數(shù)列中an與Sn的關(guān)系

1、課題淺談數(shù)列中an與Sn的遞推公式的應(yīng)用對(duì)于任意一個(gè)數(shù)列，當(dāng)定義數(shù)列的前n項(xiàng)和通常用Sn表示時(shí)，記作Sna1a2an，此時(shí)通項(xiàng)公式an 而對(duì)于不同的題目中的an與Sn的遞推關(guān)系，在解題時(shí)又應(yīng)該從哪些方向去靈活應(yīng)用anSnSn1(n2)去解決不同類型的問(wèn)題呢？ 我們將從下面三個(gè)角度去探索在各類考試中出現(xiàn)的an與Sn相關(guān)的問(wèn)題：歸納起來(lái)常見(jiàn)的角度有：角度一：直觀運(yùn)用已知的Sn，求an；角度二：客觀運(yùn)用anSnSn1(n2)，求與an，Sn有關(guān)的結(jié)論；角度三：an與Sn的延伸應(yīng)用角度一：直觀運(yùn)用已知的Sn，求an方法：已知Sn求an的三個(gè)步驟(此時(shí)Sn為關(guān)于n的代數(shù)式)：(1)先利用a1S1求出a1

2、；(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)對(duì)n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來(lái)寫同時(shí)，在部分題目中需要深刻理解“數(shù)列的前n項(xiàng)和”的實(shí)際意義，對(duì)“和的式子”有本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，這樣才能更好的運(yùn)用Sn求解如：a12a23a3nan2n1，其中a12a23a3nan表示數(shù)列nan的前n項(xiàng)和1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n2，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan2n3 Ban2n3Can Dan【解析】當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n3當(dāng)n1時(shí)，a1S11

3、，不滿足上式【答案】C2(2015河北石家莊一中月考)數(shù)列an滿足：a13a25a3(2n1)an(n1) 3n+13(nN*)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an 【解析】當(dāng)n2時(shí)，a13a25a3(2n3)an1(n2) 3n3；則用已知等式減去上式得(2n1)an(2n1)3n，得an3n；當(dāng)n1時(shí)，a13，滿足上式；故an3n【答案】an3n3(2015天津一中月考)已知an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足log2(Sn1)n1，則an 【解析】由已知得Sn12n1，則Sn2n11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n112n12n；當(dāng)n1時(shí)，a1S13，不滿足上式；故an【答案】an4(2015四川成都樹德期中)

4、已知an是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a545，a2a614(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：an1(nN*)，求bn的前n項(xiàng)和【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d0， 由a2a614，可得a47 由a3a545，得(7d)(7d)45，解得d2 或d2(舍) ana4(n4)d72(n4)，即an2n1 (2)令cn，則c1c2c3cnan12n 當(dāng)n2時(shí)，c1c2c3cn12(n1) 由得，cn2， 當(dāng)n1時(shí)，c12，滿足上式；則cn2(nN*)，即2，bn2n1， 故數(shù)列bn是首項(xiàng)為4，公比為2得等比數(shù)列， 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn2n24角度二：客觀運(yùn)用anSn

5、Sn1(n2)，求與an，Sn有關(guān)的結(jié)論此類題目中，已知條件往往是一個(gè)關(guān)于an與Sn的等式，問(wèn)題則是求解與an，Sn有關(guān)聯(lián)的結(jié)論那么我們需要通過(guò)對(duì)所求問(wèn)題進(jìn)行客觀分析后，判定最后的結(jié)果中是保留an，還是Sn那么，主要從兩個(gè)方向利用anSnSn1(n2)：方向一：若所求問(wèn)題是與an相關(guān)的結(jié)論，那么用SnSn1an (n2)消去等式中所有Sn與Sn1，保留項(xiàng)數(shù)an，在進(jìn)行整理求解；1(2015廣州潮州月考)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，a11，an12Sn1(n1，nN*)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是 【解析】當(dāng)n2時(shí)，an2Sn11，兩式相減得an1an2(SnSn1)，即an1an2an，得an13an

