小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級)目30講全.doc

1、小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（三年級）第1講 加減法的巧算第2講 橫式數(shù)字謎(一)第3講 豎式數(shù)字謎(一)第4講 豎式數(shù)字謎(二)第5講 找規(guī)律(一)第6講 找規(guī)律(二)第7講 加減法應(yīng)用題第8講 乘除法應(yīng)用題第9講 平均數(shù)第10講 植樹問題第11講 巧數(shù)圖形第12講 巧求周長第13講 火柴棍游戲(一)第14講 火柴棍游戲(二)第15講 趣題巧解第16講 數(shù)陣圖(一)第17講 數(shù)陣圖(二)第18講 能被2，5整除的數(shù)的特征第19講 能被3整除的數(shù)的特征第20講 乘、除法的運算律和性質(zhì)第21講 乘法中的巧算第22講 橫式數(shù)字謎(二)第23講 豎式數(shù)字謎(三)第24講 和倍應(yīng)用題第25講 差倍應(yīng)用題第26講

2、和差應(yīng)用題第27講 巧用矩形面積公式第28講 一筆畫(一)第29講 一筆畫(二)第30講 包含與排除一、兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（一）二、兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（二）三、乘法分配律數(shù)學(xué)智慧園（一）四、等量替換五、兩、三位數(shù)除以一位數(shù)（一）六、兩、三位數(shù)除以一位數(shù)（二）七、和差問題數(shù)學(xué)智慧園（二）八、圖形空格填數(shù)九、歸一問題十、和倍問題十一、差倍問題數(shù)學(xué)智慧園（三）十二、兩積之和第2講 橫式數(shù)字謎(一)在一個數(shù)學(xué)式子(橫式或豎式)中擦去部分數(shù)字，或用字母、文字來代替部分數(shù)字的不完整的算式或豎式，叫做數(shù)字謎題目。解數(shù)字謎題就是求出這些被擦去的數(shù)或用字母、文字代替的數(shù)的數(shù)值。例如，求算式324+=528中所代

3、表的數(shù)。根據(jù)“加數(shù)=和-另一個加數(shù)”知，=582-324258。又如，求右豎式中字母A，B所代表的數(shù)字。顯然個位數(shù)相減時必須借位，所以，由12-B5知，B12-57；由A-13知，A314。解數(shù)字謎問題既能增強數(shù)字運用能力，又能加深對運算的理解，還是培養(yǎng)和提高分析問題能力的有效方法。這一講介紹簡單的算式(橫式)數(shù)字謎的解法。解橫式數(shù)字謎，首先要熟知下面的運算規(guī)則：(1)一個加數(shù)+另一個加數(shù)=和；(2)被減數(shù)-減數(shù)=差；(3)被乘數(shù)乘數(shù)=積；(4)被除數(shù)除數(shù)=商。由它們推演還可以得到以下運算規(guī)則：由(1)，得 和-一個加數(shù)=另一個加數(shù)；其次，要熟悉數(shù)字運算和拆分。例如，8可用加法拆分為80817

4、263544；24可用乘法拆分為24124=2123846(兩個數(shù)之積)=1212226=(三個數(shù)之積)=12262223=(四個數(shù)之積)例1 下列算式中，*各代表什么數(shù)？(1)+513-6； (2)28-157；(3)3=54； (4)387；(5)56*7。解：(1)由加法運算規(guī)則知，=13-6-52；(2)由減法運算規(guī)則知，28-(157)6；(3)由乘法運算規(guī)則知，54318；(4)由除法運算規(guī)則知，=873261；(5)由除法運算規(guī)則知，*5678。例2 下列算式中，各代表什么數(shù)？(1)+=48；(2)621-；(3)5-18612；(4)63-4513。解：(1)表示一個數(shù)，根據(jù)乘

5、法的意義知，+=3，故=48316。(2)先把左端(6)看成一個數(shù)，就有(6)21，321-6，1535。(3)把5，186分別看成一個數(shù)，得到5=12186，5=15，=1553。(4)把63，45分別看成一個數(shù)，得到4563-13，455，4559。例3(1)滿足581271的整數(shù)等于幾？(2)180是由哪四個不同的且大于1的數(shù)字相乘得到的？試把這四個數(shù)按從小到大的次序填在下式的里。180=。(3)若數(shù)，滿足=48和=3，則，各等于多少？分析與解：(1)因為5812410，7112511，并且為整數(shù)，所以，只有=5才滿足原式。(2)拆分180為四個整數(shù)的乘積有很多種方法，如18014590

6、12330但拆分成四個“大于1”的數(shù)字的乘積，范圍就縮小了，再限制拆分成四個“不同的”數(shù)字的乘積，范圍又縮小了。按從小到大的次序排列只有下面一種：1802356。所以填的四個數(shù)字依次為2，3，5，6。(3)首先，由=3知，因此，在把48拆分為兩數(shù)的乘積時，有4848124216312486，其中，只有48124中，124=3，因此=12，=4。這道題還可以這樣解：由=3知，=3。把=48中的換成3，就有(3)48，于是得到=48316。因為1644，所以=4。再把=3中的換成4，就有=3=43=12。這是一種“代換”的思想，它在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛。下面，我們

