等比數(shù)列求和

1、等比數(shù)列的前n項和,古印度國王舍罕王打算獎賞國際象棋的發(fā)明人宰相西薩班達依爾。國王問他想要什么，發(fā)明者說：“請在第一個格子里放上1粒麥子，在第二個格子里放上2粒麥子，在第三個格子里放上 4粒麥子，在第四個格子里放上8粒麥子，依此類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子。請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要求”。國王覺得太容易了，就同意了他的要求。,當人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數(shù)時，國王才發(fā)現(xiàn)：就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了那位宰相的要求。 那么，宰相要求得到的麥粒到底有多少呢？第 第 第 第一 二 三 64格 格 格 格 = 1844674407

2、3709551615(粒),人們估計，全世界兩千年也難以生產(chǎn)這么多麥子!,假定千粒麥子的質(zhì)量為10g,那么麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸。,等比數(shù)列前n項和公式的推導,1,2,4,3,復習導入 等比數(shù)列及前n項和 an+1:an = q an = a1 q n 1 Sn = a1 + a2 +an Sn-1=a1+a2+an-1(n1) an= Sn Sn-1 (n1),這些你都記得嗎?,(一) 用等比定理推導,當 q = 1 時 Sn = n a1,因為,所以,Sn = a1 + a2 + a3 + .+ an-1 + an,= a1 + a1q + a1q2 +.+ a1qn-2 + a1

3、qn-1,= a1+ q ( a1 + a1q + .+ a1qn-3 + a1qn-2 ),= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn an ),Sn= a1+a1q +a1q2 +a1qn-2 + a1qn-1,qSn = a1q + a1q2 + a1qn-1 +a1qn,兩式相減有 ( 1 q )Sn = a1 a1 q n,Sn= a1+a1q +a1q2 +a1qn-2 + a1qn-1,= a1（1+q +q2 +qn-2 + qn-1）,2、求數(shù)列1，x，x2，x3，xn，的前n項和。,1、等比數(shù)列1，2，4，8，從第5項到 第10項的和為,或,3、求和：,例3,某

4、制糖廠第1年制糖5萬噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從第1年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達到30萬噸(保留到個位)？,分析：第1年產(chǎn)量為 5,第2年產(chǎn)量為,5(1+10%)=51.1,第3年產(chǎn)量為,5(1+10%) (1+10%)=51.12,則n年內(nèi)的總產(chǎn)量為：,解：由題意，從第1年起，每年的產(chǎn)量 組成一個等比數(shù)列,其中,即,兩邊取對數(shù)，得,印度還有一古老傳說：在世界中心貝拿勒斯(在印度北部)的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂梵塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片

5、：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸于盡。,不管這個傳說是否可信，如果考慮一下把64片金片，由一根針上移到另一根針上，并且始終保持上小下大的順序，一共需要移動多少次，那么，不難發(fā)現(xiàn)，不管把哪一片移到另一根針上，移動的次數(shù)都要比移動上面一片增加一倍。這樣，移動第1片只需1次，第2片則需2次，第3片需4次，第64片需2的63次方次。全部次數(shù)為：18446744073709551615次這和“麥粒問題”的計算結果是完全相同的! 假如每秒鐘移動一次，共需要多長時間呢?一年大約有315