數列通項公式的求法

1、數列通項公式的求法集錦非等比、等差數列的通項公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎結合近幾年的高考情況，對數列求通項公式的方法給以歸納總結。一、 累加法形如 (n=2、3、4.) 且可求，則用累加法求。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例1. 在數列中，=1， (n=2、3、4) ，求的通項公式。 解： 這n-1個等式累加得：= 故 且也滿足該式 ().例2在數列中，=1， (),求。 解：n=1時, =1以上n-1個等式累加得=，故 且也滿足該式 ()。二、 累乘法形如 (n=2、3、4)，且可求，則用累乘法求。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例3在數列

2、中，=1，求。解：由已知得 ，分別取n=1、2、3(n-1),代入該式得n-1個等式累乘，即=123(n-1)=(n-1)!所以時，故且=1也適用該式 ().例4已知數列滿足=，求。解：由已知得，分別令n=1，2，3，.(n-1),代入 上式得n-1個等式累乘，即= 所以，又因為也滿足該式，所以。三、構造等比數列法原數列既不等差，也不等比。若把中每一項添上一個數或一個式子構成新數列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或= 其中b、c為不相等的常數，為一次式。例5、（06福建理22）已知數列滿足=1，= ()，求數列的通項公式。解：構造新數列，其中p為常數，使之成為公比是的系數2的等

3、比數列即= 整理得：=使之滿足= p=1即是首項為=2，q=2的等比數列= = 例6、（07全國理21）設數列的首項，=，n=2、3、4（）求的通項公式。解：構造新數列，使之成為的等比數列即= 整理得：=滿足=得 = p=-1 即新數列首項為，的等比數列 = 故 =+1例7、（07全國理22）已知數列中，=2，= （）求的通項公式。解：構造新數列，使之成為的等比數列= 整理得：=+使之滿足已知條件 =+2解得 是首項為 的等比數列，由此得= =例8、已知數列中，=1，=，求數列的通項公式。分析：該數列不同于以上幾個數列，該數列中含是變量，而不是常量了。故應構造新數列，其中為常數，使之為公比是的

4、系數2的等比數列。解：構造數列，為不為0的常數，使之成為q=2的等比數列即= 整理得：=滿足 = 得 新數列是首項為=，q=2的等比數列 = =例9、（07天津文20）在數列中，=2，= ，求數列的通項。解：構造新數列，使之成為q=4的等比數列，則= 整理得：=滿足=，即得新數列的首項為，q=4的等比數列 四、構造等差數列法數列既不等差，也不等比，遞推關系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構造一個等差數列，從而間接求出。例10（07石家莊一模）數列滿足且。求、 是否存在一個實數，使此數列為等差數列？若存在求出的值及；若不存在，說明理由。解：由=81 得=33；又=33得=13；又=13，=5假設

5、存在一個實數，使此數列為等差數列即= = = 該數為常數= 即為首項，d=1的等差數列=2+=n+1 =例11、數列滿足= ()，首項為，求數列的通項公式。解：= 兩邊同除以得=+1數列是首項為=1，d=1的等差數列=1+ 故=例12數列中，=5，且 （n=2、3、4），試求數列的通項公式。解：構造一個新數列，為常數，使之成為等差數列，即 整理得+3l，讓該式滿足取，得，d=1 ，即是首項為，公差d=1的等差數列。 故 =例13、（07天津理21）在數列中，=2，且 （）其中0，求數列的通項公式。解：的底數與的系數相同，則兩邊除以得 即是首項為，公差d=1的等差數列。 。五、 取倒數法有些關于

6、通項的遞推關系式變形后含有項，直接求相鄰兩項的關系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項的倒數的關系容易求得，從而間接求出。例14、已知數列，= ， ，求=？解：把原式變形得 兩邊同除以得是首項為，d=的等差數列故。例15、（06江西理22）已知數列滿足，且（）求數列的通項公式。解：把原式變形成 兩邊同除以得即 構造新數列，使其成為公比q= 的等比數列即整理得： 滿足式使 數列是首項為，q= 的等比數列 。例16（06江西文22）已知各項均為正數的數列滿足：，且 求數列的通項公式。解：把原式變形為兩邊同除以得 移項得：所以新數列是首項為 q=2的等比數列。故 解關于的方程得。六利用公式求通項有些數列

7、給出的前n項和與的關系式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用導出與的遞推式，從而求出。例17.(07重慶21題)已知各項均為正數的數列的前n項和為滿足1且6= n 求的通項公式。解：由=解得=1或=2，由已知1，因此=2又由=得=0 0 從而是首項為2，公差為3的等差數列，故的通項為=2+3(n-1)=3n-1.例18.(07陜西理22)已知各項全不為0的數列的前k項和為，且=(k)其中=1，求數列的通項公式。解：當k=1時，=及=1得=2； 當k2時，由=得=20=2從而=1+(m-1)2=2m-1 =2+(m-1)2=2m (m) 故=k (k).例19.(07福建文21)數列的前n項和為，

8、=1， ( n),求的通項公式。解：由=1，=2，當n2時=得=3，因此是首項為=2，q=3的等比數列。故= (n2),而=1不滿足該式 所以=。例20.(06全國理22)該數列的前n項和 (n=1、2、3) 求的通項公式。解：由 (n=1、2、3)得= 所以=2 再= （n=2、3）將和相減得：=整理得 （n=2、3）因而數列是首項為,q=4的等比數列。即=，因而。七重新構造新方程組求通項法有時數列和的通項以方程組的形式給出，要想求出與必須得重新構造關于和的方程組，然后解新方程組求得和。例21.（07遼寧第21題）：已知數列，滿足=2，=1且（）,求數列，的通項公式。解析：兩式相加得 則是首

9、項為，d=2的等差數列，故=3+2(n-1)=2n+1(1)而兩式相減得= 則是首項為=1，q=的等比數列，故=(2)聯立(1)、(2)得 由此得，。分析該題條件新穎,給出的數據比較特殊，兩條件做加法、減法后恰好能構造成等差或等比數列，從而 再通過解方程組很順利求出、的通項公式。若改變一下數據，又該怎樣解決呢？下面給出一種通法。例22.在數列、中=2，=1，且（n）求數列和的通項公式。解析：顯然再把與做和或做差已無規(guī)律可循。不妨構造新數列其中為的常數。則=+=令得=2或=3 則為首項，q=+2的等比數列。即=2時，是首項為4，q=4的等比數列，故=4=； =3時，是首項為5，q=5的等比數列，故=5=聯立二式解得，。注：該法也可適用于例21，下面給出例21的該種解法解：構造新數列，則=+=令得=1或=即=1時，新數列中，=（） 新數列是首項為，d=2的等差數列 =(1)當=時，新數列是首項為=1，q=