專題二：立體幾何---線面垂直、面面垂直

1、專題二：立體幾何 - - 線面垂直、面面垂直-作者 : _-日期 : _專題二：立體幾何- 線面垂直、面面垂直一、知識點（ 1）線面垂直性質(zhì)定理（ 2）線面垂直判定定理（ 3）面面垂直性質(zhì)定理（ 2）面面垂直判定定理線面垂直的證明中的找線技巧通過計算，運用勾股定理尋求線線垂直1如圖 1，在正方體 abcda1b1c1d1 中， m 為 cc1 的中點， ac 交 bd 于點 o，求證： a1o平面 mbd 證明：連結(jié) mo， a1m ， db a1 a ， db ac，a1 a i ac a ，a acc，而 ao平面 a acc1 db a o db平面 11111設(shè)正方體棱長為 a ，則

2、a1o 23 a 2 ， mo 23 a 2 24在 rt a1c1m 中， a1m 29 a2 a1o 2mo 2a1 m 2 ，4aoom om db=o， a o 平面 mbd 11評注：在證明垂直關(guān)系時，有時可以利用棱長、角度大小等數(shù)據(jù)，通過計算來證明利用面面垂直尋求線面垂直2如圖 2， p 是 abc 所在平面外的一點，且pa平面 abc，平面 pac平面 pbc求證： bc平面 pac證明：在平面 pac 內(nèi)作 adpc 交 pc 于 d因為平面 pac平面 pbc，且兩平面交于 pc，ad平面 pac，且 adpc， 由面面垂直的性質(zhì)，得ad平面pbc 又 bc平面 pbc， a

3、d bcpa平面 abc， bc平面 abc， pabcadpa=a， bc平面 pac評注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來分析解決，其關(guān)系判定線面垂直判定為：線線垂直面面垂直這三者之間的關(guān)系非常密性質(zhì)性質(zhì)切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質(zhì)定理同學們應(yīng)當學會靈活應(yīng)用這些定理證明問題下面舉例說明如圖所示， abcd為

4、正方形， sa平面 abcd，過 a 且垂直于 sc 的平面分3別交 sb， sc，sd 于 e， f， g 求證：ae，sdsb ag證明： sa平面 abcd， sa bc abbc ， bc平面 sab又 ae 平面 sab，bcae sc平面 aefg， scae ae 平面 sbcae同理可證agsdsb評注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化4如圖，在三棱錐 bcd中， bcac， adbd，作 be cd，為垂足，作 ahbe于求證： ah平面bcd證明：取

5、ab的中點，連結(jié) cf， df acbc ， cfab adbd ， dfab 又 cf i dff ， ab平面 cdf cd平面 cdf， cdab 又 cdbe ， be i abb ， cd 平面 abe， cd ah ahcd ， ahbe ， cd i bee ，ah平面 bcd評注：本題在運用判定定理證明線面垂直時，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直如此反復，直到證得結(jié)論5如圖， ab 是圓的直徑， 是圓周上一點， pa平面 abc若 aepc ，為垂足， 是 pb上任意一點，求證：平面aef平面 pbc證明： ab是圓的直徑， acbc pa平面

6、abc， bc平面 abc， pabc bc平面 apc bc 平面 pbc，平面 apc平面 pbc aepc，平面 apc平面 pbcpc， ae平面 pbc ae 平面 aef，平面 aef平面 pbc評注：證明兩個平面垂直時，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系10如圖 , 在空間四邊形 sabc 中, sa 平面 abc,abc = 90 , an sb 于 n,amsc于 m。求證 : an bc; sc 平面 anm分析 :要證 an bc, 轉(zhuǎn)證 , bc 平面 sab。要證 sc 平面 anm, 轉(zhuǎn)證 , sc

7、垂直于平面 anm 內(nèi)的兩條相交直線 , 即證 sc am, sc an。要證 sc an, 轉(zhuǎn)證 an 平面 sbc, 就可以了。證明 : sa 平面 abcsa bc又 bc ab, 且 absa = a bc 平面 sab an 平面 sab an bc an bc, an sb, 且 sbbc = b an 平面 sbc scc平面 sbc an sc又 amsc, 且 aman = a sc 平面 anm例 2如圖 9 40，在三棱錐 sabc 中， sa平面 abc ，平面 sab 平面 sbc圖 9 40（1）求證： ab bc；（1）【證明】作 ah sb 于 h，平面 sab

