微積分的創(chuàng)立 數學史.ppt

1、微積分的創(chuàng)立,解析幾何是代數與幾何相結合的產物，它把變量引入數學，使得人們借助于數學對運動變化的規(guī)律進行定量的分析成為可能，同時也為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎。微積分的創(chuàng)立是17世紀數學最重要的成就之一，也是科學技術發(fā)展史上最重大的事件之一。,牛頓稱微積分為“流數術”，這個名稱后來逐漸被淘汰。萊布尼茨使用了“差的計算”與“和的計算”。后來，“差的計算”變成專門的術語“微分學（calculus differentialis）”，而“和的計算”變成“積分學（calculus summatorius）”，兩者合起來就是微積分（calculus）。,在中國，1859年5月10日，上海印刷發(fā)行了李善蘭和偉烈

2、亞歷合譯的代微積拾級。原書是羅密士的解析幾何與微積分基礎。譯名的“代”指的是解析幾何（原譯名為代數幾何，解析幾何為日文譯名），“微”指微分，“積”指積分。Cululus譯作“微積”。李善蘭序中說：“是書先代數，次微分，由易而難，若階級之漸升?！惫拭笆凹墶薄＿@就是中國微積分名稱的來源。把calculcus譯成“微積分”，可能是依數書記遺“不辯積微之為量，詎曉百憶于大千”句，取“積微成著”之義，譯名反映了李善蘭對概念的科學內容的深刻理解，并表現(xiàn)了漢學的高深造詣。,微積分產生的背景,事實上，“無限細分，無限求和”的微積分思想，在古代的西方和中國早就已經開始萌芽。 兩千多年以前的古希臘時代，地中海沿

3、岸的奴隸們在繁重的生產勞動中，早就認識到搬運重東西時利用滾動要比滑動省力，因而在運輸中廣泛應用裝有圓輪和圓軸的車子；那時也已經出現(xiàn)了水輪機，利用流水的沖力推動水輪轉動，水輪又經過齒輪的作用帶動碾磨。為了精密地制造這些工件，就需要對圓形有精確的認識，在深入地研究圓形的過程中，出現(xiàn)了“無限細分、無限求和”的微積分思想的萌芽。,微積分產生的背景,古希臘科學家阿基米德在解決許多實際問題的同時，研究了圓的周長和面積的計算問題，他利用圓的內接正多邊形和外切正多邊形來推算，邊數越多，圓和多邊形就越接近。從圓心到多邊形頂點的半徑把多邊形分成一個個三角形。也同時把圓分成一個個扇形。多邊形的邊數越多，三角形就越接

4、近扇形，三角形的底邊（即多邊形的一條邊）便近似于扇形的圓?。蝗切蔚拿娣e便近似于扇形的面積；各個三角形底邊之和便近似于圓的周長；各個三角形面積之和就近似于圓的面積，而且隨著邊數的增多，這種近似就變得越來越精確。,微積分產生的背景,阿基米德從最簡單的六邊形一直做到96邊形，得出圓周長和圓的直徑的比值（圓周率）是3(10/71)與3(1/7)之間的數。在這個計算工作中，已包含了“無限細分，無限求和”的微積分思想，多邊形不斷增多邊數，這就是對于圓周“無限細分”，由許多三角形的總和來求圓周長及圓面積，這就是“無限求和”。,微積分產生的背景,我國古代，也早就有了微積分思想的萌芽。 西漢劉歆在西京雜記中提

5、到的“記里車”，東漢張衡制造的“渾天儀”，蜀漢諸葛亮使用并改進的“木牛流馬”，都要設計制造圓形的物件，從而產生了魏晉時劉徽提出的“割圓術”。 他從圓內接正六邊形做起，令邊數成倍的增加，逐步推求圓內接正12邊形，正24邊形，直到正3072邊形，用這個正3076邊形面積來逼近圓面積，就得到的較精確值3.1416，“割之彌細，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！边@就包含著微積分中“無限細分，無限求和”是思想方法。,微積分產生的背景,到了16世紀前后，社會生產實踐活動進入了一個新的時期。開普勒根據長期的天文觀測資料，總結出行星運動的三大定律；伽利略發(fā)現(xiàn)了自由落體的運動規(guī)律，這個

