三、 彈性力學(xué)有限元法基本原理(二)_第1頁
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文檔簡介

1、第三單元 彈性力學(xué)有限元法基本原理(二),第一節(jié) 有限元解的性質(zhì)和收斂準(zhǔn)則 1、有限元解的收斂準(zhǔn)則 有限單元法作為連續(xù)問題的數(shù)值解法可以看作里茲法的一種特殊形式,即采用分片試探函數(shù)(假定位移場)的里茲法。前面通過受軸向力桿的里茲法求解,已經(jīng)指出里茲解收斂必須滿足的條件:除了滿足連續(xù)性和邊界約束之外,試探函數(shù)還必須是完備的,即包含完全的低階多項(xiàng)式。 對于有限元法,解的收斂除了里茲法意義上的收斂外,顯然,當(dāng)單元尺寸趨于零(h 0)時,有限元解應(yīng)該趨于問題的精確解。這就是通常意義上有限元解收斂的涵義(h-收斂)。,事實(shí)上,有限元位移法中,在一個單元內(nèi)用完全多項(xiàng)式逼近實(shí)際位移場,當(dāng)單元尺寸趨于零時,如

2、果整體位移試探函數(shù)還滿足連續(xù)性要求,那么在滿足最小勢能原理的情況下,整個系統(tǒng)的勢能泛函將趨于它的精確值最小值。在每一單元內(nèi)位移及其導(dǎo)數(shù)將趨于它的精確值(常數(shù)),有限元解就趨于精確解,即解是收斂的。,根據(jù)以上分析,對彈性力學(xué)有限元法,為了使有限元解收斂,單元(一維桿,二、三維實(shí)體元)的構(gòu)造必須滿足下列要求: 每個單元的位移模式必須包含完全一次多項(xiàng)式。 位移模式在單元邊界之間連續(xù)(C0連續(xù))。 單元網(wǎng)格在邊界上受到均勻載荷,單元上的有限元解應(yīng)該具有一致的均勻值。,上述要求可以概括為兩個收斂準(zhǔn)則: 準(zhǔn)則1 :完備性要求 對彈性力學(xué)問題,單元位移模式必須包含一次完全多項(xiàng)式。 滿足上述要求的單元稱為完備

3、單元。,除了完備性,位移模式還有連續(xù)性的要求。采用多項(xiàng)式作為位移函數(shù),單元內(nèi)部的連續(xù)性自然得到滿足,因此,要求位移在相鄰單元邊界上滿足連續(xù)性,這導(dǎo)致另一個收斂準(zhǔn)則。,準(zhǔn)則2 :協(xié)調(diào)性要求 對彈性力學(xué)問題,位移試探函數(shù)在單元交界面上必須具有C0連續(xù)性(函數(shù)值連續(xù))。 滿足上述要求的單元稱為協(xié)調(diào)元。 理論上可以證明,同時滿足完備性和協(xié)調(diào)性的單元一定收斂。但協(xié)調(diào)性不是收斂的必要條件,某些具有非協(xié)調(diào)位移模式的單元只要滿足一定條件也是收斂的。,2、對收斂性和收斂準(zhǔn)則的理解 根據(jù)前面分析,對于有限元位移法,有兩個途徑得到不斷逼近精確解的有限元解序列:第一,網(wǎng)格不變,不斷增加位移模式多項(xiàng)式的階數(shù);第二,單元

4、位移模式不變,不斷增加單元數(shù),即單元尺寸趨于零。通常所指有限元解的收斂性是第二種情況。 關(guān)于有限元解的收斂性和收斂準(zhǔn)則,數(shù)學(xué)家已經(jīng)給出嚴(yán)格的證明。下面以彈性力學(xué)問題為例從物理概念上進(jìn)行理解。,準(zhǔn)則1中的完備性要求,就是要求單元位移模式具有描述單元剛體位移和常應(yīng)變的能力。 如果位移模式?jīng)]有包含完全一次多項(xiàng)式,單元就不可能出現(xiàn)剛體位移和常應(yīng)變位移狀態(tài)。對于正常的有限元解,一個單元內(nèi)部位移場是在相鄰的其它單元位移剛體位移基礎(chǔ)上,迭加本單元彈性變形產(chǎn)生的位移場組成。同時一個單元內(nèi)的應(yīng)變場是由當(dāng)?shù)氐哪硞€“基本常應(yīng)變”值迭加本單元內(nèi)部應(yīng)變的變化組成。 當(dāng)單元尺寸趨于零時,單元中的位移和應(yīng)變應(yīng)該就是結(jié)構(gòu)中該