6、；當(dāng)n1時(shí)，a23，則a23a1，滿足上式；故an是首項(xiàng)為1，公比為3得等比數(shù)列，an3n1【答案】an3n12數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an14Sn1，a11(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn【解】(1)當(dāng)n2時(shí)，an4Sn11，又an14Sn1，an1an4an，即3(n2)，又a24a113，a11，數(shù)列an是首項(xiàng)為a11，公比為q3的等比數(shù)列，an(3)n1(2)由(1)可得bnn(3)n1，Tn1(3)02(3)13(3)2(n1)(3)n2n(3)n1，3Tn1(3)12(3)2(n2)(3)n2(n1)(3)n1n(3)n，4Tn1(3)1

7、(3)2(3)n1n(3)n，所以，Tn方向二：若所求問(wèn)題是與Sn相關(guān)的結(jié)論，那么用anSnSn1(n2)消去等式中所有項(xiàng)數(shù)an，保留Sn與Sn1，在進(jìn)行整理求解1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an2SnSn10(n2)，a1(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式【解】(1)證明：anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0因此2(n2)故由等差數(shù)列的定義知是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知(n1)d2(n1)22n，即Sn當(dāng)n2時(shí)，an2SnSn1，又a1，不適合上式an2(2015江西名校聯(lián)盟調(diào)考)已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a

8、2Snan10(1)求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式；(2)求證：2(Sn+11)(提示：)【解】(1)anSnSn1(n2)，由a2Snan10，得(SnSn1)22Sn(SnSn1)10，整理得SS1當(dāng)n1時(shí)，a2S1a110，且a10，解得a11，故由等差數(shù)列的定義知S是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列Sn，則Sn(2)由(1)知2()， 2(1)2()2()2(1) 即2(Sn11) 【總結(jié)】此類題目往往伴隨著等差、等比數(shù)列的判定，所以需要對(duì)數(shù)列的判定方法熟練掌握角度三：an與Sn的延伸應(yīng)用解此類題目中不僅需要深刻理解“數(shù)列的前n項(xiàng)和”的實(shí)際意義，還需要對(duì)an關(guān)系式的形式結(jié)構(gòu)很熟練的掌握，這樣才能在

9、題目中對(duì)已知等式靈活地變換當(dāng)然在解決問(wèn)題的時(shí)候仍然需要從求誰(shuí)的角度出發(fā)分析，確定等式的變換方向方向一：關(guān)于雙重前n項(xiàng)和此類題目中一般出現(xiàn)“數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn”的條件，在解答時(shí)需要確定清楚求的是與an，Sn，Tn中誰(shuí)相關(guān)的問(wèn)題，確定已知等式的運(yùn)用方向但一般是求解最底層的an1(2015湖北武漢質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列an的前n現(xiàn)和為Sn，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn2Snn2，nN*(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【解】(1)當(dāng)n1時(shí)，T12S11，且T1S1a1，解得a11，(2)當(dāng)n2時(shí)，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1 S

10、n2Sn12n1 則Sn12Sn2n1 由，得an12an2， an122(an2)，即2(n2)， 易求得，a123，a226，則2，數(shù)列an2是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列， an232n1，則an32n12(nN*)2(2015安徽滁州期末聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn，且2Tn4Sn(n2n)，nN*(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列；(2)設(shè)bn，證明：b1b2bn3【解】(1)當(dāng)n1時(shí)，2T14S12，且T1S1a1，解得a11，當(dāng)n2時(shí)，2T22(a1a1a2)4(a1a2)6，解得a23，當(dāng)n2時(shí)，2Tn14Sn1(n1)2(n1)2Sn2Tn2Tn1

11、4Sn(n2n)4Sn1(n1)2(n1)整理得Sn2Sn1n 則Sn12Snn1 由，得an12an1， an112(an1)，即2(n2)， 顯然2，數(shù)列an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，(2)由(1)知，an12n，則bn則b1b2bn，令Tn，則Tn ，由，得Tn1 1則Tn3，即b1b2bn3方向二：已知等式在整理過(guò)程中需要因式分解此類問(wèn)題大多數(shù)時(shí)候會(huì)伴隨“各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an”這樣的條件，運(yùn)用在因式分解后對(duì)因式進(jìn)行符號(hào)的判定，對(duì)因式進(jìn)行的取舍1(2015山東青島一模)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a4Sn2an1(nN*)，其中Sn為an的前n項(xiàng)和(1)求a1，a2的值；(2)求