6、規(guī)律可表示成著名的公式S=1/2gt2；,微積分產生的背景,笛卡兒關于幾何學的工作及費馬對極值問題的研究，特別是他們關于解析幾何的工作，開始有了變數概念，并把描述運動的函數關系和幾何中曲線問題的研究統(tǒng)一起來了。,微積分產生的背景,問題1：求自由落體在下落后1秒鐘這個時刻的瞬時速度？ 問題2：求一個曲邊三角形的面積。 這兩個問題在形式上雖然很不相同，但解決這些問題的基本思想卻是一樣的。前者屬于微分學問題，后者屬于積分學問題。用微積分解決問題的基本思想是先在局部“以不變代變”或“以直代曲”，求得所求量的近似值，然后在無限變化的過程中實現(xiàn)近似轉化為精確。,先驅們的探索,17世紀以前，人類關于數學的知

7、識基本上還停留在初等數學的水平上，即常量數學的階段。從17世紀中葉到18世紀末，歐洲工業(yè)革命的興起，廣泛地采用了機器，為了設計和制造機器，就需要掌握機械運動的規(guī)律；水運的改進要求了解物體在液體中的運動規(guī)律；船只穩(wěn)定性的研究促進了質點力學的發(fā)展；為了適應對外擴張和爭霸的需要，戰(zhàn)爭中廣泛使用槍炮，這就要研究拋射體的運動，所有這些生產和技術中出現(xiàn)的問題迫切要求力學、天文學等基礎學科的發(fā)展，但這些學科都是離不開數學的，因而也就推動了數學的發(fā)展。,先驅們的探索,17世紀上半葉，隨著函數觀念的建立和對機械運動規(guī)律的探求，許多實際問題擺到了數學家們的面前。 幾乎所有的科學大師都把自己的注意力集中到尋求解決這

8、些難題的新的數學工具上來。 他們在解決問題的過程中，逐步形成了微積分學的一些基本方法，這些問題可以分為以下四類：,先驅們的探索,第一類是已知物體移動的距離可以表示為時間的函數，求物體在任意時刻的速度和加速度；反之，已知物體的加速度表示為時間的函數，求速度和距離。 第二類是求曲線的切線。 第三類是求函數的最大值與最小值，例如拋射體獲得最大射程時的發(fā)射角，行星離開太陽的最遠和最近距離等問題，這方面的工作是由開普勒的觀測開始的。 第四類是求曲線的長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心以及一個體積相當大的物體（例如行星）作用與另一個物體上的引力等。,科學的巨人牛頓,牛頓（Isaac Newto

9、n，16421727）誕生于英格蘭林肯郡的小鎮(zhèn)烏爾斯索普的一個農民家庭。在他出生之前，他的父親已去世。3年后，他的母親迫于貧苦再嫁給一位牧師，把牛頓留給祖母撫養(yǎng)。8年之后，牧師病故，牛頓的母親帶著和后夫所生的一子二女又回到烏爾斯普。牛頓自幼沉默寡言，性格倔強，這種習性可能來自他的家庭處境。,科學的巨人牛頓,牛頓12歲時才進入離家不遠的格蘭瑟姆中學學習。牛頓的母親原希望他成為一個農民，贍養(yǎng)家庭，但牛頓本人卻酷愛讀書，以至經常忘了干活。隨著年歲增大，牛頓越發(fā)愛好讀書，喜歡沉思，做科學小試驗。他在格蘭瑟姆中學讀書時，曾寄寓在一位藥劑師家里，使他受到化學實驗的熏陶。牛頓在中學時代學習成績并不出眾，只是

10、愛好讀書，對自然現(xiàn)象有好奇心，例如顏色、日影四季的移動，尤好幾何學、哥白尼的日心說等等。他還分門別類地記讀書心得筆記，又喜歡別出心裁地做些小工具、小技巧、小發(fā)明、小試驗。,科學的巨人牛頓,當時英國社會滲入基督教新教思想，牛頓家里有兩位都以神父為職業(yè)的親戚，這可能影響牛頓晚年的宗教生活。 從這些平凡的環(huán)境和活動中，看不出幼年的牛頓是一個才能出眾異于常人的兒童。然而格蘭瑟姆中學的校長J.斯托克斯，還有牛頓的一位當神父的叔父W.艾斯庫別具慧眼，鼓勵牛頓上大學讀書。在他們的鼓勵下，牛頓于1661年以減費生的身份進入劍橋大學三一學院，1664年成為獎學金獲得者，1665年獲學士學位。,科學的巨人牛頓,1

