第三章 環(huán)與域.doc

1、第三章 環(huán)與域與群一樣，環(huán)與域也是兩個(gè)重要的代數(shù)系統(tǒng)。但我們?cè)缭诟叩却鷶?shù)課程里就已經(jīng)接觸過(guò)它們了，在哪里，我們有數(shù)環(huán)和數(shù)域的概念，它們實(shí)際上就是特殊的環(huán)與域。在本章里，我們只是介紹環(huán)與域的最基本的性質(zhì)及幾類最重要的環(huán)與域，通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，將使得我們一方面對(duì)數(shù)環(huán)和數(shù)域有更清楚的了解，另一方面也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究代數(shù)學(xué)打下必備的基礎(chǔ)。1 加群、環(huán)的定義一、加群在環(huán)的概念里要用到加群的概念，因此要先介紹一下什么是加群，實(shí)際上加群也不是什么新的群，在習(xí)慣上，抽象群的代數(shù)運(yùn)算，都是用乘法的符號(hào)來(lái)表示的，但我們知道，一個(gè)代數(shù)運(yùn)算用什么符號(hào)表示是沒(méi)有什么關(guān)系的，對(duì)于一個(gè)交換群來(lái)說(shuō)，它的代數(shù)運(yùn)算在某種場(chǎng)合下，用

2、加法的符號(hào)來(lái)表示更加方便。因此，我們通常所說(shuō)的加群，是指用加法符號(hào)表示代數(shù)運(yùn)算的交換群。由于加法符號(hào)與乘法符號(hào)有所不同，所以加群的許多運(yùn)算規(guī)則與表示形式就要與乘法表示的群有所不同。如：（1）加群的單位元用0表示，叫做零元。即，有。（2）加群的元素的逆元用表示，叫做的負(fù)元。即有。利用負(fù)元可定義加群的減法運(yùn)算：。（3）。（4）。（5）（6），且有請(qǐng)同學(xué)們?cè)诔朔ㄈ褐袑懗鲆陨细鹘Y(jié)論的相應(yīng)結(jié)論。加群的一個(gè)非空子集作成一個(gè)子群，有，有。加群的子群的陪集表示為：。二、環(huán)的定義設(shè)是一個(gè)非空集合，“+”與“?！笔莾蓚€(gè)代數(shù)運(yùn)算，分別叫做加法與乘法，若1. 對(duì)于“+”作成一個(gè)加群。2. 對(duì)于“?！笔欠忾]的。3. ，

3、有，即乘法適合結(jié)合律。4. ，有，即乘法對(duì)加法適合左（右）分配律。則稱關(guān)于“+”與“?！弊鞒梢粋€(gè)環(huán)。由定義可知，環(huán)是一個(gè)具有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)，兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算通過(guò)分配律聯(lián)系起來(lái)。例1 整數(shù)集合，有理數(shù)集合，實(shí)數(shù)集合，復(fù)數(shù)集合對(duì)于普通數(shù)的加法和乘法作成環(huán)。分別叫做整數(shù)環(huán)，有理數(shù)環(huán)，實(shí)數(shù)環(huán)，復(fù)數(shù)環(huán)。例2 數(shù)域上所有階方陣作成的集合關(guān)于矩陣的加法和乘法作成環(huán)。例3 關(guān)于普通數(shù)的加法和乘法作成環(huán)，叫做偶數(shù)環(huán)。問(wèn)：奇數(shù)集合關(guān)于普通數(shù)的加法和乘法是否作成環(huán)？答：否。因?yàn)殛P(guān)于加法不構(gòu)成加群。由于一個(gè)環(huán)也是一個(gè)加群，所以上面關(guān)于加群的性質(zhì)與運(yùn)算規(guī)則（1）到（6）在環(huán)里也都成立。此外，環(huán)還有下列基本性質(zhì)：（7

4、）證明：由兩個(gè)分配律以及負(fù)元的定義，有再由（4）得，。（8）證明：（9）證明：因?yàn)樗?。?0）證明：（11） 證明略（12）即。證明略（13）證明略（14）定義：（是正整數(shù)），并稱為的次乘方（簡(jiǎn)稱次方或次冪）。對(duì)任意正整數(shù)有證明略由以上（1）-（14）各條可看出，中學(xué)代數(shù)的計(jì)算法則在一個(gè)環(huán)里差不多都可適用，但還是有少數(shù)幾個(gè)普通計(jì)算法則在一個(gè)環(huán)里不一定成立，這一點(diǎn)我們將在下一節(jié)討論。2 交換律、單位元、零因子、整環(huán)前面說(shuō)過(guò)，普通的運(yùn)算法則大多數(shù)在環(huán)里也是成立的，但還是有些法則不一定成立，例如，數(shù)域上所有階方陣集合關(guān)于矩陣的加法和乘法可驗(yàn)證作成一個(gè)環(huán)，但我們知道矩陣的乘法是不滿交換律與消去律的。

5、由于環(huán)的定義中對(duì)乘法的要求只有適合結(jié)合律一條，所以在環(huán)中對(duì)乘法的運(yùn)算往往需要附加一定的條件，由此產(chǎn)生各種類型的環(huán)。1、交換律因?yàn)樵诃h(huán)的定義里沒(méi)有要求乘法適合交換律，所以在環(huán)里對(duì)，未必有。如矩陣環(huán)就不適合交換律，當(dāng)然也有適合交換律的環(huán)，如整數(shù)環(huán)。若環(huán)的乘法適合交換律（即，有），則稱環(huán)為交換環(huán)。當(dāng)環(huán)是交換環(huán)時(shí)，有例 若環(huán)的每一個(gè)元素都適合，則稱是布爾環(huán)。證明，布爾環(huán)是交換環(huán)。證明：，有，于是有，即，即，所以，故布爾環(huán)是交換環(huán)。2、單位元在群論里。我們已經(jīng)看到了單位元的重要性。在環(huán)的定義里，沒(méi)有要求一個(gè)環(huán)要有一個(gè)對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)的單位元，但一個(gè)環(huán)如果有這樣一個(gè)元，我們可以想象這個(gè)元也會(huì)占有一個(gè)很重要的地

6、位。事實(shí)上，有些環(huán)確實(shí)有單位元，如：整數(shù)環(huán)就有乘法單位元1；數(shù)域上階方陣環(huán)也有乘法單位元，即單位矩陣。但并不是所有環(huán)都有單位元，如偶數(shù)環(huán)就沒(méi)有乘法單位元。若環(huán)存在元素，使得，有，則稱是的單位元。此時(shí)環(huán)也叫做有單位元環(huán)。一般地，一個(gè)環(huán)未必有單位元。但如果有的話，一定是唯一的。因?yàn)?，若都是環(huán)的單位元，則。例1（）在一個(gè)有單位元的環(huán)里，這個(gè)唯一的單位元習(xí)慣上常用1來(lái)表示。注意，這里的1不是普通的整數(shù)1.在有單位元的環(huán)里，和群一樣，規(guī)定。設(shè)是有單位元1的環(huán)，若，則稱是可逆元，是的一個(gè)逆元。在有單位元的環(huán)里，未必每個(gè)元素都有逆元，如整數(shù)環(huán)是一個(gè)有單位元的環(huán)，但除了外，其它的整數(shù)都沒(méi)有逆元。又如在矩陣環(huán)中

7、非可逆矩陣就沒(méi)有逆元。但是如果有逆元，則其逆元是唯一的。因?yàn)?，若有兩個(gè)逆元和，則。當(dāng)是可逆元時(shí)，其唯一的逆元記作。并規(guī)定 （是正整數(shù)）這樣規(guī)定以后，當(dāng)是可逆元時(shí)公式對(duì)任何整數(shù)都成立。3、零因子前面在討論環(huán)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，曾有結(jié)論，即當(dāng)環(huán)中的兩個(gè)元素中有一個(gè)是零元時(shí)，。那么，反過(guò)來(lái)當(dāng)時(shí)，是否也有或呢？結(jié)論是在一般的環(huán)里是不成立的。例2（） 在模剩余類集合中，我們?cè)诘谝徽露x了加法和乘法：并在第二章證明了關(guān)于加法構(gòu)成加群。又因?yàn)?所以關(guān)于剩余類的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)。這個(gè)環(huán)叫做模剩余類環(huán)，它有單位元。當(dāng)不是素?cái)?shù)時(shí)，則，于是在中，而，這里是的零元素。定義 若環(huán)中兩個(gè)非零元，使得，則稱是環(huán)的左零因子，是

8、環(huán)的右零因子。注：左，右零因子統(tǒng)稱零因子。若是交換環(huán)，則它的一個(gè)左零因子也是右零因子，反之也一樣。但在非交換環(huán)中，一個(gè)左零因子未必是右零因子，同樣一個(gè)右零因子也未必是左零因子。另外，未必每一個(gè)環(huán)都有零因子，例如整數(shù)環(huán)就沒(méi)有零因子。顯然，由可推出或當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)沒(méi)有零因子。例3 設(shè)，則不是零因子。證明：（）因?yàn)椋源嬖?，使得。，若，則由，有，所以不是零因子。（）若，則且，所以是中非零元，但與不是零因子矛盾，所以，即。例4（）定理 若環(huán)沒(méi)有零因子，則（左消去律）（右消去律）成立。反之，若環(huán)里有一個(gè)消去律成立，則環(huán)沒(méi)有零因子。證明：若環(huán)沒(méi)有零因子，則由有于是，從而。同樣可證右消去律成立。若在環(huán)里左消去

9、律成立，則當(dāng)時(shí)，由及，有，故環(huán)沒(méi)有零因子。同理可證右消去律成立時(shí)，也沒(méi)有零因子。推論 在環(huán)中，只要有一個(gè)消去律成立，那么兩個(gè)消去律就都成立。4、整環(huán)以上我們給出了一個(gè)環(huán)的乘法運(yùn)算可能適合的三個(gè)附加條件：交換律，單位元，零因子。一個(gè)環(huán)當(dāng)然可以同時(shí)適合一個(gè)以上的附加條件，同時(shí)適合以上三個(gè)附加條件的環(huán)特別重要。定義 若環(huán)適合以下條件：1.乘法適合交換律（即）；2. 有單位元1（即）；3. 沒(méi)有零因子（即）。則稱是一個(gè)整環(huán)。即，有單位元無(wú)零因子的交換環(huán)叫做整環(huán)。例如，整數(shù)環(huán)是整環(huán)。P89、5.證明 ，顯然是非空集合。，有，即對(duì)加法封閉。 即加法適合結(jié)合律。存在，使得所以0是的零元。，所以的負(fù)元是，即。

10、，即加法適合交換律。由可知，關(guān)于加法構(gòu)成群。，即對(duì)乘法封閉。 即乘法適合結(jié)合律。 即乘法對(duì)加法適合分配律。由可知，關(guān)于加法和乘法構(gòu)成環(huán)。因?yàn)?，所以是交換環(huán)。是的單位元。若，則。故是整環(huán)。3 除環(huán)、域在上一節(jié)，我們對(duì)環(huán)的乘法運(yùn)算附加了一些條件后就產(chǎn)生了一些特殊的環(huán)，如：交換環(huán)，有單位元環(huán)，無(wú)零因子環(huán)，整環(huán)等。在本節(jié)將進(jìn)一步討論特殊的環(huán)，介紹兩類重要的特殊環(huán)：除環(huán)與域。由上一節(jié)知識(shí)可知在一個(gè)有單位元1的環(huán)里，可以討論元素的逆元問(wèn)題，即當(dāng)時(shí)，稱是可逆元，是的逆元。而且當(dāng)可逆時(shí)其逆元是唯一的，記作。那么對(duì)于有單位元的環(huán)，其中的元素是否都有逆元呢？，為此我們先看下面兩個(gè)例子。例1（P90）例2（P91）

11、由例1知，當(dāng)一個(gè)有單位元環(huán)至少有一個(gè)非零元時(shí)，零元一定沒(méi)有逆元。而由例2知，有的有單位元環(huán)其每個(gè)非零元都有逆元，但有的有單位元環(huán)則未必每個(gè)非零元都有逆元，例如，是有單位元環(huán)，但中并非每個(gè)非零元都有逆元。于是有如下概念。定義 設(shè)是一個(gè)環(huán)，若1、含有非零元；2、有單位元1；3、的每個(gè)非零元都有逆元（即，當(dāng)時(shí)，存在，使得）。則稱是除環(huán)。由此定義及例2知，有理數(shù)環(huán)、實(shí)數(shù)環(huán)、復(fù)數(shù)環(huán)都是除環(huán)，但整數(shù)環(huán)不是除環(huán)。除環(huán)有如下性質(zhì)：（1）除環(huán)沒(méi)有零因子。事實(shí)上，設(shè)是除環(huán)，對(duì)，若有，則，從而，同理若有，則。故的非零元都不是零因子，即無(wú)零因子。由此可知，除環(huán)是無(wú)零因子環(huán)，但是無(wú)零因子環(huán)未必是除環(huán)，如，整數(shù)環(huán)是無(wú)零因

12、子環(huán)，但不是整環(huán)。（2）除環(huán)中非零元集合，關(guān)于除環(huán)的乘法構(gòu)成群。事實(shí)上，設(shè)是除環(huán)，則、由（1）知對(duì)的乘法封閉；、由環(huán)的定義知，乘法適合結(jié)合律；、的單位元1就是的單位元；、由除環(huán)的定義知，中每個(gè)元素都有逆元。故關(guān)于的乘法構(gòu)成群。叫做除環(huán)的乘群。這樣，一個(gè)除環(huán)是由兩個(gè)群：加群與乘群湊合而成的，分配律就像是一座橋，使得這兩個(gè)群之間發(fā)生一種聯(lián)系。由（1）、（2）知，在一個(gè)除環(huán)里，方程和（）各有一個(gè)唯一的解：和。這兩個(gè)解分別叫做用從左邊和右邊去除，這就是除環(huán)這個(gè)名字的來(lái)源。要注意的是，一般地有（因?yàn)槌h(huán)里的乘法不適合交換律）。定義 交換的除環(huán)叫做域。由此可見(jiàn)，域是特殊的環(huán)。所以除環(huán)的性質(zhì)對(duì)域也成立，但反

13、之則未必。由于在域里有，所以我們用來(lái)表示這兩個(gè)相等的元素，即，這時(shí)我們就可以得到普通運(yùn)算法則。設(shè)是一個(gè)域，則對(duì)，有（1）（2）（3）證明 （1）若，則，從而，于是。反之，若，則，因而，即。（2）因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗岳?（P92）到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)把幾種最常見(jiàn)的適合乘法附加條件的環(huán)，都稍微做了介紹，為了能夠把它們的隸屬關(guān)系看得更清楚些，我們做了一個(gè)表，詳見(jiàn)P93。例4 模剩余類環(huán)是域是素?cái)?shù)。證明 （）由第二節(jié)知，是有單位元的交換環(huán)，因此要證是域，只需證中非零元都可逆即可。，則，因?yàn)槭撬財(cái)?shù)，所以有，于是存在，使得，從而有即是的逆元，所以的每個(gè)非零元均可逆，故是域。 （）若不是素?cái)?shù)，則有，從而有

14、，但，于是是的零因子，這與是域無(wú)零因子矛盾。故是素?cái)?shù)。4 無(wú)零因子環(huán)的特征在前面各節(jié)，我們看到了在各種環(huán)里哪些普通計(jì)算規(guī)則是可以適用的。有一種普通計(jì)算規(guī)則不但在一般環(huán)里，就是在適合條件比較強(qiáng)的環(huán)域里面也不一定能夠適用，這規(guī)則就是：時(shí)，未必有 (1)例1 在域（是素?cái)?shù)）里，有，但那么，（1）之所以不一定成立的原因在哪里呢？設(shè)是一個(gè)環(huán)，我們知道的元素對(duì)于加法來(lái)說(shuō)構(gòu)成一個(gè)加群，在這個(gè)加群里每一個(gè)元素都有一個(gè)階，由階的定義可知，的元素在加群里的階若是無(wú)限的，那么不管是哪一個(gè)整數(shù)，都有；若的階是一個(gè)有限數(shù)，就有。即對(duì)的一個(gè)不等于零的元素來(lái)說(shuō)，（1）式能不能成立，完全由在加群里的階是無(wú)限還是有限來(lái)決定的，

15、的階無(wú)限時(shí)（1）式成立，的階有限時(shí)（1）不成立。在一個(gè)環(huán)可能某一個(gè)不等于零的元素對(duì)于加法來(lái)說(shuō)的階是無(wú)限的，而另一個(gè)不等于零的元素的階卻是有限的。例2（P95）可見(jiàn)，在一個(gè)一般環(huán)里，（1）這個(gè)計(jì)算規(guī)則可能對(duì)于某一個(gè)元素來(lái)說(shuō)成立，對(duì)于另一個(gè)元素來(lái)說(shuō)又不成立。但在一個(gè)沒(méi)有零因子的環(huán)里情形就不同了。定理1 在一個(gè)沒(méi)有零因子的環(huán)里，所有不等于零的元素，對(duì)于加法來(lái)說(shuō)的階都是一樣的。證明 若的每一個(gè)不等于零的元素，對(duì)于加法的階都是無(wú)限的，那么定理1成立。假定的某一個(gè)不等于零的元素對(duì)于加法的階是有限整數(shù)。，則由及是無(wú)零因子環(huán)可得，所以，同理可證，故。所以的所有不等于零的元素，對(duì)于加法來(lái)說(shuō)的階都是一樣的。定義

16、一個(gè)無(wú)零因子環(huán)的非零元素對(duì)于加法的相同階，叫做無(wú)零因子環(huán)的特征。這樣，一個(gè)無(wú)零因子環(huán)的特征如果是無(wú)限的，那么里計(jì)算規(guī)則（1）永遠(yuǎn)是對(duì)的；的特征如果是有限整數(shù)，這個(gè)計(jì)算規(guī)則就永遠(yuǎn)不對(duì)。定理2 若無(wú)零因子環(huán)的特征是有限整數(shù)，則是素?cái)?shù)。證明 若不少素?cái)?shù)，則，于是，有，但這與是無(wú)零因子環(huán)矛盾，故是素?cái)?shù)。推論 整環(huán)、除環(huán)、域的特征或是無(wú)限大，或是一個(gè)素?cái)?shù)。若是特征為的無(wú)零因子的交還環(huán)，則，有事實(shí)上，因?yàn)槎堑谋稊?shù)，因而，所以。P97、2證明 ，則，于是，即。若，則，于是，從而，這與已知條件矛盾，故3. 證明 令。則，因?yàn)楹投己突ニ?，所以也和互素，于是，即?duì)剩余類乘法封閉。剩余類乘法適合結(jié)合律。有知，即有

17、單位元。，由知，存在使得，于是，但，所以，即。由可知，因此，即。故構(gòu)成群。4. 證明 在上題中群的階是，而，因此，故。注：表示小于且與互素的正整數(shù)個(gè)數(shù)。如, 5 子環(huán)，環(huán)的同態(tài)定義 設(shè)是一個(gè)環(huán)，是的非空子集，若對(duì)于的代數(shù)運(yùn)算也構(gòu)成環(huán)，則稱是的一個(gè)子環(huán)。若是整環(huán)、除環(huán)、域，對(duì)的運(yùn)算也構(gòu)成整環(huán)、除環(huán)、域，則稱是的子整環(huán)、子除環(huán)、子域。設(shè)環(huán)的非空子集，則是子環(huán)，有。是子除環(huán)含有非零元，且，有及。子環(huán)關(guān)于加法是環(huán)加群的子加群，所以子環(huán)的零元就是環(huán)的零元，故所有的子環(huán)都有一個(gè)公共元素零元。例1（P98） 每個(gè)環(huán)都有兩個(gè)子環(huán)，即與0，這兩個(gè)子環(huán)叫做平凡子環(huán)。例2（P98） 集合是環(huán)的交換子環(huán)，這個(gè)交換子環(huán)

18、叫做環(huán)的中心。（習(xí)題1）注;1非交還環(huán)的子環(huán)可能是交還環(huán)。如，例2。2一般環(huán)的子環(huán)可能是整環(huán)、除環(huán)或域。3有單位元環(huán)的子環(huán)未必有單位元。如，整數(shù)環(huán)是有單位元的環(huán)，但它的子環(huán)就沒(méi)有單位元。設(shè)是一個(gè)環(huán)，是一個(gè)非空集合，有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算：加法與乘法。由第一章8定理1、定理2及第二章4定理1可得下面定理。定理1 若存在一個(gè)到的滿射，使得與對(duì)于一對(duì)加法及一對(duì)乘法來(lái)說(shuō)都同態(tài)，那么也是一個(gè)環(huán)。事實(shí)上，記的兩個(gè)運(yùn)算為：+與，的兩個(gè)運(yùn)算為：與，是到的滿射，且對(duì)于+與以及與同態(tài)。則由第二章4定理1知關(guān)于加法構(gòu)成加群，由第一章8定理1、定理2知適合結(jié)合律，對(duì)適合兩個(gè)分配律，故構(gòu)成環(huán)。同群一樣，若說(shuō)兩個(gè)環(huán)與同態(tài)（同構(gòu)）

19、，意思永遠(yuǎn)是存在一個(gè)到的滿射（一一映射），使得與對(duì)于加法與乘法來(lái)說(shuō)都同態(tài)（同構(gòu)）。定理2 設(shè)和是兩個(gè)環(huán)，是到的同態(tài)滿射，則（1）；（2）；（3）當(dāng)是交換環(huán)時(shí)，也是交換環(huán)；（4）當(dāng)有單位元1時(shí)，也有單位元。注：同態(tài)滿射不保持零因子這一性質(zhì)，即當(dāng)無(wú)零因子時(shí)，可能有零因子。反之，當(dāng)無(wú)零因子時(shí)， 可能有零因子。例3（P98）：沒(méi)有零因子時(shí)，與同態(tài)的可以有。例4（P99）：有零因子時(shí)，與同態(tài)的可以沒(méi)有。當(dāng)與之間有一個(gè)同構(gòu)映射時(shí)，這兩個(gè)環(huán)的代數(shù)性質(zhì)就沒(méi)有什么區(qū)別了。定理3 設(shè)與是兩個(gè)環(huán)，且，則是整環(huán)、除環(huán)、域是整環(huán)、除環(huán)、域。引理 設(shè)在集合與之間存在一個(gè)雙射，且有加法和乘法，則可以替規(guī)定加法和乘法，使得與

20、對(duì)于一對(duì)加法和一對(duì)乘法來(lái)說(shuō)都同構(gòu)。證明 ，存在唯一，使得，。規(guī)定則這樣規(guī)定的法則是的加法與乘法。因?yàn)閷?duì)，可找到唯一，從而找到唯一的以及唯一的。顯然，對(duì)于一對(duì)加法和一對(duì)乘法都是同構(gòu)映射。定理4 設(shè)是環(huán)的一個(gè)子環(huán)，另一個(gè)環(huán)沒(méi)有共同元素，并且。則存在一個(gè)與同構(gòu)的環(huán)，而且是子環(huán)。設(shè)是與間的同構(gòu)映射，令，規(guī)定則 且由唯一確定，所以是到的映射。，若，則存在，使得，從而有。若，則，于是，取，有，所以是滿射。，當(dāng)時(shí)，1）若，則，從而。2）若，則。3）若，則。如果，則但，于是與已知矛盾，所以，即。4）若，則同樣有。由此可見(jiàn)，是單射。由引理，可以替規(guī)定如下的加法和乘法：使得。由的構(gòu)造知，。原來(lái)有加法和乘法而且構(gòu)成

21、一個(gè)環(huán)，但還不能說(shuō)就是的子環(huán)，因?yàn)槭堑淖迎h(huán)的意思是：對(duì)的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)構(gòu)成一個(gè)環(huán)，所以還需要證明的運(yùn)算與的運(yùn)算是一致的。由的運(yùn)算定義可知，存在，使得，于是（這里是的加法）。因?yàn)槭亲迎h(huán)，所以，故這說(shuō)明了的加法與的加法一致，同理可證的乘法與的乘法一致，所以是的子環(huán)。P101、3. 證明 （1）因?yàn)?，所以是的子域。?）因?yàn)?，但，所以是的真子域。?）設(shè)是的真子域，則存在，所以，于是有，從而有。若，則存在，于是，從而有，由此可得，所以，這與是的真子域矛盾，因此。故是的唯一真子域。P101、4.證明 設(shè)是的一個(gè)自同構(gòu)，則必有，于是（是非零整數(shù)），從而，因此（是有理數(shù)）。由，得。因此，的自同構(gòu)只可能是：或

22、易證，這兩個(gè)的確是的自同構(gòu)。故只有兩個(gè)自同構(gòu)。6 多項(xiàng)式環(huán)一、多項(xiàng)式設(shè)是有單位元的交還環(huán)，是的子環(huán)，且的單位元。取，則是的一個(gè)元素。定義1 中形如的元素，叫做上的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的系數(shù)。記則是的非空子集，且對(duì)任意不妨設(shè)，有其中。其中由此可見(jiàn)，對(duì)的加法和乘法封閉。又因?yàn)樗允堑淖迎h(huán)。定義2 稱為上的多項(xiàng)式環(huán)。1。2若是的子環(huán)，且則即，所以是的包含和的最小子環(huán)。3，當(dāng)不全為零時(shí)，未必有例如，時(shí)，取，則多項(xiàng)式。二、未定元多項(xiàng)式（一元多項(xiàng)式）定義3 設(shè)，若不存在不全為零的元素使得則稱是的一個(gè)未定元。1當(dāng)是的一個(gè)未定元時(shí)，若則因?yàn)槭俏炊ㄔ?，所以即。由此可?jiàn)，上未定元的多項(xiàng)式只能用一種方法寫成。2一般地，未

23、必有上未定元。如P103例題：3定理1 若是有單位元交還環(huán)，則一定存在上未定元。注：本定理是說(shuō)，一定存在一個(gè)以為子環(huán)的環(huán)，使含有上未定元。證明（略）4上未定元的多項(xiàng)式簡(jiǎn)稱為一元多項(xiàng)式，記作，而稱為上多項(xiàng)式環(huán)。 由定理1知，有單位元交還環(huán)上必存在一元多項(xiàng)式環(huán)。7 理想前面我們介紹了子環(huán)的概念，在這一節(jié)里我們要討論一種特別重要的子環(huán)，就是理想子環(huán)，這種子環(huán)在環(huán)論里的地位同不變子群在群論里的地位類似。定義 設(shè)是環(huán)的一個(gè)非空子集，若（1）；（2）。則稱是的一個(gè)理想子環(huán)，簡(jiǎn)稱理想。注：由（1）知：理想是子加群。有（2）知：理想對(duì)乘法封閉。由、知：理想是子環(huán)。由（2）知：理想所適合的條件比子環(huán)的條件要強(qiáng)一

24、點(diǎn)，所以子環(huán)未必是理想。每個(gè)環(huán)都有兩個(gè)理想：零理想與單位理想。這兩個(gè)理想也叫做平凡理想，其它理想叫做非平凡理想。定理1 除環(huán)只有平凡理想。證明 設(shè)是除環(huán)的一個(gè)理想，若，則存在，于是存在。由理想的定義得，從而，有，因而，又，故是單位理想，因此只有平凡理想。由此可見(jiàn)，在除環(huán)、域中討論理想是沒(méi)有意義的。例1（P111）是的理想。例2（P111）P1113、4. 證明 設(shè)是環(huán)的兩個(gè)理想，則有，所以，因此。，有（1）由，可得，從而。（2）由，可得。綜合（1）、（2）可知是的理想。此題的結(jié)論可推廣到任意多個(gè)理想，即若是的一族理想，則是的理想?，F(xiàn)在設(shè)是環(huán)的一個(gè)非空子集，令則（因?yàn)椋?，于是是的理想，而且它是?/p>

25、含的最小理想（因?yàn)槊總€(gè)包含的理想必屬于，于是）。我們把這個(gè)包含的最小理想叫做由生成的理想，記作。當(dāng)時(shí)，記，叫做由生成的主理想。關(guān)于主理想有下面結(jié)論：事實(shí)上：等式右邊集合中的任意兩個(gè)元素的差以及與中元素的乘積仍在這個(gè)集合中，因此它是的一個(gè)理想。因?yàn)槭抢硐?，所以從而等式右邊集合，又因?yàn)槭前淖钚±硐?，所?右邊。當(dāng)是交換環(huán)時(shí)，。當(dāng)有單位元時(shí)，。當(dāng)是有單位元的交換環(huán)時(shí)，。這樣，例1中的理想是主理想。設(shè)是的兩個(gè)非空子集，定義稱為與的和。當(dāng)是的理想時(shí)，也是的理想。事實(shí)上，因?yàn)?，所以是的非空子集。，有，于是，從而有故是的理想。?dāng)時(shí)，。事實(shí)上，是的理想；因?yàn)?，所以，于是有，從而。因?yàn)椋?，從而故。今后?/p>

26、，叫做由生成的理想。例3（P113） 若是主理想，則有，使得，于是由，有，從而是零次多項(xiàng)式，即，因而，所以是一次多項(xiàng)式，即，因此，故。這樣就有，但，產(chǎn)生矛盾，所以不是主理想。P113、3.證明 因?yàn)?，所以，因而的的理想含有，因此是主理想。注：若有單位元環(huán)的理想含有單位元1，那么一定有。P113、5.解 。若是的一個(gè)理想，則一定是加群的一個(gè)子群，但加群是循環(huán)群，所以它的子群也是循環(huán)群，因此的理想只能是下列形式的集合：，易證，都是的理想。P113、1.證明 ，有所以是的理想。P113、2.證明 由是的理想，可知，從而，于是，又顯然有，故。另證 因?yàn)榛ニ?，所以存在，使得由，得，于是，故? 剩余類環(huán)，同態(tài)與理想設(shè)是一個(gè)環(huán)，是的一個(gè)理想，于是構(gòu)成的一個(gè)子加群，從而是的不變子群，因此有商集由群論知識(shí)可知，有一個(gè)加法 （*）且關(guān)于上述加法構(gòu)成一個(gè)加群（商群）。再定義：，則當(dāng)，時(shí)，有，從而于是，所以（*）是的代數(shù)運(yùn)算，叫做乘法。令，則顯然，且當(dāng)時(shí)，有，于是有，即，故是到的映射。，存在，使得，所以是滿射。因?yàn)樗允堑降耐瑧B(tài)滿射。于是有定理1 若是環(huán)的一個(gè)理想，則關(guān)于商集的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)，這個(gè)環(huán)叫做的模剩余類環(huán)（商環(huán)）。定理2（環(huán)同態(tài)基本定理） 設(shè)是兩個(gè)環(huán)，是到的同態(tài)滿射，則（1）是的理想；（2）。證明 （1）因?yàn)?，所以，于是是的非空子集。，則，于是所以，故是的