7、再結(jié)合例題講一類“填運算符號”問題。例4 在等號左端的兩個數(shù)中間添加上運算符號，使下列各式成立：(1)4 4 4 424；(2)5 5 5 5 5=6。解：(1)因為444424，所以必須填一個“”。4416，剩下的兩個4只需湊成8，因此，有如下一些填法：444424；444424；444424。(2)因為5+1=6，等號左端有五個5，除一個5外，另外四個5湊成1，至少要有一個“”，有如下填法：55+5-5+56；5555-56；55555=6；555556。由例4看出，填運算符號的問題一般會有多個解。這些填法都是通過對問題的綜合觀察、分析和試算得到的，如果只是盲目地“試算”，那么就可能走很多

8、彎路。例5 在下式的兩數(shù)中間添上四則運算符號，使等式成立：8 2 33 3。分析與解：首先考察右端“3 3”，它有四種填法：3+36； 3-30；339； 33=1。再考察左端“8 2 3”，因為只有一個奇數(shù)3，所以要想得到奇數(shù)，3的前面只能填“”或“-”，要想得到偶數(shù)，3的前面只能填“”。經(jīng)試算，只有兩種符合題意的填法：8-2333；82-333。填運算符號可加深對四則運算的理解和認識，也是培養(yǎng)分析能力的好內(nèi)容。練習(xí)21.在下列各式中，分別代表什么數(shù)？+1635； 47-=12； -315；4=36； 4=15； 84=4。2.在下列各式中，各代表什么數(shù)？(+350)3=200； (54-)

9、40；360-710； 49-5=1。3.在下列各式中，各代表什么數(shù)？150-=；92=22。4.120是由哪四個不同的一位數(shù)字相乘得到的？試把這四個數(shù)字按從小到大的次序填在下式的里：120 。5.若數(shù)，同時滿足=36和-=5，則，各等于多少？6.在兩數(shù)中間添加運算符號，使下列等式成立：(1)5 5 5 5 53；(2)1 2 3 41。7.在下列各式的內(nèi)填上合適的運算符號，使等式成立：1244=103。8.在下列各式的內(nèi)填上合適的運算符號，使等式成立：123456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456

10、789100；123456789100。 答案與提示練習(xí)21.略。2.= 250，=54，= 50，=175。3.=50，=0或2，= 2。4.1358或1456或2345。5.=9，=4。6.(1)5-55-55= 3；(2)123-4=1。7.1244=10-3或1244=103。8.123-45-6789100；123 45 67 8 9 100；123456789100；123456789100；12345678 9100；123456789=100；12-3-45-6789100。第3講 豎式數(shù)字謎(一)這一講主要講加、減法豎式的數(shù)字謎問題。解加、減法數(shù)字謎問題的基本功，在于掌握好上

11、一講中介紹的運算規(guī)則(1)(2)及其推演的變形規(guī)則，另外還要掌握數(shù)的加、減的“拆分”。關(guān)鍵是通過綜合觀察、分析，找出解題的“突破口”。題目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。這需要通過不斷的“學(xué)”和“練”，逐步積累知識和經(jīng)驗，總結(jié)提高解題能力。例1 在右邊的豎式中，A，B，C，D各代表什么數(shù)字？解：顯然，C=5，D=1(因兩個數(shù)字之和只能進一位)。由于A41即A5的個位數(shù)為3，且必進一位(因為43)，所以A5=13，從而A13-5=8。同理，由7B1=12，即B812，得到B12-84。故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。例2 求下面各豎式中兩個加數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和：分析與解

12、：(1)由于和的個位數(shù)字是9，兩個加數(shù)的個位數(shù)字之和不大于9918，所以兩個加數(shù)的個位上的兩個方框里的數(shù)字之和只能是9。(這是“突破口”)再由兩個加數(shù)的個位數(shù)之和未進位，因而兩個加數(shù)的十位數(shù)字之和就是14。故這兩個加數(shù)的四個數(shù)字之和是914=23。(2)由于和的最高兩位數(shù)是19，而任何兩個一位數(shù)相加的和都不超過18，因此，兩個加數(shù)的個位數(shù)相加后必進一位。(這是“突破口”，與(1)不同)這樣，兩個加數(shù)的個位數(shù)字相加之和是15，十位數(shù)字相加之和是18。所求的兩個加數(shù)的四個數(shù)字之和是151833。注意：(1)(2)兩題雖然題型相同，但兩題的“突破口”不同。(1)是從和的個位著手分析，(2)是從和的最