8、 平面 sbc平面 sab平面 sbc=sb， ah 平面 sbc，又 sa平面 abc ， sabc，而 sa 在平面 sbc 上的射影為 sb， bc sb，又 sasb=s，bc平面 sab bcab 例 3如圖 9 41，pa平面 abcd ，四邊形 abcd 是矩形， pa=ad=a ，m 、 n 分別是 ab 、pc 的中點求證：平面 mnd 平面 pcd1【證明】取 pd 中點enma 是平行四邊形，e，連結(jié) en，ea ，則 ea mn en2 cdam ，四邊形aepd，aecd ， ae平面 pcd，從而 mn 平面 pcd， mn平面 mnd ，平面 mnd 平面 pcd

9、【注】 證明面面垂直通常是先證明線面垂直，本題中要證mn 平面 pcd較困難，轉(zhuǎn)化為證明ae 平面 pcd 就較簡單了另外，在本題中，當ab 的長度變化時，可求異面直線pc 與 ad 所成角的范圍例 4如圖 9 42，正方體 abcd a 1b1c1d1 中， e、f、m 、n 分別是a1 b1、bc、c1d1、b1c1 的中點圖 9 42求證：平面 mnf 平面 enf【證明】 m 、n、e 是中點，eb 1 b1n nc1 c1m enb 1mnc1 45 mne90 即 mn en，又 nf平面 a 1c1， mn平面 a 1c1 mn nf，從而 mn 平面 enf mn平面 mnf

10、，平面 mnf 平面 enf4如圖 9 45，四棱錐 p abcd 的底面是邊長為 a 的正方形， pa底面 abcd ，e 為 ab 的中點，且 pa=ab 圖 9 45（1）求證：平面 pce平面 pcd；（ 2）求點 a 到平面 pce 的距離（1）【證明】 pa平面 abcd ，ad 是 pd 在底面上的射影，又四邊形 abcd 為矩形， cdad ， cdpd， ad pd=dcd 面 pad ， pda 為二面角 pcdb 的平面角，pa=pb=ad ，paad pda=45，取rtpad 斜邊 pd 的中點 f，則 af pd， af 面 pad cdaf ，又 pd cd=da

11、f 平面 pcd，取 pc 的中點 g，連 gf、 ag 、eg，則11gf2 cd 又ae2 cd，gfae 四邊形 agef 為平行四邊形 af eg， eg平面eg平面 pec，平面 pec平面 pcd（2）【解】由（ 1）知 af 平面 pec，平面 pcd平面 pec，過pdc 又f 作 fh pc于 h，則 fh平面 pecfh 為 f 到平面 pec 的距離，即為 a 到平面 pec 的距離在 pfh 與 pcd 中， p 為公共角，fhpf而 fhp=cdp=90，pfh pcd cdpc ，設(shè) ad=2 ，pf= 2 ，pc= pd 2cd 28 4 2 3 ，26623 a

12、 到平面 pec 的距離為 3 fh= 2 3【拓展練習】一、備選題1如圖， ab 是圓 o 的直徑， c 是圓周上一點， pa平面 abc （1）求證：平面 pac平面 pbc；（2）若 d 也是圓周上一點，且與 c 分居直徑 ab 的兩側(cè)，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面（1）【證明】 c 是 ab 為直徑的圓 o 的圓周上一點， ab 是圓 o 的直徑bcac ；又 pa平面 abc ， bc 平面 abc ，bcpa ，從而 bc平面 pacbc 平面 pbc，平面 pac平面 pbc（2）【解】平面 pac平面 abcd ；平面 pac平面 pbc；平面 pad 平面 pbd；平面 pab 平面 abcd ；平面 pad 平面 abcd 2abc a bc是正三棱柱，底面邊長為 a，d，e 分別是 bb ，cc上的1一點， bd 2 a， ec a（1）求證：平面 ade 平面 acc a；（2）求截面 ade 的面積（1）【證明】分別取a c、ac 的中點 m 、n，連結(jié) mn ，則 mn a a bb，b、m 、n、b 共面， m 為 a c中點，bc=ba ，bm a c，又 bm aa 且aa a c=a bm 平面 a acc 設(shè) mn