12、數(shù)列an的通項(xiàng)公式【解】(1)當(dāng)n1時(shí)，T12S11；又T1S1a1，則a12a11，解得a11；(2)當(dāng)n2時(shí)，SnTnTn1(2Snn2)2Sn1(n1)22Sn2Sn12n1， 整理得Sn2Sn12n1 Sn12Sn2n1 由，得an12an2an122(an2)，即2(n2)又T22S24；得a24當(dāng)n1時(shí)，a123，a226，則2，數(shù)列an2是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列則an232n1，所以an32n122已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，nN*(1)求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn，Tnb1b2bn，求Tn【解】(1)由已知得，當(dāng)n1時(shí)，a1S1 (an

13、0)，a11當(dāng)n2時(shí)，由得2anaanaan1 即(anan1)(anan11)0，anan10，anan11(n2)所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可得ann，Sn，bnTnb1b2b3bn11方向三：需對(duì)已知等式變形后，再求解1(2015江西五校聯(lián)考)已知正項(xiàng)數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，且an21(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，Tn = b1b2b3bn，求Tn【解】(1)由已知得，4Sn(an1)2當(dāng)n2時(shí)，4Sn1(an11)2，則4Sn4Sn1(an1)2(an11)2，整理得 (an1)2(an11)20，(anan12)(anan1)0又an

14、0，則anan12，當(dāng)n1時(shí)，4S1(a11)2，得a11；故數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；an2n1(2)由(1)可得bn，Tn2(2015浙江溫州中學(xué)月考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a12，a28，Sn14Sn15Sn(n2)，Tn是數(shù)列l(wèi)og2an的前n項(xiàng)和(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求Tn【解】(1)當(dāng)n2時(shí)，Sn14Sn15Sn，Sn1Sn4(SnSn1)，即an14an，當(dāng)n1時(shí)，a24a1；故數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列an24n122n1(2)由(1)可知log2anlog222n12n1， Tnlog2a1log2a2log2a3log2an

15、1352n1n23(2015江西三縣聯(lián)考)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)=a3a4an2，其中nN*(1)若a11，a25，且對(duì)任意nN*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)依次組成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) a11，對(duì)任意nN*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)依次組成公比為q的等比數(shù)列，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和An【解】(1)任意nN*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)依次組成等差數(shù)列，B(n)A(n)C(n)B(n)，則an1a1an2a2，即an2an1a2a14，故數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列；an1(n1)

16、44n3(2)若對(duì)任意nN*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)依次組成公比為q的等比數(shù)列，B(n)qA(n)，C(n)qB(n)，則C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1， 當(dāng)n1時(shí)，由B(1)qA(1)，可得a2qa1； 則an2qan1a2qa10，又an0，則q，故數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列An4(2015遼寧沈陽(yáng)診斷考試)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a110，an19Sn10(1)求證：lg an是等差數(shù)列；(2)設(shè)Tn 是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn；(3)求使Tn(m25m)對(duì)所有的nN*恒成立的整數(shù)m的取值集合【解】

17、(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，an9Sn110，an1an9(SnSn1)，則an110an，即10，當(dāng)n1時(shí)，a29a110100，則10，故數(shù)列an是以10為首項(xiàng)，10為公比的等比數(shù)列an10n，則lg ann，lg an1lg ann1n1，故數(shù)列l(wèi)g an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解：由(1)知3， Tn33(3)Tn3， 當(dāng)n1時(shí)，Tn取最小值依題意有(m25m)，解得1m6， 故整數(shù)m的取值集合為0,1,2,3,4,51(2015江蘇揚(yáng)州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n3，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 【解析】當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n32n132n1當(dāng)n1時(shí)，a1S1

18、1，不滿足上式【答案】an2(2015遼寧沈陽(yáng)二中月考)已知數(shù)列an滿足a1a2n1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【解】當(dāng)n2時(shí)，a1a2n21由已知等式減去上式，得a2n1a2n21(a21)a2n2，ann(a21)a2n2，當(dāng)n1時(shí)，a1a21，滿足上式；ann(a21)a2n23(2015安徽江淮十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的正數(shù)x，y都有f(xy)= f(x)f(y)，若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足f(Sn2)f(an)= f(3)(nN*)，則an為( )A2n1BnC2n1Dn1【解析】由f(xy)= f(x)f(y)，f(Sn2)f(an)= f

