z-1將X(z)進行z反變換，可得xk = Z -1X (z) = uk + (-0.5)k uk 303 - 8z-1 + 20z-2 -16z-3例9 X (z) = 4, 求xk。,z(1- 2z-1 )2 (1- 4z-1 )解：m=n，由多項式除法可得2(1- 2z-1 )2 (1- 4z-1 )G(z)X (z) = 1+ABCG(z) =+(1- 2z-1 )21- 2z-11- 4z-12A = (1- 2z-1 )2 G(z)= -2z=2z=21- 4z-1d(1- 2

15、z-1 )2 G(z)1d21= -= -431B =z =2-2 dz-11- 4z-1z=2-1(-2)dz3 - 8z-1 + 20z-2 -16z-3例9 X (z) = 4, 求xk。,z(1- 2z-1 )2 (1- 4z-1 )ABCG(z) =+解：(1- 2z-1 )21- 2z-11- 4z-12C = (1- 4z-1 )G(z)= 8z=4z=4(1- 2z-1 )2所以248X (z) = 1-+(1- 2z-1 )21- 2z-11- 4z-1進行z反變換，得xk = d k +-2(k +1)2k - 4 2k + 8 4k uk 32z2例10 X (z) =

16、a, 求xk。, z+ a2z2解： X(z)有一對共軛復根，可以直接利用1- z-1 cosWcos(W k)ukZ 001- 2z-1 cosW+ z-201X (z) =1+ (za)-2x k = cos p k ukX(z) = 1 211+ z -21xk = ak cos p k uk由指數(shù)加權(quán)性質(zhì) 2331X (z) = 0，求xk。例11, z(1+ 2z-1 )(1+ z-1+ z-2 )Bz -1 + CA解：X (z) =1+ 2z-1+1+ z-1 + z-2B, C用待定系數(shù)法求= 1- 2z-1 cos(23) + z-21+ z-1+ z-2A=4/3,B=-2

17、/3,C= -1/33) - sin 2p (k + 1)- 2sin(2p k 4xk =(-2)k3 uk 33sin(2p3)3sin(2 3)347.1.4 單邊z反變換 留數(shù)法n1c=Re s X (z)zk -1 z = pk -1xk =X (z)zdz2ji=1i若X(z)z k-1在z = pi處有一階極點，則該極點的留數(shù)為Re s X (z)zk -1 = (z - z ) X (z)zk -1z= ziiz= pi若X(z)z k-1在z = p處有一階極點，則該極點的留數(shù)為 d n-1 (z - p)n X (z) 1k -1 =Re s X (z)zz = pn-1(

18、n -1)! dzz = p352z2 - 0.5z例12X (z) =, z 1,用留數(shù)法求xk。- 0.5z - 0.5z2解：X(z)z k-1在z=1, z=-0.5有兩個一階極點，其留數(shù)為= 2z - 0.5 z kRes X (z)zk -1 = (z -1) X (z)zk -1= 1z=1z=1z + 0.5z =1Res X (z)zk -1 = (z + 0.5) X (z)zk -1z=0.5z=1= 2z - 0.5 z k= (-0.5)kz -1z =-0.5xk = Res X (z)zk -1 + Res X (z)zk -1 =1+(-0.5)kukz=1z=

19、-0.536離散時間信號的z域分析小結(jié)z變換與拉普拉斯變換的關系。雙、單邊z變換的定義與適用范圍：雙邊適用于離散系統(tǒng)綜合設計； 單邊大多用于離散系統(tǒng)的分析。z域分析與其他域分析方法相同，z變換的性質(zhì)類似于其他變換。377.2 離散時間系統(tǒng)響應的z域分析解差分方程時域響應yk時域差分方程反變換變換z域代數(shù)方程 z域響應Y(z)解代數(shù)方程38zz二階系統(tǒng)響應的z域求解yk + a1 yk -1 + a2 yk - 2 = b0 xk + b1 xk -1初始狀態(tài)為y-1, y-2對差分方程兩邊做z變換，利用k 0Y (z) + a z-1Y (z) + a y-1 + a z-2Y (z) + a

20、y-1z-1 + ay-211222= b X (z) + b z-1 X (z)0139Zyk - 2uk = z -2Y (z) + y-1z -1 + y-2Zyk -1uk = z -1Y (z) + y-1二階系統(tǒng)響應的z域求解- a y-1 - ay-2 - ay-1z-1b+ b z-1Y (z) = 122+ 01X (z)1+ a z-1 + az-21+ a z-1 + az-21212a y-1 + ay-2 + ay-1z-1Yzi (z) = - 1221+ a z-1 + a z-212b+ b z-1Yzs (z) = 01X (z)1+ a z-1 + az-2

21、12-yk = ZY(z) + Y1(z)zizs40Yzs (z)Yzi(z)例13某離散LTI系統(tǒng)滿足 yk-4yk-1+4yk-2= 4xk，已知y-1=0 ，y-2=2，xk=(-3)k uk， 由z域求yzi k、yzs k、yk。解：將差分方程兩邊進行單邊z變換得Y(z)-4z-1Y(z)+y-1+4z-2Y(z)+z-1y-1+y-2=4X(z)求解此代數(shù)方程可得系統(tǒng)完全響應的z域表示式4 y-1 - 4z-1 y-1 - 4 y-21- 4z-1 + 4z-24X (z)Y (z) =+1- 4z-1 + 4z-241Yzs(z)Yzi(z)例13某離散LTI系統(tǒng)滿足 yk-4

22、yk-1+4yk-2= 4xk，已知y-1=0 ，y-2=2，xk=(-3)k uk， 由z域求yzi k、yzs k、yk。4 y-1 - 4z-1 y-1 - 4 y-2- 8解：Yzi (z) =(1- 2z-1 )21- 4z-1 + 4z-2yk = Z -1Y(z) = -8k (2)k - 8(2)k , k 0zizi411.60.961.44Y(z) =+zs1- 4z-1 + 4z-2 1+ 3z-1(1- 2z-1 )21- 2z-11+ 3z-1yzsk=Z-1Yzs(z)=1.6(k+1)(2)k+0.96(2)k+1.44(-3)kukyk=yzik+yzsk =

23、-6.4k(2)k-5.44(2)k+1.44(-3)kk042例14已知一LTI離散系統(tǒng)滿足差分方程2 yk + 2 + 3yk +1 + yk = xk + 2 + xk +1 - xkk 0y-1 = 2, y-2 = -1, xk = uk由z域求系統(tǒng)零輸入響應，零狀態(tài)響應和完全響應。解：令k=k-22yk + 3yk -1 + yk - 2 = xk + xk -1 - xk - 2對差分方程兩邊做z變換2Y (z) + 3z-1Y (z) + y-1 + z-2Y (z) + z-1 y-1 + y-2= (1 + z-1 - z-2 ) X (z)433y-1 + y-1z-1 + y-21+ z-1 - z-2Y (z) = -+X (z) 2 + 3z-1 + z-22 + 3z-1 + z-2例14已知一LTI離散系統(tǒng)滿足差分方程2 yk + 2