13、高兩位著手分析。例3 在下面的豎式中，A，B，C，D，E各代表什么數(shù)？分析與解：解減法豎式數(shù)字謎，與解加法豎式數(shù)字謎的分析方法一樣，所不同的是“減法”。首先，從個位減起(因已知差的個位是5)。45，要使差的個位為5，必須退位，于是，由14-D5知，D=14-59。(這是“突破口”)再考察十位數(shù)字相減：由B-1-09知，也要在百位上退位，于是有10B-1-09，從而B0。百位減法中，顯然E=9。千位減法中，由10A-1-37知，A1。萬位減法中，由9-1-C0知，C8。所以，A1，B0，C8，D9，E9。例4 在下面的豎式中，“車”、“馬”、“炮”各代表一個不同的數(shù)字。請把這個文字式寫成符合題意

14、的數(shù)字式。分析與解：例3是從個位著手分析，而這里就只能從首位著手分析。由一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)的差是三位數(shù)知，“炮”1。被減數(shù)與減數(shù)的百位數(shù)相同，其相減又是退位相減，所以，“馬”9。至此，我們已得到下式：由上式知，個位上的運算也是退位減法，由11-“車”=9得到“車”2。因此，符合題意的數(shù)字式為：例5 在右邊的豎式中，“巧，填，式，謎”分別代表不同的數(shù)字，它們各等于多少？解：由(4謎)的個位數(shù)是0知，“謎”0或5。當(dāng)“謎”0時，(3式)的個位數(shù)是0，推知“式”0，與“謎”“式”矛盾。當(dāng)“謎”5時，個位向十位進2。由(3式+2)的個位數(shù)是0知，“式”6，且十位要向百位進2。由(2填+2)的個位

15、數(shù)是0，且不能向千位進2知，“填”4。最后推知，“巧”1。所以“巧”1，“填”4，“式”=6，“謎”5。練習(xí)31.在下列各豎式的中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立：2.下列各豎式中，里的數(shù)字被遮蓋住了，求各豎式中被蓋住的各數(shù)字的和：3.在下列各豎式的中填入合適的數(shù)字，使豎式成立：4.下式中不同的漢字代表19中不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。這個豎式的和是多少？5.在下列各豎式的中填入合適的數(shù)字，使豎式成立：答案與提示練習(xí)31. (1) 764265=1029；(2) 981959=1940；(3) 99 9031002； (4) 9897 9231118。2.(1) 28；(2) 75。3.(

16、1) 23004-185014503；(2) 1056-98967；(3) 24883-16789=8094；(4) 9123-7684=1439。4.987654321。5.提示：先解上層數(shù)謎，再解下層數(shù)謎。 第4講 豎式數(shù)字謎(二)本講只限于乘數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)的乘、除法豎式數(shù)字謎問題。掌握好乘、除法的基本運算規(guī)則(第2講的公式(3)(4)及推演出的變形式子)是解乘、除法豎式謎的基礎(chǔ)。根據(jù)題目結(jié)構(gòu)形式，通過綜合觀察、分析，找出“突破口”是解題的關(guān)鍵。例1 在左下乘法豎式的中填入合適的數(shù)字，使豎式成立。分析與解：由于積的個位數(shù)是5，所以在乘數(shù)和被乘數(shù)的個位數(shù)中，一個是5，另一個是奇數(shù)。因為乘積

17、大于被乘數(shù)的7倍，所以乘數(shù)是大于7的奇數(shù)，即只能是9(這是問題的“突破口”)，被乘數(shù)的個位數(shù)是5。因為797089，所以，被乘數(shù)的百位數(shù)字只能是7。至此，求出被乘數(shù)是785，乘數(shù)是9(見右上式)。例2 在右邊乘法豎式的里填入合適的數(shù)字，使豎式成立。分析與解：由于乘積的數(shù)字不全，特別是不知道乘積的個位數(shù)，我們只能從最高位入手分析。乘積的最高兩位數(shù)是2，被乘數(shù)的最高位是3，由可以確定乘數(shù)的大致范圍，乘數(shù)只可能是6，7，8，9。到底是哪一個呢？我們只能逐一進行試算：(1)若乘數(shù)為6，則積的個位填2，并向十位進4，此時，乘數(shù)6與被乘數(shù)的十位上的數(shù)字相乘之積的個位數(shù)只能是5(因4+5=9)。這樣一來，被

18、乘數(shù)的十位上就無數(shù)可填了。這說明乘數(shù)不能是6。(2)若乘數(shù)為7，則積的個位填9，并向十位進4。與(1)分析相同，為使積的十位是9，被乘數(shù)的十位只能填5，從而積的百位填4。得到符合題意的填法如右式。(3)若乘數(shù)為8，則積的個位填6，并向十位進5。為使積的十位是9，被乘數(shù)的十位只能填3或8。當(dāng)被乘數(shù)的十位填3時，得到符合題意的填法如右式。當(dāng)被乘數(shù)的十位填8時，積的最高兩位為3，不合題意。(4)若乘數(shù)為9，則積的個位填3，并向十位進6。為使積的十位是9，被乘數(shù)的十位只能填7。而此時，積的最高兩位是3，不合題意。綜上知，符合題意的填法有上面兩種。除法豎式數(shù)字謎問題的解法與乘法情形類似。例3 在左下邊除

