專題13立體幾何中的向量方法(易錯(cuò)起源)-高考數(shù)學(xué)(理)備考黃金易錯(cuò)點(diǎn)Word版含解析

1、最新 料推薦專題 13 立體幾何中的向量方法1. 【 2017 課標(biāo) 1，理 18】如圖，在四棱錐中，且BAPCDP 90.P-ABCDAB/CD（ 1）證明：平面PAB平面 PAD；（ 2）若 PA=PD=AB=DC，APD90 ，求二面角A- PB- C的余弦值 .3【答案】（ 1）見解析；（ 2）.3以 F 為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A 的方向?yàn)?x 軸正方向，AB 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Fxyz .1最新 料推薦由（ 1）及已知可得 A2,0,0 ，P 0,0,2 ， B2,1,0， C2,1,0 .2222所以 PC2 ,1,2， CB2,0,0， PA2 ,0,2， AB 0

2、,1,0 .2222設(shè) n x, y, z 是平面 PCB 的法向量，則 n PC 0 ，即 222x y2 z 0 ，n CB02x0可取 n0, 1,2 .設(shè) mx, y, z是平面 PAB 的法向量，則22 m PA 0 ，即 2x2z 0 ，m AB0y0可取 n1,0,1.則 cos n, mn m3n m3，所以二面角 APBC的余弦值為3.32.【 2017 山東，理 17】如圖，幾何體是圓柱的一部分， 它是由矩形 ABCD（及其內(nèi)部） 以 AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120 得到的， G 是 DF 的中點(diǎn) .（）設(shè) P 是 CE 上的一點(diǎn)，且APBE ，求CBP 的大??；（）當(dāng)

3、AB3， AD2，求二面角E AGC 的大小 .2最新 料推薦【答案】（）CBP30 . （） 60 .【解析】（）因?yàn)锳PBE ，ABBE ，AB ，AP平面 ABP ，ABAPA ，所以 BE平面 ABP ，又 BP平面 ABP ，所以 BEBP ，又EBC120 ，因此CBP30（）以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE ， BP ， BA 所在的直線為x ，y ，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 . 由題意得 A 0,0,3E 2,0,0， G 1,3,3， C1, 3,0 ，故AE 2,0, 3 ， AG 1,3,0 ， CG2,0,3， 設(shè) mx1 , y1, z1 是平面 AEG 的

4、一個(gè)法向量 .3最新 料推薦m AE02x13z10,由 可得 3y10,m AG0x1取 z12 ，可得平面AEG 的一個(gè)法向量m3,3, 2 .設(shè) n x2 , y2 , z2 是平面 ACG 的一個(gè)法向量 .n AG0可得 x23y20,由 n CG02x23z20,取 z22，可得平面 ACG 的一個(gè)法向量 n 3, 3, 2 .所以 cos m,nm n1 .mn2因此所求的角為60 .3.【 2017 北京，理 16】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面 ABCD為正方形， 平面 PAD平面 ABCD，點(diǎn) M在線段 PB上， PD/ 平面 MAC，PA=PD= 6 ， AB=4（ I

5、 ）求證： M為 PB的中點(diǎn)；（ II ）求二面角 B- PD- A 的大??；（ III ）求直線 MC與平面 BDP所成角的正弦值【答案】（）詳見解析： （）；（） 2 639【解析】（ I ）設(shè) AC , BD 交點(diǎn)為 E ，連接 ME .因?yàn)?PD平面 MAC ，平面 MAC平面 PBDME ，所以 PDME .因?yàn)?ABCD 是正方形，所以E 為 BD 的中點(diǎn)，所以M 為 PB 的中點(diǎn) .4最新 料推薦（ II）取 AD 的中點(diǎn) O ，連接 OP ， OE .因?yàn)?PAPD ，所以 OPAD .又因?yàn)槠矫鍼AD 平面 ABCD ，且 OP平面 PAD ，所以 OP平面 ABCD .因?yàn)?/p>

6、 OE平面 ABCD ，所以 OPOE .因?yàn)?ABCD 是正方形，所以O(shè)EAD .如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz ，則 P0,0, 2， D2,0,0， B2,4,0 ，BD4,4,0 ， PD2,0,2 .設(shè)平面 BDP 的法向量為 nx, y, z ，則 n BD0 ，即 4x4 y02x2z.n PD00令 x1 ，則 y 1 ， z2 . 于是 n1,1, 2 .平面 PAD 的法向量為p0,1,0，所以 cos n, pnp1np.2由題知二面角 B PDA 為銳角，所以它的大小為.3（ III ）由題意知 M1,2,2， D 2,4,0， MC3, 2,2 .22設(shè)直線 MC 與