5、點(diǎn)上的剛體位移和基本常應(yīng)變。因此,只有滿足準(zhǔn)則1才能使有限元解具有上述特性,收斂到真正解。,準(zhǔn)則2的協(xié)調(diào)性要求是連續(xù)體力學(xué)問題的必然要求。它是最小勢能原理和里茲法的前提條件。有限元法作為里茲法的特殊形式必然要滿足這個要求。有限元的協(xié)調(diào)性要求在整個彈性體區(qū)域上的體現(xiàn)就是試探位移場必須滿足的連續(xù)性條件。事實(shí)上,如果單元尺寸趨于零時,單元交界面上位移不連續(xù),則有限元模型模擬的就不可能是原來的連續(xù)結(jié)構(gòu),獲得的有限元解就不可能收斂到問題的真正解。 在有限元法中,一般在粗網(wǎng)格下單元要滿足協(xié)調(diào)性要求。如果某單元在粗網(wǎng)格下不滿足協(xié)調(diào)性,但隨著單元尺寸減小,不協(xié)調(diào)性趨于消失,同時滿足完備性,則該單元也能收斂。

6、不難證明,3節(jié)點(diǎn)三角形單元滿足完備性準(zhǔn)則和協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則。,3、收斂速度、精度及其意義 如果單元位移模式滿足完備性和協(xié)調(diào)性,則當(dāng)單元尺寸趨于零時,有限元解趨于精確解。 根據(jù)里茲法的原理,如果單元的位移插值多項(xiàng)式能夠精確擬合真正解,則很粗糙的單元劃分就能得到精確的解答。比如,假設(shè)位移精確解是二次函數(shù),而單元位移模式包含了完全二次多項(xiàng)式,則有限元解一定是精確的。,對于一般的實(shí)際位移場,一點(diǎn)附近的位移可以展開為Taylor級數(shù)。根據(jù)前面結(jié)論,在一個單元范圍內(nèi),有限元解可以擬合實(shí)際位移的低階成分,而忽略的高階成分就是誤差。設(shè)單元直徑是h,單元位移模式包含p階完全多項(xiàng)式,則它可以在單元上擬合實(shí)際位移Tayl

7、or展開中的前p階。因此有限元位移解的誤差是 ,這只是一種量級的估計,不反映誤差的絕對數(shù)值,但可以反映收斂速度。,例如,3節(jié)點(diǎn)三角形單元,位移模式是線性的,所以位移的誤差估計是 ,也可以說該單元的收斂速度是 量級。即,如果把有限元網(wǎng)格細(xì)化,單元尺寸減半,則有限元位移解的誤差大約是前一種網(wǎng)格的(1/2)2 = 1/4。顯然,該單元應(yīng)變、應(yīng)力解的收斂速度是 量級。,實(shí)際工作中,往往需要對誤差作出具體估計,對于一般的實(shí)際問題,可采取下列辦法: (1)用相近的有已知解析解的問題做有限元誤差估計,單元類型相同,網(wǎng)格劃分相似。則某種網(wǎng)格下其有限元解與解析解的具體誤差可以作為實(shí)際問題的誤差。 (2)根據(jù)收斂

8、的含義,可以對網(wǎng)格進(jìn)行連續(xù)多次細(xì)化,當(dāng)兩次網(wǎng)格的解相差不大時,可以認(rèn)為得到的解答足夠精確。,(3)利用收斂速度的量級估計精確解。有限元解是單調(diào)收斂的,對3節(jié)點(diǎn)三角形單元,設(shè)第一次網(wǎng)格的位移解是u1,單元尺寸減半后的網(wǎng)格的位移解是u2,收斂速度是 ,則可由下式預(yù)測精確解: 由此式得:,4、有限元位移法解的下限性質(zhì) 由有限元模型的離散總勢能表達(dá)式和最小勢能原理可以推出:有限元近似解的應(yīng)變能小于真正解的應(yīng)變能,因此有限元位移解總體上不大于真正位移,即有限元位移解具有下限性質(zhì)。 可以在物理上作出如下分析:連續(xù)彈性體具有無限多個自由度,應(yīng)用有限元位移法后,在單元上假定了具有有限自由度的位移模式,這種假定

9、位移場對單元實(shí)際的變形進(jìn)行了約束,使單元剛化,彈性體的整體剛度隨之增加,因此求得的位移總體上小于精確解。,第二節(jié) 矩形單元和高精度三角形單元,三節(jié)點(diǎn)三角形單元有那些缺點(diǎn)? 三節(jié)點(diǎn)三角形單元精度低,在單元內(nèi)不能反映應(yīng)力應(yīng)變的變化,收斂速度慢。這一切都是因?yàn)樵搯卧挥?個節(jié)點(diǎn),單元自由度少,單元位移模式只能是線性的,描述單元內(nèi)位移變化的能力差。 如何解決三節(jié)點(diǎn)三角形單元精度低的問題? 解決這個問題的辦法是采用具有更多節(jié)點(diǎn)數(shù)的高精度單元。對平面問題,先考慮采用矩形單元和高精度三角形單元。,圖3-1 矩形單元,1、 四節(jié)點(diǎn)矩形單元,(1)單元描述,圖3-1所示一個四節(jié)點(diǎn)矩形單元。,平面問題每節(jié)點(diǎn)2個位

