函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、1,內(nèi)容回顧,n 階泰勒公式,當,時為n 階麥克勞林公式 .,2,常用函數(shù)的麥克勞林公式,3,解,4,解法2,5,三次多項式,6,練習,7,四、泰勒公式的應用,1. 在近似計算中的應用,誤差,M 為,在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.,可解問題的類型:,1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;,2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;,3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.,8,已知,例1. 計算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過,解:,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由計算可知當 n = 9 時上式成立 ,因此,的麥克勞林公式為,9

2、,例2. 用近似公式,計算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.,解:,近似公式的誤差,令,解得,即當,時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果,能準確到 0.005 .,10,2. 利用泰勒公式求極限,解,11,3. 利用泰勒公式證明不等式,例4. 證明,證:,12,兩邊同乘 n !,= 整數(shù) +,假設 e 為有理數(shù),( p , q 為正整數(shù)) ,則當 時,等式左邊為整數(shù);,矛盾 !,例5 證明 e 為無理數(shù) .,證:,故 e 為無理數(shù) .,等式右邊不可能為整數(shù).,13,解,14,例7,解,利用麥克勞林公式,15,泰勒公式的應用,(2) 近似計算,(3) 其他應

3、用,求極限 , 證明不等式 等.,(1) 利用多項式逼近函數(shù) ,常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P140 P142 ),16,第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用,第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線 的凹凸性,17,函數(shù)的單調(diào)性,18,19,一、單調(diào)性的判別法,定理,說明:1.該定理的條件是充分條件而非必要條件,定理,20,21,觀察下面的圖形, 你能得出什么結(jié)論？,綜上所述, 可知:,22,(1) 確定函數(shù)定義域;,判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,總結(jié):,23,例1,解,24,二、單調(diào)區(qū)間求法,問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào),定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點,方法:,25,例2,解,單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,26,例3,解,單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,27,時, 成立不等式,證: 令,從而,因此,且,證,例4,28,* 證明,令,則,從而,即,29,例5,證,利用單調(diào)性判別方程根的情況,30,31,利用單調(diào)性判別方程根的情況的一般步驟:,第一步,第二步,第三步,32,例6,證,33,觀察以下曲線,各曲線有什么不同?,.,.,三、曲線的凹凸性,彎曲方向不同,34,曲線凹凸的定義,問題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任