7、平面 BDP 所成角為，則 sinn MC2 6cos n, MC.n MC9所以直線 MC 與平面 BDP 所成角的正弦值為2 6 .94. 【 2017 天津，理 17】如圖，在三棱錐 P- ABC中， PA底面 ABC，BAC90 . 點(diǎn) D， E，N5最新 料推薦分別為棱 PA， PC， BC的中點(diǎn)， M是線段 AD的中點(diǎn)， PA=AC=4， AB=2.（）求證： MN平面 BDE；（）求二面角C- EM- N的正弦值；（）已知點(diǎn)H在棱 PA上，且直線 NH與直線 BE所成角的余弦值為7，求線段 AH的長 .21【答案】 （ 1）證明見解析（ 2）105（3） 8或 12152【解析】

8、如圖，以 A 為原點(diǎn)，分別以AB ， AC， AP 方向?yàn)?x 軸、 y 軸、 z 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系. 依題意可得A（ 0，0，0），B（ 2， 0，0），C（ 0，4，0），P（ 0，0，4），D（0，0， 2），E（ 0， 2， 2）， M（0， 0， 1）， N（ 1，2， 0） .（）證明：DE =（ 0， 2，0）， DB =（ 2， 0，2 ） . 設(shè) nx, y, z ，為平面 BDE的法向量，則 n DE02 y01，可得 n1,0,1 . 又 MN =（ 1，2，1），即 . 不妨設(shè) zn DB02x 2z0可得 MN n0 .因?yàn)?MN平面 BDE，所以 MN/

9、平面 BDE.6最新 料推薦（）解：依題意，設(shè)=（0h 4），則（ 0， 0，），進(jìn)而可得NH1, 2,h，AH hHhBE2,2,2. 由已知，得cos NH , BENH BE2h27 ，整理得NH BEh252 32110h221h 80 ，解得 h8，或 h1.52所以，線段AH的長為 8 或 1 .5 25. 【 2017 江蘇， 22】 如圖， 在平行六面體 ABCD-A1B1C1D1 中， AA1平面 ABCD，且 AB=AD=2，AA1=3 ，BAD120 .（ 1）求異面直線 A1B與 AC1所成角的余弦值；（ 2）求二面角 B-A1D-A 的正弦值 .【答案】（ 1） 1

10、（ 2）774【解析】在平面ABCD內(nèi)，過點(diǎn) A作 AEAD，交 BC于點(diǎn) E.因?yàn)?AA1平面 ABCD，所以 AA1AE， AA1AD.7最新 料推薦如圖，以AE, AD , AA為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系-.1A xyz因?yàn)?AB=AD=2， AA1=3 ，BAD120 .則 A 0,0,0, B3,1,0, D 0,2,0, E3,0,0, A10,0,3 , C1 3,1, 3 .(1) A1B3,1,3, AC13,1,3 ，則 cosA1B, AC1A1B AC13,1,33,1,31A1B AC17.7因此異面直線A1B 與 AC1 所成角的余弦值為1 .7(2) 平面1的

11、一個(gè)法向量為AE3,0,0 .A DA設(shè)mx, y, z為平面BAD的一個(gè)法向量，1又 A1B3,1,3, BD3,3,0，則 mA1B0, 即 3xy3z0,m BD0,3x3y0.不妨取 x=3，則 y3, z2 ，所以m3,3, 2為平面1BAD的一個(gè)法向量，從而 cosAE , mAE m3,0,03,3, 23 ，3 4AE m4設(shè)二面角 -的大小為，則cos3.B A D A148最新 料推薦因?yàn)?,，所以 sin1cos27.4因此二面角- 1 -的正弦值為7 .B A D A46.【 2016 高考新課標(biāo)1 卷】（本小題滿分為12 分）如圖 , 在以 A, B, C, D, E

12、, F 為頂點(diǎn)的五面體中 ,面 ABEF為正方形 , AF=2FD,AFD 90, 且二面角 D- AF- E 與二面角 C- BE- F 都是 60 （ I ）證明：平面 ABEF 平面 EFDC；（ II ）求二面角 E- BC- A 的余弦值【答案】（ I ）見解析（ II ）【解析】2 1919（）由已知可得FDF ， FFE ，所以 F平面 FDC 又 F 平面 F，故平面 F 平面 FDC （）過D作DG F，垂足為G，由（）知DG平面F以 G 為坐標(biāo)原點(diǎn)， GF 的方向?yàn)?x 軸正方向， GF 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 G xyz由（）知 DFE 為二面角 D AF

13、E 的平面角， 故DFE 60，則 DF2 ， DG3 ，可得 A1,4,0 ， B 3,4,0， E3,0,0 ， D 0,0,3 由已知， AB/EF ，所以 AB/ 平面 EFDC 又平面 ABCD 平面 EFDCDC ，故 AB /CD ， CD /EF 由 BE /AF ，可得 BE 平面 EFDC ，所以CF 為二面角 CBE F 的平面角，CF60 從而可得 C2,0,3 9最新 料推薦所以 C1,0,3， 0,4,0 ， C3,4,3 ， 4,0,0 設(shè)nx, y, z是平面C的法向量，則n C0，即x3z 0 ，n 04 y0所以可取 n3,0,3m C0設(shè) m 是平面 CD

14、 的法向量，則，m 0同理可取 m0,3, 4則 cos n,mn m219 n m19故二面角 EBCA 的余弦值為2 19-197. 【 2016高 考 新 課 標(biāo)2理 數(shù) 】 如 圖 ， 菱 形 ABCD 的 對 角 線 AC 與 BD 交 于 點(diǎn) O ，AB 5, AC6 ，點(diǎn) E, F 分別在 AD, CD 上， AE CF5DEF，EF 交 BD于點(diǎn) H 將4沿 EF 折到D EF 位置， OD10 （）證明：D H平面 ABCD ；（）求二面角 BD A C 的正弦值10最新 料推薦【答案】（）詳見解析； （） 295.25【解析】（）由已知得 ACBD ， ADCD ，又由 A

15、ECF 得 AECF ，故 ACEF .ADCD因此 EFHD ，從而 EFD H . 由 AB5 ,AC6 得 DOB0AB2AO24 .由EFAC得 OHAE1OH，D H =DH =3. 所以DOAD41于是 D H 2OH 2321210 D O 2 ，故 D HOH .又 D HEF ，而 OHEFH ，所以 D H平面 ABCD .（）如圖，以H 為坐標(biāo)原點(diǎn)，HF的方向?yàn)?x 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Hxyz ，則 H0,0,0， A3, 1,0 ， B 0,5,0， C3, 1,0， D 0,0,3， AB(3, 4,0) ，AC6,0,0， AD3,1,3. 設(shè) m x1,

16、 y1, z1m AB0是平面 ABD 的法向量， 則，m AD03x14y10，所以可取 m4,3,5 . 設(shè) nx2 , y2, z2是平面 ACD即y1的法向量，3x13z1 0則n AC06x20， 所 以 可 取n0, 3,1.于 是n AD，即y2 3z03x220c osm n,m n1475m, n2 95. 因此二面角 B D A Cm n5010， sin252511最新 料推薦的正弦值是 295 .258. 【 2016 高考天津理數(shù)】 （本小題滿分13 分）如圖，正方形的中心為，四邊形OBEFABCDO為矩形，平面平面，點(diǎn)為AB的中點(diǎn)， = =2.OBEFABCD GA

17、B BE（ I ）求證： EG平面 ADF；（ II ）求二面角 O- EF- C的正弦值；（ III）設(shè) H為線段 AF上的點(diǎn)，且AH= 2 HF，求直線 BH和平面 CEF所成角的正弦值.3【答案】（）詳見解析（）3 （）7321【解析】依題意， OF平面 ABCD ，如圖，以 O 為點(diǎn)，分別以 AD , BA, OF 的方向?yàn)?x 軸，y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得O(0,0,0) ，A 1,1,0 , B( 1, 1,0), C (1,1,0), D (11,0),， E( 1,1,2), F (0,0,2), G ( 1,0,0) .12最新 料推薦（ I ）

18、證明：依題意，AD(2,0,0), AF1,1,2. 設(shè) n1x, y, z為平面 ADF 的法向量，n1AD02x0. 不妨設(shè) z1，可得 n1 0,2,1，又 EG0,1, 2 ，則，即n1AF0xy2z0可得 EG n10 ，又因?yàn)橹本€ EG平面 ADF ，所以 EG / / 平面 ADF .（ II） 解 ： 易 證 ，OA為 平 面的 一 個(gè) 法 向 量 . 依 題 意 ，1 , 1 , 0O E FE F1 , 1 , 0 C,F1. ,設(shè)1n,2 2 x, y, z為平面 CEF 的法向量，則n2EF0n2CF，即0xy0.不妨設(shè) x1 ，可得 n21,1,1.xy 2z0因 此

19、 有 cosOA,n2OA n26， 于 是 sinOA,n23， 所 以 ， 二 面 角OA n233OEFC 的正弦值為3.39. 【 2016 年高考北京理數(shù)】 （本小題 14 分）如圖，在四棱錐 PABCD 中，平面PADPAPD PAPD ABAD，平面 ABCD ，AB 1， AD 2， AC CD5 .13最新 料推薦（ 1）求證： PD 平面 PAB；（ 2）求直線 PB 與平面 PCD 所成角的正弦值；（ 3）在棱 PA上是否存在點(diǎn) M ，使得 BM / / 平面 PCD ？若存在，求 AM 的值；若不存在，AP說明理由 .【答案】（ 1）見解析；（ 2）3 ；（ 3）存在，