11、7世紀中葉，劍橋大學的教育制度還滲透著濃厚的中世紀經院哲學的氣味。當牛頓進入劍橋大學時，那里還在傳授一些經院式課程，如邏輯、古文、語法、古代史、神學等等。,科學的巨人牛頓,兩年之后三一學院出現(xiàn)了新氣象。H.盧卡斯創(chuàng)設了一個獨辟蹊徑的講座，規(guī)定講授自然科學知識如地理、物理、天文和數學課程。講座的第一任教授就是巴羅。在巴羅的指導下，牛頓掌握了算術、三角，學習了歐幾里得的幾何原本。并閱讀了開普勒的光學、笛卡兒的幾何學和哲學原理、伽利略的關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話、R.胡克的顯微圖集和華萊士的無窮算術等著作，特別是笛卡兒的幾何學和華萊士的無窮算術對他數學思想的形成尤為重要。,科學的巨人牛頓,

12、1665年8月，劍橋大學因為瘟疫流行而停課放假，牛頓回到故鄉(xiāng)烏爾斯索普，在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的這兩年間，牛頓思考了自然科學領域中的一些前人從未思考過的問題，踏進前人沒有涉及的領域，創(chuàng)建了前所未有的驚人業(yè)績。,科學的巨人牛頓,1665年初他創(chuàng)立了級數近似法以及把任何冪的二項式化為一個級數的規(guī)則。同年11月，創(chuàng)立了正流數法（微分）；次年1月，研究顏色理論；5月，開始研究反流數法（積分）。 這一年內，牛頓還開始研究重力問題，并試圖把重力理論推廣到月球的運行軌道上去。他還從開普勒定理中推導出使行星保持在他們軌道上的力必定于它們到旋轉中心的距離平方成反比。,科學的巨人牛頓,牛頓見蘋果落地而悟出地球引力的傳說，

13、說的也是在此時發(fā)生的軼事?？傊诩亦l(xiāng)居住的這兩年中，是牛頓科學生涯的黃金歲月，他一生中的許多重大科學思想和創(chuàng)造都是在這短短兩年期間孕育、萌發(fā)和形成的。 牛頓的自然哲學的數學原理發(fā)表300周年紀念郵票。,科學的巨人牛頓,1667年牛頓重返劍橋大學，10月1日被選為三一學院的仲院侶，次年3月16日選為正院侶。巴羅對牛頓的才華非常賞識，1669年10月27日巴羅便讓年僅26歲的牛頓接替他擔任盧卡斯講座的教授。1672年起他被接納為皇家學會會員，1703年被選為皇家學會主席直到逝世。 劍橋大學三一學院教堂內的牛頓塑像,科學的巨人牛頓,牛頓在寫作自然哲學之數學原理之后，厭倦了大學教授的生活，他得到在大

14、學學生時代結識的一位貴族后裔C.蒙塔古的幫助，于1696年謀得造幣廠監(jiān)督職位，1699年升任廠長，1701年辭去劍橋大學工作。當時英國幣制混亂，牛頓運用他的冶金知識，制造新幣。因改革幣制有功，1705年受封為爵士。晚年研究宗教，著有圣經里兩大錯訛的歷史考證等文。牛頓于1727年3月31日在倫敦郊區(qū)肯辛頓寓中逝世，以國葬禮葬于倫敦威斯敏斯特教堂。,科學的巨人牛頓,牛頓關于微積分問題的研究起始于1664年秋，當時他認真研究了笛卡兒的幾何學，對笛卡兒求曲線的切線方法產生了濃厚的興趣并試圖尋找更好、更一般的方法。 1666年10月，牛頓寫出了第一篇關于微積分的論文流數短論，在該文中首次提出流數的概念，

15、所謂流數就是速度，在變速運動中速度的路程對時間的微商。至于速度的變化狀況就要用速度的微商來反映，即加速度是速度的微商。,科學的巨人牛頓,1669年，牛頓又完成了關于微積分的第二篇論文運用無窮多項方程的分析學。牛頓在這里不僅給出了求一個變量對于另一個變量的瞬時變化率的一般方法，而且還證明了面積可以由變化率的逆過程得到。這一事實實際上已經初步給出了微積分基本定理。不過也可以明顯看出，牛頓在這里回避了運動變化的觀點而將無限小增量“瞬”看作是靜止的無限小量，并在某些情況下直接令其為0，這就帶有了濃厚的不可分量的色彩。,科學的巨人牛頓,1671年，牛頓關于微積分的第3本論著流數術和無窮級數寫成（1736

16、年出版）。在這部著作中，他恢復了在流數短論中采用的運動觀點。對以物體運動為背景提出的流數概念作了進一步的論述，并清楚地稱述了流數術所提出的中心問題是： 已知流量間的關系，求流數關系（即微分法）； 已知表示量的流數間的關系的方程，求流量間的關系（即積分法）。,科學的巨人牛頓,1676年，牛頓完成了他的第4篇論文曲線求積論（1704年發(fā)表），這是他最成熟的一部微積分論著。在這部著作中，他改變了過去那種“略去所有含瞬的項”的做法，認為“數學的量不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運動來描述的。”為此他引入了最初比和最后比的概念，并借助于幾何解釋把流數理解為增量消逝時的最后比。,科學的巨人牛頓,牛頓

17、的流數術，除了他的少數幾個朋友之外，長久沒有人知道，上述論著也都是在寫出很長一段時間后才正式發(fā)表的。牛頓微積分學說最早的公開表述是在1687年出版的巨著自然哲學之數學原理中，這本書也是在他的朋友哈雷的鼓勵和敦促下出版的，這是他一生主要工作的總結，也是科學史上的一件大事。,科學的巨人牛頓,科學的巨人牛頓,在這部著作中，牛頓以幾何的語言介紹了他的“首末比方法”，并對此作出解釋：“量在其中消逝發(fā)最后比，嚴格地說，不是最后量的比，而是無限減少的這些量的比所趨近的極限。它與這個極限雖然比任何給出的差更小，但這些量在無限縮小以前既不能超過也不能達到這個極限?！北憩F(xiàn)出牛頓曾經試圖以極限的方式作為微積分基礎的

18、強烈傾向。但牛頓并沒有完全放棄無窮小的觀念，他在創(chuàng)導首末比的同時也保留了無限小瞬即不可分量的思想，盡管這種做法被有些人認為是自相矛盾，但客觀上也反映了牛頓曾試圖對微積分的基礎給出不同的解釋，這正表明了他對如何建立嚴格的微積分基礎進行了謹慎的思考。,科學的巨人牛頓,除了對微積分的重要貢獻之外，牛頓還在函數理論、無窮級數、微分方程、變分法、代數和解析幾何等領域都有杰出貢獻。 許多人對他由衷的敬佩，連與他同時代的萊布尼茨也對牛頓倍加贊譽：“在從世界開始到牛頓生活的年代的全部數學中，牛頓的工作超過了一半?！?拉格朗日更不是不吝言辭地說道：“他是歷史上最有才能的人，也是最幸運的人因為這個宇宙體系只能被發(fā)

19、現(xiàn)一次?！?連詩人蒲普在詩中說：“宇宙和自然的規(guī)律隱藏在黑夜里，神說：讓牛頓降生吧！一切都會是光明的?！?科學的巨人牛頓,然而就這樣一位科學巨人，卻是十分謙虛的，他曾經說過：“我不知道世人把我看成什么樣的人。但是，對于我自己來說，就像一個在海邊玩耍的孩子，有時找到一塊比較平滑或格外漂亮的貝殼，感到高興，而在我面前的卻是完全沒有被發(fā)現(xiàn)的真理的海洋?！?并稱：“如果我比別人看得更遠，那只是因為我站在了巨人的肩上?！?科學的巨人牛頓,1727年牛頓去世，被葬于倫敦威斯特敏斯特大教堂，葬儀十分隆重。 正如法國文學家伏爾泰所說：“我曾見過一位數學教授，只是由于他貢獻非凡，死后葬儀之顯赫猶如一位賢君。”,

20、多才多藝的數學大師萊布尼茨,與牛頓分享微積分創(chuàng)立的榮譽的德國數學家萊布尼茨（Gottfrid Wilhelm Leibniz，16461716）出生與德國萊比錫，是微積分的另一個奠基者，他的學識包括哲學、歷史、生物學、機械、物理、數學、神學等等。,多才多藝的數學大師萊布尼茨,萊布尼茨于1661年（15歲）考入萊比錫大學學習法律，同時努力學好各門功課。那時德國大學水平是很低的，歐幾里得幾何學的教師講解含糊不清，除了萊布尼茨外，便沒有人能聽懂。高等數學是完全沒有的。1666年萊布尼茨發(fā)表了一篇關于數理邏輯的論文，雖然是極不成熟的作品，但已顯示出他的數學才能。,多才多藝的數學大師萊布尼茨,1672年

