高等數(shù)學復習資料第一章第一次

1、同學們好！,-高等數(shù)學課程介紹,高等數(shù)學,同濟大學數(shù)學系 編,上、下冊 第六版,主講教師： 祁曉光 授課單位： 數(shù)學科學學院,高等教育出版社,一、為什么學數(shù)學,學習數(shù)學的目的： 1、訓練思維、提高分析問題與解決問題的能力； 2、為后繼基礎課與專業(yè)課打基礎； 3、為本科畢業(yè)后的繼續(xù)深造打下基礎。,一、二年級全校必修數(shù)學課： 高等數(shù)學線性代數(shù)與空間解析幾何概率與數(shù)理統(tǒng)計 選修課： 數(shù)學建模 數(shù)學實驗 ,二、大學數(shù)學學什么,連續(xù)基礎,離散基礎,隨機基礎,三、高等數(shù)學內容簡介,微積分,級數(shù),方程,各部分內容比例分布,83%,9%,8%,以極限為基礎 函數(shù)為研究對象,Calculus,四、學習進度、參考

2、書,學習進度： 第一學期： 第二學期： 一元函數(shù)微積分17章; 線性代數(shù) 多元函數(shù)微積分,教材類 ： 同濟大學數(shù)學系 高等數(shù)學第六版 高等教育出版社 2010 指導書類： 1、同濟大學數(shù)學系 高等數(shù)學少學時 第三版 高等教育出版社 2006 2、同濟大學數(shù)學系 學習輔導與習題選解第六版 高等教育出版社 2010,五、學習要求與輔導答疑,開課準備一：課代表一人/ 每班 有熱心、在數(shù)學學習方面上通下達 每周按時收、發(fā)作業(yè),開課準備二： 小作業(yè)本：2 大作業(yè)本：全校統(tǒng)一發(fā)放,五、學習要求與輔導答疑,學習要求與建議： 怎么學： 課前預習-課堂聽講、適當筆記-課后復習-瀏覽參考資料-完成作業(yè) 要求： 小

3、作業(yè)本每周交一次；大作業(yè)每章結束后交一次；(周二下午之前交上),五、學習要求與輔導答疑,輔導答疑方式： 地點：7JC段102 時間：上午：8：3011：00 下午：2：305：00,開課時間：第4-18周 考試方式：閉卷 成績評定：卷面* 80% 平時成績* 20%,考試與成績評定,第一章 函數(shù)與極限,1映射與函數(shù),2數(shù)列的極限,3函數(shù)的極限,4無窮小與無窮大,5極限運算法則,6極限存在準則 兩個重要極限,7無窮小的比較,8函數(shù)的連續(xù)性與間斷性,9連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性, 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,一 基本概念,二映射,三 函數(shù),四 小結 思考,第一節(jié) 映射與函數(shù),一、基本概念,1

4、.集合:,具有某種特定性質的事物的總體.,組成這個集合的事物稱為該集合的元素.,有限集,無限集,有限個元素 無限個元素,集合的表示方法,不含任何元素的集合稱為空集.,數(shù)集分類:,N-自然數(shù)集,Z-整數(shù)集,Q-有理數(shù)集,R-實數(shù)集,2.區(qū)間:,是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.,稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間,無限區(qū)間,區(qū)間長度的定義:,兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.,表示“對于任意給定的”,注,注,3.鄰域:,1.【定義】,設X,Y 是兩個非空集合,若存在一個對應規(guī),則f ,使得,有唯一確定的,與之對應 ,則,稱 f 為從X

5、 到Y 的映射,記作,元素y 稱為元素x 在映射f 下的像 ,記作,元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的 原像 .,集合X 稱為映射 f 的定義域 ;記作Df =X,Y 的子集,稱為 f 的值域 .,二、 映射,1.構成一個映射必須具備下列三個基本要素： （1）集合 X，即定義域 Df = X； （2）集合 Y，即限制值域的變化范圍; （3）對應規(guī)則f, 使每個x X，有惟一確定的y=f(x)與之時應,2映射要求元素的像必須是惟一的,映射并不要求原像也具有惟一性,注意:,1. 映射又稱算子.根據(jù)X,Y 的不同情形，在不同的數(shù)學分支中，映射又有不同的慣用名稱：,泛函：從非空集合X 到數(shù)集Y

6、的映射；,變換：從非空集到它自身的映射；,函數(shù)：從實數(shù)集到實數(shù)集的映射.,說明：,如： 實變函數(shù)與泛函分析,如： 線性代數(shù)中的線性變換、矩陣變換、變換群等.,如： 高等數(shù)學中的函數(shù),對映射的分類,若,則稱 f 為滿射;,若,有,則稱f 為單射;,若f 既是滿射又是單射,則稱 f 為雙射 或一一映射.,滿射,單射,雙射,2.【逆映射與復合映射】,【逆映射】,是單射,定義,稱映射 為映射 的逆映射,【注】,滿且單，故而是雙射,只有 f 是單射才存在逆映射.,【復合映射】,定義,【注意】,三、函數(shù),因變量,自變量,數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域，記作,1、函數(shù)概念,自變量,因變量,對應法則f,【函數(shù)的兩

7、要素】,定義域與對應法則.,【約定】定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.（自然定義域）,【注意】,兩要素是判斷兩函數(shù)是否相同的唯一標準.,與字母無關,定義:,如果自變量在定義域內任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù),【注意】微積分所研究的函數(shù)都是單值函數(shù)。,(1)絕對值函數(shù),幾個特殊的函數(shù)舉例,(2) 符號函數(shù),(3) 取整函數(shù) y=x x表示不超過 的最大整數(shù),階梯曲線,(4) 狄利克雷函數(shù),(5) 取最值函數(shù),例,解,(1)函數(shù)的有界性,上界,下界,定義,則稱函數(shù) f (x)在X上有界.否則稱無界.,2、函數(shù)的特性,表示“存在”,注,

8、有界,無界,【結論】,（P22習題 第13 題）,f (x) 在X上無界,(2) 函數(shù)的單調性:,(3) 函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),奇函數(shù),(4) 函數(shù)的周期性:,（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,周期為 ,【注】 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .,【例如】 常量函數(shù),狄利克雷函數(shù),x 為有理數(shù),x 為無理數(shù),3、反函數(shù)與復合函數(shù),1.【反函數(shù)】,直接函數(shù) 與反函數(shù) 在同一坐標系下的圖形關于直線 y = x 對稱.,例,對數(shù)函數(shù),互為反函數(shù),它們都單調遞增,指數(shù)函數(shù),2.【復合函數(shù)】,(1)【定義】,復合映射的特例.,【說明】通常 f 稱為外層函數(shù)，g 稱為內層函數(shù).,則,設有函數(shù)鏈,稱為由, 確定的復合函數(shù),u 稱為中間變量.,注意:,1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;,2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成.,則定義,和(差),積,商,4、函數(shù)的運算,5、初等函數(shù),冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).,定義 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).,1.【冪函數(shù)】,2.【指數(shù)函數(shù)】,3.【對數(shù)函數(shù)】,4.【三角函數(shù)】,正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù),