高等數學求極限的14種方法

1、.高等數學求極限的14種方法一、極限的定義1.極限的保號性很重要：設，（1）若a，則有，使得當時，；（2）若有使得當時，。2. 極限分為函數極限、數列極限，其中函數極限又分為時函數的極限和的極限。要特別注意判定極限是否存在在：（1）數列是它的所有子數列均收斂于a。常用的是其推論，即“一個數列收斂于a的充要條件是其奇子列和偶子列都收斂于a”（2）(3) (4) 單調有界準則（5）兩邊夾擠準 （夾逼定理/夾逼原理） (6) 柯西收斂準則（不需要掌握）。極限存在的充分必要條件。是：二解決極限的方法如下：1.等價無窮小代換。只能在乘除時候使用。例題略。2.洛必達（lhospital）法則（大題目有時候

2、會有暗示要你使用這個方法） 它的使用有嚴格的使用前提。首先必須是x趨近，而不是n趨近，所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，數列極限的n當然是趨近于正無窮的，不可能是負無窮。其次,必須是函數的導數要存在，假如告訴f（x）、g（x）,沒告訴是否可導，不可直接用洛必達法則。另外，必須是“0比0”或“無窮大比無窮大”,并且注意導數分母不能為0。洛必達法則分為3種情況：（1）“”“”時候直接用(2)“”“”，應為無窮大和無窮小成倒數的關系，所以無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后，就能變成(i)中的形式了。即；(3)“”“”“”對于冪指函數,方法主要是取指數還取對數的方法，即，這樣

3、就能把精品.冪上的函數移下來了，變成“”型未定式。3.泰勒公式(含有的時候，含有正余弦的加減的時候） ； cos=ln（1+x）=x-(1+x)=以上公式對題目簡化有很好幫助4.兩多項式相除:設，p（x）=, (1)（2）若，則5.無窮小與有界函數的處理辦法。例題略。面對復雜函數時候，尤其是正余弦的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復雜的函數可能只需要知道它的范圍結果就出來了。6.夾逼定理：主要是應用于數列極限，常應用放縮和擴大不等式的技巧。以下面幾個題目為例：（1）設，求 解：由于，由夾逼定理可知 （2）求 解：由，以及可知，原式=0 (3)求精品.解：由,以及得，原

4、式=17.數列極限中等比等差數列公式應用（等比數列的公比q絕對值要小于1）。例如： 求 。提示：先利用錯位相減得方法對括號內的式子求和。8.數列極限中各項的拆分相加（可以使用待定系數法來拆分化簡數列）。例如： =9.利用極限相同求極限。例如： （1）已知，且已知存在，求該極限值。 解:設=a，（顯然a）則，即，解得結果并舍去負值得a=1+ （2）利用單調有界的性質。利用這種方法時一定要先證明單調性和有界性。例如 設 解：（i）顯然（ii）假設則，即。所以，是單調遞增數列，且有上界，收斂。設，（顯然則，即。解方程并舍去負值得a=2.即 10.兩個重要極限的應用。 （1） 常用語含三角函數的“” 型未定式(2)，在“”型未定式中常用11.還有個非常方便的方法就是當趨近于無窮大時候不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的，快于n！,n！快于指數型函數(b為常數)，指數函數快于冪函數,冪函數快于對數函數。當x趨近無窮的時候，它們比值的極限就可一眼看出。12.換元法。這是一種技巧，對一道題目而言，不一定就只需要換元，但是換元會夾雜其中。例如：求極限。解：設。原式=精品.13利用定積分求數列極限。例如：求極限。由于，所以14.利用導數的定義求“”型未定式極限。一般都是x0時候，分子上是“”的形式，看見了這種形式要注意記得利用導數的定義