10、移分量,單元共8個節(jié)點(diǎn)位移分量。單元節(jié)點(diǎn)位移列陣為:,局部節(jié)點(diǎn)編號1,2,3,4。,在單元中心(x0,y0)建立一個局部坐標(biāo)系-。坐標(biāo)軸平行于矩形的兩邊。則,與x,y之間有簡單變換關(guān)系:,由于,在單元4個節(jié)點(diǎn)上的值分別為1,因此稱為自然坐標(biāo)。,單元共有8個自由度,因此單元位移試探函數(shù)設(shè)為如下形式:,為廣義坐標(biāo)。這是包含完全一次式的非完全二次多項(xiàng)式函數(shù),由于在各坐標(biāo)軸方向呈線性變化,因此稱為雙線性位移模式。,(2)單元位移模式,如何建立以節(jié)點(diǎn)位移作為廣義坐標(biāo)的單元位移模式? 對上述位移函數(shù)在單元內(nèi)進(jìn)行插值,建立廣義坐標(biāo)與單元節(jié)點(diǎn)位移分量之間的關(guān)系,得到節(jié)點(diǎn)位移插值形式的位移模式如下:,其中 為插

11、值函數(shù)形函數(shù)。具體表達(dá)式為:,顯然,四節(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)滿足形函數(shù)性質(zhì)1、2?。ㄕ堯?yàn)證),每個節(jié)點(diǎn)的自然坐標(biāo)用符號(i,i)(i=1,2,3,4)表示,則上述形函數(shù)可寫成通式:,(i=1,2,3,4),矩形單元的位移模式用矩陣表示如下:,其中,其中:,(3)單元應(yīng)變,把位移模式代入平面問題幾何方程:,顯然,矩形單元的應(yīng)變矩陣元素是坐標(biāo)的線性函數(shù),因此單元內(nèi)的應(yīng)變隨位置線性變化。但x方向正應(yīng)變隨y線性變化,y方向正應(yīng)變隨x線性變化。,(4)單元應(yīng)力,應(yīng)力矩陣的子塊:,(5)單元剛度矩陣,矩形單元的剛度矩陣為44子塊矩陣:,其中一個子塊為:,如果突破這個幾何上的限制,成為任意方位的任意四邊形單元

12、,便成為很實(shí)用的單元。增加三角形單元節(jié)點(diǎn)數(shù)也是提高精度的有效途徑。,(6)4節(jié)點(diǎn)矩形單元討論:精度、收斂性、缺點(diǎn)、如何克服其缺點(diǎn)?,4節(jié)點(diǎn)矩形單元采用了雙線性位移模式,應(yīng)力可以沿坐標(biāo)軸呈線性變化,因而在某些情況下精度比3節(jié)點(diǎn)三角形單元高。,由于位移模式在單元邊界上線性變化,并且根據(jù)單元公共邊界上兩個共同節(jié)點(diǎn)位移插值得到,因此單元的協(xié)調(diào)性得到滿足,同時也滿足完備性,因此單元是收斂的。,該單元要求兩個邊平行于坐標(biāo)軸,因而不能模擬復(fù)雜幾何邊界,這是矩形單元的固有缺點(diǎn)??梢酝?節(jié)點(diǎn)三角形單元結(jié)合使用。,圖3-2 6節(jié)點(diǎn)三角形單元,2、 六節(jié)點(diǎn)三角形單元,三角形單元天然具有很好的幾何適應(yīng)性,如果增加三角

13、形單元位移模式多項(xiàng)式的階數(shù),就能成為實(shí)用的單元。考慮圖3-2所示6節(jié)點(diǎn)三角形單元,單元每個邊上設(shè)一個節(jié)點(diǎn),單元有12個自由度,因此位移模式恰好取完全二次多項(xiàng)式:,(1)單元概述,顯然單元滿足完備性要求。該位移模式?jīng)Q定了單元邊界上位移呈二次拋物線分布,相鄰單元公共邊界上有三個公共節(jié)點(diǎn),正好能夠保證相鄰單元在邊界上位移的連續(xù)性,因而是協(xié)調(diào)元。該單元應(yīng)變、應(yīng)力隨坐標(biāo)完全呈線性變化,屬于高精度單元。,進(jìn)行廣義坐標(biāo)代換后位移模式仍可寫成標(biāo)準(zhǔn)形式:,采取如前面3節(jié)點(diǎn)單元建立形函數(shù)的辦法過于復(fù)雜,下面介紹用三角形單元的面積坐標(biāo)描述單元位移模式和形函數(shù)的方法。,圖3-3 三角形單元上的面積坐標(biāo),面積坐標(biāo)的定義