19、(3)，得Sn23an，Sn123an1(n2)，兩式相減得2an3an1；當(dāng)n1時(shí)，S123a1a12，則a11所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列【答案】ann14(2015遼寧鞍山二中期中)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn 滿足Sn(bn1)，且a2b1，a5b2(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnanbn，Tn為cn的前n項(xiàng)和，求Tn【解】(1)當(dāng)n2時(shí)，Sn1(bn11)，則bnSnSn1(bn1)(bn11)，整理得bn3bn1，當(dāng)n1時(shí)，b1(b11)，解得b13；故數(shù)列bn是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列bn3n，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a2b13

20、，a5b29，則解得d2，a11，an2n1，an2n1，bn3n(2)由(1)知cnanbn(2n1)3n，Tn3332533(2n1)3n，3Tn 32333534(2n3)3n(2n1)3n1，由，得2Tn32(32333n )(2n1)3n132(2n1)3n1(22n)3n16，Tn(n1) 3n135在數(shù)列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN*)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是 【解析】由已知n2時(shí)，an2Sn1 ；當(dāng)n3時(shí)，an12Sn2 整理得3 (n3)，an【答案】an6(2015廣東桂城摸底)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且aan2Sn(1)

21、求a1；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)若bn(nN*)，Tnb1b2bn，求證：Tn【解】(1)當(dāng)n1時(shí)，aa12S1，且an0，得a11； (2)當(dāng)n2時(shí)，aan12Sn1 ；且aan2Sn ； 由，得(anan1)(anan11)0， 又an0，則anan11，故數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；ann(3)證明：由(2)知，bn， 當(dāng)n1時(shí)，b11，不等式成立； 當(dāng)n2時(shí)，2， Tnb1b2bn1121，Tn7(2015大連雙基測(cè)試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n1(nN*)，則an_【解析】當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1，當(dāng)n1時(shí)，a1S14211，因此an【答案】8(2

22、014煙臺(tái)一模)已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且，an，Sn成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn滿足bn(log2a2n1)(log2a2n3)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【解】(1)，an，Sn成等差數(shù)列，2anSn，當(dāng)n1時(shí)，2a1S1，a1，當(dāng)n2時(shí)，Sn2an，Sn12an1，兩式相減得：anSnSn12an2an1，2，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，即an2n12n2(2)bn(log2a2n1)(log2a2n3)(log222n12)(log222n32)(2n1)(2n1)，數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn9(2014山西四校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S

23、n2ann，則an_【解析】當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，an12(an11)，數(shù)列an1是首項(xiàng)為a112，公比為2的等比數(shù)列，an122n12n，an2n1【答案】2n110(2014湖南卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，nN*(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和【解】(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n又a11滿足上式，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann(2)由(1)知，bn2n(1)nn，記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n

24、，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2nAB22n1n211已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a34，an的前3項(xiàng)和為7(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a1b1a2b2anbn(2n3)2n3，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：2【解】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由已知得q0，且數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1(2)【證明】當(dāng)n1時(shí)，a1b11，且a11，解得b11當(dāng)n2時(shí)，anbn(2n3)2n3(2n23)2n13(2n1)2n1an2n1，當(dāng)n2時(shí)，bn2n1b11211滿足bn2n1，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n1(nN*)數(shù)列bn是首項(xiàng)為

25、1，公差為2的等差數(shù)列Snn2 當(dāng)n1時(shí)，12 當(dāng)n2時(shí)，2212設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an2 (n1) (nN*)(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列，并分別寫出an和Sn關(guān)于n的表達(dá)式；(2)是否存在自然數(shù)n，使得S1(n1)22 013？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解】(1)由an2(n1)，得Snnan2n(n1) (nN*)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即anan14，故數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列于是，an4n3，Sn2n2n (nN*)(2)由Snnan2n(n1)，得2n1 (nN*)，又S1(n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1令2n1