數(shù)列極限及其性質(zhì)

1、第2講 數(shù)列極限概念及其性質(zhì)授課題目數(shù)列極限概念及其性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容1. 數(shù)列概念，2.數(shù)列收斂與發(fā)散的定義； 3. 無窮小數(shù)列及其性質(zhì)；數(shù)列極限的唯一性、有界性、保號(hào)性、保不等式性教學(xué)目的和要求通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生能夠較好地理解數(shù)列極限的分析定義、數(shù)列極限的唯一性、有界性、保號(hào)性、保不等式性；學(xué)會(huì)證明數(shù)列極限的基本方法，懂得數(shù)列極限的分析定義中 與 的關(guān)系學(xué)會(huì)若干種用數(shù)列極限的分析定義證明極限的特殊技巧.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的分析定義；教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的分析定義中與的關(guān)系.教學(xué)方法及教材處理提示(1) 本講的重點(diǎn)是數(shù)列極限的分析定義，要強(qiáng)調(diào)這一定義在分析中的重要性具體教學(xué)中先教

2、會(huì)他們證明 ， ，( ，然后教會(huì)他們用這些無窮小量來控制有關(guān)的變量（適當(dāng)放大但仍小于這些無窮小量）；(2)數(shù)列極限的分析定義仍是教學(xué)難點(diǎn)對(duì)較好學(xué)生可要求他們用數(shù)列極限的分析定義證明較復(fù)雜的數(shù)列極限，還可要求他們深入理解數(shù)列極限的分析定義；(3) 關(guān)于數(shù)列極限的分析定義的掌握不可要求一步到位，要有一個(gè)學(xué)習(xí)過程，對(duì)多數(shù)學(xué)生可只布置一些簡單證明題；（4）可對(duì)多數(shù)學(xué)生重點(diǎn)講解極限唯一性質(zhì)、有界性質(zhì)的證明過程.作業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材 :1，2（3，4）；7；8（1，2）.講授內(nèi)容一、數(shù)列極限概念 數(shù)列 或簡單地記為，其中，稱為該數(shù)列的通項(xiàng)關(guān)于數(shù)列極限，先舉二個(gè)我國古代有關(guān)數(shù)列的例子（1）割圓術(shù)：“割之彌

3、細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽.園內(nèi)接正邊形的面積），當(dāng)時(shí)，（2） 古代哲學(xué)家莊周所著的莊子天下篇引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其含義是：一根長為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去 第一天截下，第二天截下，第n天截下，這樣就得到一個(gè)數(shù)列或.不難看出，數(shù)列的通項(xiàng)隨著的無限增大而無限地接近于0一般地說，對(duì)于數(shù)列，若當(dāng)無限增大時(shí)能無限地接近某一個(gè)常數(shù)，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)稱為它的極限不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂數(shù)列下面我們給出收斂數(shù)列及其極限的精確定義 定義1 設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)，

4、N時(shí)有則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作，或.讀作“當(dāng)趨于無窮大時(shí)，的極限等于或趨于” 若數(shù)列沒有極限，則稱為發(fā)散數(shù)列下面舉例說明如何根據(jù)定義來驗(yàn)證數(shù)列極限二、根據(jù)定義來驗(yàn)證數(shù)列極限例2 證明，這里為正數(shù)證：由于 故對(duì)任給的0，只要取N=，則當(dāng)時(shí)，便有 即 這就證明了. 例3 證明.分析 由于 因此，對(duì)任給的o，只要，便有 即當(dāng)時(shí)，(2)式成立故應(yīng)取證 任給取據(jù)分析，當(dāng)時(shí)有式成立.于是本題得證. 例4 證明=0，這里1證 若=0，則結(jié)果是顯然的現(xiàn)設(shè)00我們有并由1+得到 對(duì)任給的只要取則當(dāng)時(shí)，得，這就證明了. 注：本例還可利用對(duì)數(shù)函數(shù)的嚴(yán)格增性來證明，簡述如下：對(duì)任給的0(不妨設(shè)0證：

5、()當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立. () 當(dāng)時(shí)，記，則.由 得 （1）任給，由(1)式可見，當(dāng)時(shí)，就有，即.所以.() 當(dāng)時(shí)，,，則. 由得 （2） 任給，由（2式可見，當(dāng)時(shí)，就有，即.所以. 關(guān)于數(shù)列極限的N定義，應(yīng)著重注意下面幾點(diǎn)：1的任意性：盡管有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)地被確定下來，以便依靠它來求出，又既時(shí)任意小的正數(shù)，那么等等同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義1中不等式中的可用等來代替2N的相應(yīng)性： 一般說，N隨的變小而變大，由此常把N寫作N()，來強(qiáng)調(diào)N是依賴于的；但這并不意味著N是由所唯一確定的. 3從幾何意義上看，“當(dāng)N時(shí)有”意味著：所有下標(biāo)大于N的項(xiàng)都落在鄰域U()內(nèi)；而在U(a;)之

6、外，數(shù)列中的項(xiàng)至多只有N個(gè)(有限個(gè)) 定義2 若，則稱為無窮小數(shù)列由無窮小數(shù)列的定義，不難證明如下命題：定理 數(shù)列收斂于的充要條件是：為無窮小數(shù)列三、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.2(唯一性) 若數(shù)列收斂，則它只有一個(gè)極限 定理2.3(有界性) 若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)有證：設(shè)取，存在正數(shù)N，對(duì)一切N有 即 記 則對(duì)一切正整數(shù)都有 注：有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件例如數(shù)列有界，但它并不收斂 定理2.4 (保號(hào)性) 若(或)，則存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，即，這就證得結(jié)果對(duì)于的情形，也可類似地證明 注：在應(yīng)用保號(hào)性時(shí)，經(jīng)常取.即有，或 定理2.5(保不等式性) 設(shè)與均為收斂數(shù)列若存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則 請(qǐng)學(xué)生思考：如果把定理2.5中的條件