21、，他在巴黎見到了惠更斯，在惠更斯的鼓勵下，開始深入研究數學，在1673年訪問倫敦時，他會見了許多數學家，學到了不少關于無窮級數的知識，獲得了一本巴羅的幾何講義，還知道了牛頓的一些工作。 回巴黎后，他研究了卡瓦列利、伽利略、帕斯卡、笛卡兒等人的數學著作。他在求積問題的研究中的第一批成果之一是求出一個單位圓的面積是無窮級數1-1/3+1/5-1/7+的四倍，即5/=1-1/3+1/5-1/7+。,多才多藝的數學大師萊布尼茨,在他以后的研究中，主要以后的研究中，主要致力于切線問題以及求積問題，并根據巴羅的“微分三角形”，終于在1684年（牛頓自然哲學之數學原理出版前3年）發(fā)表了他的第一篇微分學論文，

22、這是世界上最早的微積分文獻。 這篇論文有一個很長而古怪的標題：“一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算?！?多才多藝的數學大師萊布尼茨,多才多藝的數學大師萊布尼茨,這篇僅6頁紙、內容并不豐富、說理也頗為含混的文章，卻具有劃時代的意義。 它已含有現(xiàn)代的微積分符號和基本微分法則：dax=adx；d(z-y+w+x)=dz-dy+dw+dx；duv=udv+vdu。導數記作dx:dy，在1675年的手稿中記作dx/dy，1676年記作dy/dx，后來在1693年的另一篇論文中用ddx:dy2表示2階導數。1684年的論文還給出極值的條件是dy=0，拐點的

23、條件是d2y=0。,多才多藝的數學大師萊布尼茨,萊布尼茨斷定一個事實：作為求和過程的積分是微分的逆。這種想法已出現(xiàn)在巴羅和牛頓的著作中，他們用反微分求得面積，但萊布尼茨是第一次表達出求和與微分之間的關系。 這一關系的現(xiàn)代表述就是眾所周知的牛頓-萊布尼茨公式：設f(x)是a,b上連續(xù)，且當xa,b時，F(xiàn)(x)=f(x)，則 f(x)dx=F(b)-F(a)。 這一結論出現(xiàn)在萊布尼茨1677年的一篇手稿中。,多才多藝的數學大師萊布尼茨,1686年，萊布尼茨在學藝上發(fā)表了題為深奧的幾何不可分量及無限的分析的第一篇積分學論文。在這篇論文中，他初步論述了求積（積分）問題與切線（微分）問題的互逆關系。 萊

24、布尼茨還是歷史上最大的符號學者之一。他所創(chuàng)設的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響。他煞費苦心地研究，要把記號選得最好。當然，他的dx,dy和dx /dy仍然是標準的。,多才多藝的數學大師萊布尼茨,萊布尼茨在數學方面的成就是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數學的許多領域。他一系列重要數學理論的提出，為后來的數學理論奠定了基礎。 萊布尼茨曾討論過負數和復數的性質，得出復數的對數并不存在，共軛復數的和是實數等結論。在后來的研究中，萊布尼茨證明了自己結論是正確的。 他還對線形方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。,多才多藝

25、的數學大師萊布尼茨,此外，萊布尼茨還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念。 1673年萊布尼茨特地到巴黎去制造了一個能進行加、減、乘除及開方運算的計算機。這是繼帕斯卡加法機后，計算工具的又一進步。 他還系統(tǒng)地闡述了二進制記數法，并把它和中國的八卦聯(lián)系起來，為計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅實的基礎。,多才多藝的數學大師萊布尼茨,萊布尼茨的物理學成就也是非凡的。 在光學方面，萊布尼茨也有所建樹。 另外，萊布尼茨對中國的科學、文化和哲學思想十分關注，他是最早研究中國文化和中國哲學的德國人。他向耶酥會來華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關中國的情況，包括養(yǎng)蠶紡織、造紙印染、冶金礦產、天文地理、數學文字等等，并將這些資料編輯成冊出版。他認為中西相互之間應建立一種交流認識的新型關系。,多才多藝的數學大師萊布尼茨,在中國近況一書的緒論中，萊布尼茨寫到：“全人類最偉大的文化和最發(fā)達的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端即匯集在歐洲和位于地球另一端的東方的歐洲中國?！薄爸袊@一文明古國與歐洲相比，面積相當，但人口數量則已超過”?！霸谌粘Ｉ钜约敖涷灥貞蹲匀坏募寄芊矫?，我們是不分仲