19、法豎式的中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使豎式成立。分析與解：由488=6即86=48知，商的百位填6，且被除數(shù)的千位、百位分別填4，8。又顯然，被除數(shù)的十位填1。由1=商的個位8知，兩位數(shù)1能被8除盡，只有168=2，推知被除數(shù)的個位填6，商的個位填2。填法如右上式。例3是從最高位數(shù)入手分析而得出解的。例4 在右邊除法豎式的中填入合適的數(shù)字。使豎式成立。分析與解：從已知的幾個數(shù)入手分析。首先，由于余數(shù)是5，推知除數(shù)5，且被除數(shù)個位填5。由于商4時是除盡了的，所以，被除數(shù)的十位應(yīng)填2，且由于34=12，84=32，推知，除數(shù)必為3或8。由于已經(jīng)知道除數(shù)5，故除數(shù)=8。(這是關(guān)鍵！)從84=32知，被除數(shù)的百位

20、應(yīng)填3，且商的百位應(yīng)填0。從除數(shù)為8，第一步除法又出現(xiàn)了4，88=64，83=24，這說明商的千位只能填8或3。試算知，8和3都可以。所以，此題有下面兩種填法。練習(xí)41.在下列各豎式的里填上合適的數(shù)：2.在右式中，“我”、“愛”、“數(shù)”、“學(xué)”分別代表什么數(shù)時，乘法豎式成立？3.“我”、“們”、“愛”、“祖”、“國”各代表一個不同的數(shù)字，它們各等于多少時，右邊的乘法豎式成立？4.在下列各除法豎式的里填上合適的數(shù)，使豎式成立：5.在下式的里填上合適的數(shù)。答案與提示練習(xí)41.(1) 7865755055；(2)2379 8= 19032或 7379 8= 59032。2.“我”5，“愛”=1，“數(shù)

21、”=7，“學(xué)”=2。3.“我”、“們”、“愛”、“祖”、“國”分別代表8，7，9，1，2。4.(1) 56077=801；(2) 8223=274。5.第5講 找規(guī)律(一)這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，(1) 1，2，3，4，5，6，(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，(4) 1，1，2，3，5，8，13。一個數(shù)列中從左至右的第n個數(shù)，稱為這個數(shù)列的第n項。如，數(shù)列(1)的第3項是3，數(shù)列(2)的第3項是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項記作an。數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個，如數(shù)列(2)(

22、4)，也可以是無限多個，如數(shù)列(1)(3)。許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項=前項+1，或第n項ann。數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項=前項2，或第n項數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項起，每項等于它前面兩項的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+35，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常見的較簡單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：第一類是數(shù)列各項只與它的項數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。第二類是前后幾項為一組，以組為單

23、元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些，我們用后面的例3、例4來作一些說明。例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)4，7，10，13，( )，(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，(6)2，6，12，20，( )，( )，解：通過對已知的幾個數(shù)的前后兩項的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)(1)的規(guī)律是：前項+3=后項。所以應(yīng)填16。(2)的規(guī)律是：前項-12=后項。所以應(yīng)填48，36。(3)的規(guī)

24、律是：前項3=后項。所以應(yīng)填54，162。(4)的規(guī)律是：前項5=后項。所以應(yīng)填5，1。(5)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為1=11， 4=22， 9=33， 16=44，所以應(yīng)填55=25。(6)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為2=12，6=23，12=34，20=45，所以，應(yīng)填 56=30， 67=42。說明：本例中各數(shù)列的每一項都只與它的項數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項分別可以表示為(1)an3n+1；(2)an96-12n；(3)an23n-1；(4)an55-n；(5)ann2；(6)ann(n+1)。這樣表示的好處在于，如果求第100項等于幾，那么不用一項一項地計算，直接就可以

25、算出來，比如數(shù)列(1)的第100項等于3100+1=301。本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項，當(dāng)然沒有必要計算大于5的項數(shù)了。例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；(3) 3，7，10，17，27，( )；(4) 1，2，2，4，8，32，( )。解：通過對各數(shù)列已知的幾個數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。(1)把數(shù)列每兩項分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應(yīng)填4，5。(2)把后面已知的六個數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，

26、每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7的次序知，應(yīng)填8，4。(3)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的和等于后面一項，故應(yīng)填( 17+27=)44。(4)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的乘積等于后面一項，故應(yīng)填(832=)256。例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)18，20，24，30，( )；(2)11，12，14，18，26，( )；(3)2，5，11，23，47，( )，( )。解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項-前項)組成一新數(shù)列2，4，6，其規(guī)律是“依次加2”，因為6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=

27、38。(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5a6-26=16，故a616+26=42。(3)觀察數(shù)列前、后項的關(guān)系，后項=前項2+1，所以a6=2a5+1247+195，a72a6+1295+1=191。例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。解：(1)數(shù)列的第1，3，5，項組成一個新數(shù)列12，17， 22，其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項就是27；數(shù)列的第2，

28、4，6，項組成一個新數(shù)列15，30，45，其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項就是60。故應(yīng)填27，60。(2)如(1)分析，由奇數(shù)項組成的新數(shù)列2，5，8，中，8后面的數(shù)應(yīng)為11；由偶數(shù)項組成的新數(shù)列8，6，4， 中，4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11，2。練習(xí)5按其規(guī)律在下列各數(shù)列的( )內(nèi)填數(shù)。1.56，49，42，35，( )。2.11， 15， 19， 23，( )，3.3，6，12，24，( )。4.2，3，5，9，17，( )，5.1，3，4，7，11，( )。6.1，3，7，13，21，( )。7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。8.8，3，9，4，10，5，( )，(

29、)。9.2，5，10，17，26，( )。10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。11.數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17。(1)如果其中缺少一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？應(yīng)補在何處？(2)如果其中多了一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？為什么？答案與提示練習(xí)51.28。2.27。3.48。4.33。提示：“后項-前項”依次為1，2， 4，8，16，5.18。提示：后項等于前兩項之和。6.31。提示：“后項-前項”依次為2，4，6，8，10。7.3，20。8.11，6。9.37。 提示：an=n2+1。10. 24，15。提示：奇數(shù)項為15，18，21，24；偶數(shù)項為21，19，17，

30、15。11.(1)缺9，在7與11之間；(2)多15，因為除15以外都不是合數(shù)。第6講 找規(guī)律(二)這一講主要介紹如何發(fā)現(xiàn)和尋找圖形、數(shù)表的變化規(guī)律。例1 觀察下列圖形的變化規(guī)律，并按照這個規(guī)律將第四個圖形補充完整。分析與解：觀察前三個圖，從左至右，黑點數(shù)依次為4，3，2個，并且每個圖形依次按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，所以第四個圖如右圖所示。觀察圖形的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數(shù)量、大小及各組成部分的相對位置入手，從中找出變化規(guī)律。例2 在下列各組圖形中尋找規(guī)律，并按此規(guī)律在“？”處填上合適的數(shù)：解：(1)觀察前兩個圖形中的數(shù)可知，大圓圈內(nèi)的數(shù)等于三個小圓圈內(nèi)的數(shù)的乘積的一半，故第三個圖形中的

31、“？”=5382=60；第四個圖形中的“？”=(212)32=7。(2)觀察前兩個圖形中的已知數(shù)，發(fā)現(xiàn)有10=8+5-3， 8=7+4-3，即三角形里面的數(shù)的和減去三角形外面的數(shù)就是中間小圓圈內(nèi)的數(shù)。故第三個圖形中的“？”=12+1-5=8；第四個圖形中的“？”=7+1-5=3。例3 尋找規(guī)律填數(shù)：解：(1)考察上、下兩數(shù)的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那個“？”=35-16=19，下面那個“？”=18+16=34。(2)從左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，知，9下面的“？”=14。

32、例4 尋找規(guī)律在空格內(nèi)填數(shù)：解：(1)因為前兩圖中的三個數(shù)滿足：256=464，72=612，所以，第三圖中空格應(yīng)填1215=180；第四圖中空格應(yīng)填16913=13。第五圖中空格應(yīng)填2247=32。(2)圖中下面一行的數(shù)都是上一行對應(yīng)數(shù)的3倍，故43下面應(yīng)填433=129；87上面應(yīng)填873=29。例5在下列表格中尋找規(guī)律，并求出“？”：解：(1)觀察每行中兩邊的數(shù)與中間的數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。(2)觀察每列中三數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)1+32=7，7+22=11，所以，？=4+52=14。例6 尋找規(guī)律填數(shù)：(1)(2)解：(1)觀察其規(guī)律知(2)觀察其規(guī)律

33、知：觀察比較圖形、圖表、數(shù)列的變化，并能從圖形、數(shù)量間的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這種能力對于同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)將大有益處。練習(xí)6尋找規(guī)律填數(shù)：6.下圖中第50個圖形是還是？答案與提示練習(xí)61.5。提示：中間數(shù)=兩腰數(shù)之和底邊數(shù)。2.45；1。提示：中間數(shù)= 周圍三數(shù)之和3。3.(1)13。提示：中間數(shù)等于兩邊數(shù)之和。(2)20。提示：每行的三個數(shù)都成等差數(shù)列。4.橫行依次為60，65，70，75，325；豎行依次為40， 65， 90， 115， 325。5.14。提示：(23 5) 2=14。6.。7. 714285；857142。8. 8888886； 98765439。9.36。提示：等于加式中心

34、數(shù)的平方。 第7講 加減法應(yīng)用題用數(shù)學(xué)方法解決人們生活和工作中的實際問題就產(chǎn)生了通常所說的“應(yīng)用題”。應(yīng)用題由已知的“條件”和未知的“問題”兩部分構(gòu)成，而且給出的已知條件應(yīng)能保證求出未知的問題。這一講主要介紹利用加、減法解答的簡單應(yīng)用題。例1 小玲家養(yǎng)了46只鴨子，24只雞，養(yǎng)的雞和鵝的總只數(shù)比養(yǎng)的鴨多5只。小玲家養(yǎng)了多少只鵝？解：將已知條件表示為下圖：表示為算式是：24+？=46+5。由此可求得養(yǎng)鵝(46+5)-24=27(只)。答：養(yǎng)鵝27只。若例1中雞和鵝的總數(shù)比鴨少5只(其它不變)，則已知條件可表示為下圖，表示為算式是：24+？+5=46。由此可求得養(yǎng)鵝46-5-24=17(只)。例2

35、 一個筐里裝著52個蘋果，另一個筐里裝著一些梨。如果從梨筐里取走18個梨，那么梨就比蘋果少12個。原來梨筐里有多少個梨？分析：根據(jù)已知條件，將各種數(shù)量關(guān)系表示為下圖。有幾種思考方法：(1)根據(jù)取走18個梨后，梨比蘋果少12個，先求出梨筐里現(xiàn)有梨52-12=40(個)，再求出原有梨(52-12)+18=58(個)。(2)根據(jù)取走18個梨后梨比蘋果少12個，我們設(shè)想“少取12個”梨，則現(xiàn)有的梨和蘋果一樣多，都是52個。這樣就可先求出原有梨比蘋果多18-126(個)，再求出原有梨52+(18-12)=58(個)。(3)根據(jù)取走18個梨后梨比蘋果少12個，我們設(shè)想不取走梨，只在蘋果筐里加入18個蘋果，

36、這時有蘋果52+18=70(個)。這樣一來，現(xiàn)有蘋果就比原來的梨多了12個(見下圖)。由此可求出原有梨(52+18)-12=58(個)。由上面三種不同角度的分析，得到如下三種解法。解法 1：(52-12)+18=58(個)。解法 2：52+(18-12)=58(個)。解法 3：(52+18)-12=58(個)。答：原來梨筐中有58個梨。例3 某校三年級一班為歡迎“手拉手”小朋友們的到來，買了若干糖果。已知水果糖比小白兔軟糖多15塊，巧克力糖比水果糖多28塊。又知巧克力糖的塊數(shù)恰好是小白兔軟糖塊數(shù)的2倍。三年級一班共買了多少塊糖果？分析與解：只要求出某一種糖的塊數(shù)，就可以根據(jù)已知條件得到其它兩種

37、糖的塊數(shù)，總共買多少就可求出。先求出哪一種糖的塊數(shù)最簡便呢？我們先把已知條件表示為下圖。由上圖可求出，小白兔軟糖塊數(shù)=15+28=43(塊)，水果糖塊數(shù)=43+15=58(塊)，巧克力糖塊數(shù)=432=86(塊)。糖果總數(shù)=43+58+86=187(塊)。答:共買了187塊糖果。例4 一口枯井深230厘米，一只蝸牛要從井底爬到井口處。它每天白天向上爬110厘米，而夜晚卻要向下滑70厘米。這只蝸牛哪一個白天才能爬出井口？分析與解：因蝸牛最后一個白天要向上爬110厘米，井深230厘米減去這110厘米后(等于120厘米)，就是蝸牛前幾天一共要向上爬的路程。因為蝸牛白天向上爬110厘米，而夜晚又向下滑7

38、0厘米，所以它每天向上爬110-70=40(厘米)。由于12040=3，所以，120厘米是蝸牛前3天一共爬的。故第4個白天蝸牛才能爬到井口。若將例4中枯井深改為240厘米，其它數(shù)字不變，這只蝸牛在哪個白天才能爬出井口？(第5個白天)練習(xí)71.甲、乙、丙三人原各有桃子若干個。甲給乙2個，乙給丙3個，丙又給甲5個后，三人都有桃子9個。甲、乙、丙三人原來各有桃子多少個？2.三座橋，第一座長287米，第二座比第一座長85米，第三座比第一座與第二座的總長短142米。第三座橋長多少米？3.(1)幼兒園小班有巧克力糖40塊，還有一些奶糖。分給小朋友奶糖24塊后，奶糖就比巧克力糖少了10塊。原有奶糖多少塊？(

39、2)幼兒園中班有巧克力糖48塊，還有一些奶糖。分給小朋友奶糖26塊后，奶糖就只比巧克力糖多18塊。原有奶糖多少塊？4.一桶柴油連桶稱重120千克，用去一半柴油后，連桶稱還重65千克。這桶里有多少千克柴油？空桶重多少？5.一只蝸牛從一個枯水井底面向井口處爬，白天向上爬110厘米，而夜晚向下滑40厘米，第5天白天結(jié)束時，蝸牛到達井口處。這個枯水井有多深？若第5天白天爬到井口處，這口井至少有多少厘米深？(厘米以下的長度不計)6.在一條直線上，A點在B點的左邊20毫米處，C點在D點左邊50毫米處，D點在B點右邊40毫米處。寫出這四點從左到右的次序。7.(1)五個不同的數(shù)的和為172，這些數(shù)中最小的數(shù)為

40、32，最大的數(shù)可以是多少？(2)六個不同的數(shù)的和為356，這些數(shù)中，最大的是68，最小的數(shù)可以是多少？答案與提示練習(xí)71.甲6個，乙10個，丙11個。2.517米。解：287(287 85)- 142= 517(米)。3.(1)54塊；(2)92塊。解： (1)40- 10 24= 54(塊)；(2)481826=92(塊)。4.110千克，10千克。解：柴油=(1265) 2 110(千克)，空桶=120-110=10(千克)。5.390厘米；321厘米。解：(110-40) 4110=390(厘米)；(110-40) 3 1101=321(厘米)。6.A，C，B，D。解：如右圖所示。7.(

41、1)38；(2)26。解： (1) 172- (32 33 34 35) 38；(2)356-(68 67 66 65 64) 26第8講 乘除法應(yīng)用題本講向同學(xué)們介紹如何利用乘、除法解答簡單應(yīng)用題。用乘、除法解應(yīng)用題，首先要明確下面幾個關(guān)系，然后根據(jù)應(yīng)用題中的已知條件，利用這些數(shù)量關(guān)系求解。被乘數(shù)乘數(shù)=乘積，相同數(shù)個數(shù)=總數(shù)，小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)，被除數(shù)除數(shù)=商，被除數(shù)商=除數(shù)，被除數(shù)除數(shù)=(不完全)商余數(shù)。例1學(xué)校開運動會，三年級有86人報名參加單項比賽，其他年級參加單項比賽的人數(shù)是三年級的4倍少5人。全校參加單項比賽的人數(shù)有多少人？分析：先求出其他年級參賽人數(shù)，864-5339(人)，再加上三

42、年級參賽人數(shù)，就可求出全校參賽人數(shù)。解：(864-5)86425(人)。答：全校參賽425人。本題中全校參賽人數(shù)也可以看成是三年級參賽人數(shù)的5倍少5人，所以可列式為865-5425(人)。例2有5只猴子，其中2只各摘了7個桃子，另外3只各摘了12個桃子。把所有摘下的桃子平均分給這5只猴子，每只猴子能分到多少個桃子？解：共摘桃子7212350(個)，平均每只猴可分50510(個)。綜合算式(72123)510(個)。答：每只猴子能分到10個桃。例3小白兔上山采摘了許多蘑菇。它把這些蘑菇先平均分成4堆，3堆送給它的小朋友，自己留一堆。后來它又把留下的這一堆平均分成3堆，兩堆送給別的小白兔，一堆自己

43、吃。自己吃的這一堆有5個。它共采摘了多少個蘑菇？分析：我們從后向前分析。當(dāng)分成3堆時，共有5315(個)，這是分成4堆時每一堆的個數(shù)。所以，分成4堆時，共有15460(個)。解：(53)4154=60(個)。答：共摘了60個蘑菇。例4小雨到奶奶家。如果來回都乘車，那么路上要用20分鐘。如果去時乘車，回來時步行，那么一共要用50分鐘。小雨步行回來用多少時間？分析：來回都乘車用20分，所以乘車單程所用的時間是202=10(分)。去時乘車回來時步行共用50分，減掉去時乘車用的10分，回來時步行用了50-1040(分)。解：50-202=40(分)。答：步行回來用40分鐘。例5師徒二人加工同樣的機器零

44、件。師傅加工的個數(shù)是徒弟的4倍，其個數(shù)比徒弟多54個。師徒二人這天各加工了多少個零件？分析：如下圖所示，把徒弟加工的個數(shù)看成“1份”，師傅加工的就是“4份”，因而師傅比徒弟多(4-1)份。由上圖可求得1份為54(4-1)=18(個)，由此可求出師徒二人各加工了多少個零件。解：徒弟加工了54(4-1)=18(個)，師傅加工了18472(個)。答：徒弟加工了18個，師傅加工了72個。解這類題的關(guān)鍵是分析出“54”是如何多出來的，即弄明白用“倍數(shù)-1”來除它，所得的數(shù)代表什么。例6工廠裝配四輪推車，1個車身要配4個車輪。現(xiàn)在有40個車身，70個車輪。問：裝配出多少輛四輪推車后，剩下的車身和車輪的數(shù)量

45、相等？分析：1個車身配4個車輪，即每裝配出一輛四輪推車，用的車輪數(shù)比車身數(shù)多4-1=3(個)?，F(xiàn)在車輪比車身多70-4030(個)，要把這30個車輪“消耗掉”，需裝配30310(輛)四輪車。解：(70-40)(4-1)10(輛)。答：需裝配出10輛四輪推車。練習(xí)81.某項工作3人做需要3個星期又3天，中間無休息日，那么，1人單獨做這項工作需要多少天？2.賀林家養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的只數(shù)的6倍，鴨比鵝多8只，鴨有15只。賀林家養(yǎng)了多少只雞？3.小敏買了一本書和一包糖。買一本書用了3元6角，買糖用的錢數(shù)是買書所用錢數(shù)的5倍。她帶去的50元錢還剩多少？4.小峰去老師家看望老師。如果往返都騎自行車，那么在路

46、上要用1時20分。如果去時騎自行車，回來時步行，那么一共要用2時30分。小峰步行回來用多少時間？5.4元錢能買西瓜8千克，10元錢能買多少西瓜？6.小蘭有24本書，小玲有18本書。小蘭要給小玲幾本書，兩人的書才一樣多？7.小紅與小光買拼音本。小紅買了12本，小光買了8本。小紅比小光多用2元4角錢。每本多少錢？8.甲、乙兩輛汽車分別從同一車站出發(fā)，沿相反方向開去，3時共行360千米。甲的速度是乙的速度的2倍。甲、乙的速度各是多少？9.甲、乙兩個糧庫共存糧150噸。甲庫運出40噸，乙?guī)爝\入10噸，這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍。甲、乙糧庫原來存糧各多少？答案與提示練習(xí)81.72天。解：3(733)=

47、32472(天)。2.42只。解：(15-8)642(只)。3.28元4角。解： 50036365284(角)28元4角，或50036(51)284(角)28元4角。4.1時50分。解：(60230)(6020)2110(分)1時50分。5.20千克。解：(84)10=20(千克)。6.3本。解：(24-18)2=3(本)。7.6角。解：24(12-8)=6(角)。8.甲80千米/時，乙40千米/時。解：乙3603(21)=40(千米/時)，甲402=80(千米/時)。9.甲120噸，乙30噸。解：乙?guī)煸?150-4010)(21)-1030(噸)，甲庫原有150-30=120(噸)。 第9

48、講 平均數(shù)把一個(總)數(shù)平均分成幾個相等的數(shù)，相等的數(shù)的數(shù)值就叫做這個(總)數(shù)的平均數(shù)。例如，24平均分成四個數(shù)：6，6，6，6，數(shù)6就叫做24分成四份的平均數(shù)。又如，24平均分成六個數(shù)：4，4，4，4，4，4，數(shù)4就叫做24分成六份的平均數(shù)。由此可見，平均數(shù)是相對于“總數(shù)”和分成的“份數(shù)”而言的。知道了被均分的“總數(shù)”和均分的“份數(shù)”，就可以求出平均數(shù)：總數(shù)份數(shù)=平均數(shù)。“平均數(shù)”這個數(shù)學(xué)概念在我們的日常生活和工作中經(jīng)常用到。例如，某次考試全班同學(xué)的“平均成績”，幾件貨物的“平均重量”，某輛汽車行駛某段路程的“平均速度”等等，都是我們經(jīng)常碰到的求平均數(shù)的問題。根據(jù)求平均數(shù)的一般公式可以得到它

49、們的計算方法：全班同學(xué)的總成績?nèi)嗤瑢W(xué)人數(shù)=平均成績，幾件貨物的總重量貨物件數(shù)=平均重量，一輛汽車行駛的路程所用的時間=平均速度。我們在上一講的例2中，已經(jīng)接觸到求平均數(shù)的應(yīng)用題，下面再舉一些例子來說明有關(guān)平均數(shù)應(yīng)用問題的解法。例1一小組六個同學(xué)在某次數(shù)學(xué)考試中，分別為98分、87分、93分、86分、88分、94分。他們的平均成績是多少？解：總成績=988793868894546(分)。這個小組有6個同學(xué)，平均成績是546691(分)。答：平均成績是91分。例2把40千克蘋果和80千克梨裝在6個筐內(nèi)(可以混裝)，使每個筐裝的重量一樣。每筐應(yīng)裝多少千克？解：蘋果和梨的總重量為4080120(千克

50、)。因要裝成6筐，所以，每筐平均應(yīng)裝120620(千克)。答：每筐應(yīng)裝20千克。例3小明家先后買了兩批小豬，養(yǎng)到今年10月。第一批的3頭每頭重66千克，第二批的5頭每頭重42千克。小明家養(yǎng)的豬平均多重？解：兩批豬的總重量為663425408(千克)。兩批豬的頭數(shù)為358(頭)，故平均每頭豬重408851(千克)。答：平均每頭豬重51千克。注意，在上例中不能這樣來求每頭豬的平均重量：(6642)254(千克)。上式求出的是兩批豬的“平均重量的平均數(shù)”，而不是(35)8頭豬的平均重量。這是剛接觸平均數(shù)的同學(xué)最容易犯的錯誤！例4一個學(xué)生為了培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)解題能力，除了認真讀一些書外，還規(guī)定自己每周(一周為7天)平均每天做4道數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題。星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六兩天共做了13道。那么，星期日要做幾道題才能達到自己規(guī)定的要求？分析：要先求出每周規(guī)定做的題目總數(shù)，然后求出星期一至星期六已做的題目數(shù)。兩者相減就是星期日要完成的題目數(shù)。每周要完成的題目總數(shù)是47=28(道)。星期一至星期六已做題目331322(道)，所以，星期日要完成28-