14、如圖3-3所示。,三角形中任意一點(diǎn)的位置用三個參數(shù)來表示,稱為面積坐標(biāo)。面積坐標(biāo)(Li, Lj, Lm)定義為三個比值:,(2)面積坐標(biāo)下三角形單元的分析,因此,單元內(nèi)任一點(diǎn)的面積坐標(biāo)滿足關(guān)系: Li+ Lj+ Lm=1 即3個面積坐標(biāo)只有2個面積坐標(biāo)是獨(dú)立的。,面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間有確定的變換關(guān)系,因此,對三角形單元的描述完全可以用面積坐標(biāo)進(jìn)行。,直角坐標(biāo)表示面積坐標(biāo),不難導(dǎo)出下列變換關(guān)系:,矩陣形式:,顯然,面積坐標(biāo)與3節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)完全相同。,面積坐標(biāo)表示直角坐標(biāo),不難導(dǎo)出下列變換關(guān)系:,矩陣形式:,利用上面變換式,三角形單元上的任何多項(xiàng)式函數(shù)可以方便地在兩種坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)換。,面

15、積坐標(biāo)的各種形式冪函數(shù)在三角形上的積分有很簡便的計算公式(P71)。,面積坐標(biāo)表示的6節(jié)點(diǎn)三角形單元形函數(shù),根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造出用面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)如下:,不難驗(yàn)證,上述6個形函數(shù)滿足形函數(shù)的2個主要性質(zhì):,采用面積坐標(biāo)后,單元剛度矩陣和等效節(jié)點(diǎn)力的計算都比較方便。,6節(jié)點(diǎn)三角形單元列式推導(dǎo)原理與其它單元相同。,第三節(jié) 空間軸對稱問題的有限元格式,前面討論的幾類單元都是用于解決彈性力學(xué)平面問題。工程中經(jīng)常涉及空間軸對稱問題,可用軸對稱彈性理論描述,其有限元解法中亦相應(yīng)采用軸對稱單元模擬。,描述軸對稱問題通常采用圓柱坐標(biāo)(r,z),以z軸為對稱軸,圓周向?yàn)?,軸對稱問題的所有力學(xué)量均與坐標(biāo)無

16、關(guān),只是r,z的函數(shù)。且位移只有r,z方向的分量。因此,軸對稱問題是二維問題。,離散軸對稱體時,采用的單元實(shí)際上是一些圓環(huán),稱為軸對稱實(shí)體元。對軸對稱實(shí)體模型和軸對稱單元的描述只要在r,z坐標(biāo)平面內(nèi)進(jìn)行,但單元上所有載荷都沿圓周方向分布,計算應(yīng)變能和等效節(jié)點(diǎn)力時積分的區(qū)域是圓環(huán)體或圓環(huán)形線、面。 用3節(jié)點(diǎn)三角形模擬軸對稱問題的原理如圖3-4所示。,圖3-4 軸對稱問題的有限元,采用3節(jié)點(diǎn)三角形單元求解彈性力學(xué)軸對稱問題的要點(diǎn)如下:,(1)位移模式及形函數(shù)同平面問題的三角形單元。,(2)應(yīng)變有4個分量,3個面內(nèi)應(yīng)變?yōu)槌A?,環(huán)向應(yīng)變不是常應(yīng)變, 而是與單元中各點(diǎn)的位置有關(guān)。,其中,彈性矩陣D見P2

17、8 表1.2。,(3)單元應(yīng)力用應(yīng)變代入彈性力學(xué)軸對稱物理方程得到:,軸對稱應(yīng)力分量如圖。,軸對稱問題有4個應(yīng)力分量。對3節(jié)點(diǎn)三角形單元,剪應(yīng)力為常量,其它3個正應(yīng)力分量均隨位置變化。,每個應(yīng)力矩陣分塊為:,(4) 單元剛度矩陣計算公式:,(5)單元等效節(jié)點(diǎn)力計算須在整個環(huán)形線、面、體上積分;軸對稱問題中作為載荷的集中力為環(huán)向線分布集中力;等效節(jié)點(diǎn)力是二維圖形上與節(jié)點(diǎn)位移相對應(yīng)的集中力。,常見載荷的等效節(jié)點(diǎn)力計算參見P77。,等效節(jié)點(diǎn)力計算公式:,(6)在該軸對稱單元的剛度矩陣和等效節(jié)點(diǎn)力的積分計算中,被積函數(shù)往往存在1/r因子。因此為簡化計算和消除對稱軸上r=0時引起的奇異性問題,通常作如下近似處理: 把被積函數(shù)中的坐標(biāo)變量r,z用單元形心處的

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