第九章 材料力學(xué)

1、第二十四章 能量法一、 內(nèi)容提要1. 桿件的變形能表達(dá)式軸向拉壓U = lN 2 (x)dx2EA扭轉(zhuǎn)U = lMn 2 (x)dx2GI p彎曲U = lM 2 (x)dxl2EI組合變形U = lN 2 (x)dx + lMn2 (x)dx + iM 2 (x)2EA2GI p2EI說(shuō)明：（1）變形能是廣義力或廣義位移的二次函數(shù)，不能簡(jiǎn)單疊加。（2）變形能僅與外力的最終值有關(guān)，而與加力次序無(wú)關(guān)。（3）當(dāng)桿件的各段截面不相同或內(nèi)力由不同函數(shù)表示時(shí)，應(yīng)分段計(jì)算變形能。（4）桿件是滿足虎克定律的線彈性體,如對(duì)非線彈性體變形能將變?yōu)閁 = l Nd (l) + l M nd + l Md2. 卡氏

2、定理彈性系統(tǒng)的總變形能U = U (P1 , P2 , , Pn )是由所有作用于彈性系統(tǒng)的廣義力Pi (i = 1,2,n) 引起的。令在 Pi 的作用點(diǎn)沿 Pi 方向引起的廣義位移為 ，i根據(jù)卡氏定理，按下式計(jì)算廣義位移 i = U說(shuō)明：Pi（1）廣義力與廣義位移須相對(duì)應(yīng)。（2）當(dāng)所求位移的截面處沒(méi)有相應(yīng)的集中力或集中力偶時(shí)，可采用附加力 P , = 0的方法。二、 基本要求1. 理解功能原理，掌握桿件變形能的計(jì)算方法。2. 掌握用卡氏定理求結(jié)構(gòu)位移的方法。3理解并掌握用能量法解超靜定問(wèn)題的方法。三、 典型例題分析例1 鋼架ABCD 承受一對(duì)P力作用（如圖1），其抗彎剛度EI、抗拉剛度EA

3、 以及 l 、a 均已知，試?yán)霉δ茉砬蠼孛鍭、D 之間的相對(duì)水平位移 A D 。PPxalP圖1解：（1）內(nèi)力分量AB（CD）段：M (x) = PxBC 段：M (x) = PaN (x) = P（2）變形能計(jì)算U = U AB + UBC + UCD= 20a(Px)2 dx+ 0l(Pa)2 dx+ 0lP2dx=P2a3+P2a2l+P2l2EI2EI2EA3EI2EI2EA（3） A D 的計(jì)算由 U = W = 12 P AD得 AD = 2Pa3 + Pa2l + Pl3EI EI EA例2桿件受力如圖2，抗彎剛度EI ，試用卡氏定理計(jì)算B截面的豎直位移 By 。PACBll

4、P圖 2解法一為了區(qū)分梁上的兩個(gè)力，可將作用于 B 截面的力標(biāo)為 P1BC 段M (x1 ) = P1x1M (x1 )= x1(0 x a)P11AC 段M (x2 ) = P1 x2 P(x2 a)M (x2 )= x2(a x2 2a)P1 By =U= 0aM (x1 )M (x1 )dx1 +02aM (x2 )M (x2 )dx2PEIPEIP111= a P1x1 x1 dx1 + 2a P1 x2 P(x2 a) x2 dx20 EI0EI令P = P則=11Pa3()By16EI解法二：在截面上施加一附加力P, y = 0BC 段 M (x1 ) = P1x1 + P, y

5、x1M (x1 )= x1(0 x1 a)P1AC 段 M (x2) = P x+ P,y x P(x a)M (x2 )= x2(a x 2a)1222P12 By = U = a M (x1 ) M (x1 ) dx1 + 2a M (x2 ) M (x2 ) dx2P1 0 EIP10EIP1= 0a(P1 x1 + P, y x1 ) x1dx1+ 02aP1x2 + P, y x2 P(x2 a) x2dx2EIEI令 P, y = 0則 By=11Pa3()6EI例3圖3a中,各桿長(zhǎng)均為 l,抗拉壓剛度均為 EA,求鉛垂力作用時(shí)各桿的內(nèi)力BX 33N3B33AAAC1 45 45

6、2D145 4521 45 452PCPDCPD圖3a圖3b圖3c解：此為一次超靜定結(jié)構(gòu)，采用解除內(nèi)力約束的方法。在3桿任意截面處切開(kāi)，多余未知力為 N。3（圖3b ）N1 = N2 = (P N3 ) /由靜力學(xué)條件2N32l(P N3 ) /2 lU =2則系統(tǒng)的變形能+ 2 2EA2EA由卡氏定理U=N3l(P N3 )l= 0EAN3EAP兩斜桿所受軸向壓力N1 = N2 =2PN3 =24說(shuō)明：此題也可解除外約束，如解除B支座鉛垂方向的約束, 如圖3c所示，多余未知力為約束反力 X 3 ，變形協(xié)調(diào)條件為B點(diǎn)的鉛垂位移等于0 。四、 作業(yè)題1 圓截面直桿的橫截面面積為 A，長(zhǎng)度為 ,彈

7、性模量為l E。上端 固定，下端受中心拉力 P 作用，設(shè)直桿自重為 P，試求桿的彈性變性能。 l答案： U = 7P2l6EAP2 試求圖 2 懸臂梁 B 截面的撓度及轉(zhuǎn)角。設(shè) EI 為常數(shù)。 qA Caa圖 2答案：y B =7qa 4（向下）B =qa 3（順時(shí)針?lè)较颍? EI24EI3 圖 3 懸臂梁受集中力偶矩M0 的作用。若 EI 、l均為已知，試?yán)霉δ茉砬笞杂啥?C 截面的轉(zhuǎn)角 c 。 = 3 M 0l答案：c4EI（順時(shí)針）M0A2EIBEICll22圖 34 等截面直桿 AB 和 BC 組成的構(gòu)架受力如圖 4。若兩桿的抗拉（壓）剛度均為 EA, 設(shè)P、 、E、A 都l已知。試?yán)霉δ茉砬?B 的豎直位移。=1.9 Pl答案：BEA （向下）Al0.8lCB0.6l