20、 AM13AP4【解析】（ 1）因?yàn)槠矫?PAD平面 ABCD ， ABAD ，所以 AB平面 PAD ，所以ABPD ，又因?yàn)?PAPD ，所以 PD平面 PAB；（ 2）取 AD 的中點(diǎn) O ，連結(jié)PO ， CO ，因?yàn)?PAPD，所以 POAD .又因?yàn)?PO平面 PAD ，平面 PAD 平面 ABCD ，所以 PO平面 ABCD .因?yàn)?CO平面 ABCD ，所以 POCO .因?yàn)?ACCD ，所以 COAD .如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，由題意得，A(0,1,0), B(1,1,0), C(2,0,0), D (0, 1,0), P(0,0,1) .設(shè)平面 PCD 的法向量為n(

21、 x, y, z) ，則14最新 料推薦n PD0, 即yz0,n PC0,2xz0,令 z 2 ，則 x1, y2 .所以 n(1,2,2) .又 PB(1,1,1)n PB3，所以 cos n, PB.n PB3所以直線 PB與平面 PCD 所成角的正弦值為3.310. 【 2016 高考浙江理數(shù)】 ( 本題滿分 15 分 ) 如圖 , 在三棱臺ABCDEF 中, 平面 BCFE平面ABC ,ACB=90 , BE=EF=FC=1, BC=2, AC=3.15最新 料推薦(I) 求證： EF平面 ACFD；(II) 求二面角 B- AD- F 的平面角的余弦值 .【答案】（ I ）證明見解

22、析； （ II ）3 4【解析】（）延長AD ， BE ， CF 相交于一點(diǎn) K ，如圖所示因?yàn)槠矫?BCFE平面 ABC ，且 ACBC ，所以 AC平面 BCK ，因此 BFAC 又因?yàn)?EF /BC ， BEEFFC1， BC2 ，所以 BCK 為等邊三角形，且F 為 CK 的中點(diǎn)，則BFCK 所以 BF平面 ACFD （）方法一：過點(diǎn)F 作 FQAK 于 Q，連結(jié) BQ 因?yàn)?BF平面 ACK ，所以 BFAK ，則 AK平面 BQF ，所以 BQAK 所以 BQF 是二面角 BAD F 的平面角在 Rt ACK 中， AC 3， CK2313，得 FQ133133，得 cos BQF

23、3在 Rt BQF 中， FQ， BF134所以二面角 B ADF 的平面角的余弦值為3 4方法二：如圖，延長AD ， BE ， CF 相交于一點(diǎn) K ，則 BCK 為等邊三角形取 BC 的中點(diǎn) O，則 KOBC ，又平面 BCFE平面 ABC ，所以， KO平面 ABC 16最新 料推薦以點(diǎn) O 為原點(diǎn)， 分別以射線 OB ， OK 的方向?yàn)?x ， z 的正方向， 建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz 由題意得B 1,0,0，1,0,0，K (0,0,3) ，A1,3,0，1313CE (,0,) ，F(xiàn)(,0,) 2222因此， AC0,3,0， AK1,3, 3， AB2,3,0設(shè)平面 ACK 的

24、法向量為 mx1, y1 , z1，平面 ABK 的法向量為 nx2 , y2 , z2AC m03y10，取 m3,0,1；由，得x13y13z10AK m 0AB n02x23y20，取 n3, 2,3由，得x23y23z20AK n0于是， cos m,nm n3 mn4所以，二面角 BAD F 的平面角的余弦值為3 4易錯(cuò)起源1、利用向量證明平行與垂直例 1、如圖，在直三棱柱ADE BCF中，面 ABFE和面 ABCD都是正方形且互相垂直，點(diǎn)M為 AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為 DF的中點(diǎn)運(yùn)用向量方法證明：(1) OM平面 BCF；(2) 平面 MDF平面 EFCD.證明方法一由題意，得AB， A

25、D， AE兩兩垂直，以點(diǎn)A 為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐17最新 料推薦標(biāo)系設(shè)正方形邊長為1，則(0,0,0)， (1 ，0,0)， (1,1,0)， (0,1,0)， (1,0,1)，M1， 0， 0 ，2ABCDF111，2 .O 220，11(1) OM2， BA ( 1,0,0)，2 OMBA0, OM BA.棱柱 ADE BCF是直三棱柱， AB平面 BCF， BA是平面 BCF的一個(gè)法向量，且 OM?平面 BCF， OM平面 BCF.(2) 設(shè)平面 MDF與平面 EFCD的一個(gè)法向量分別為n1 ( x1， y1，z1) ， n2 ( x2， y2，z2) 1 DF (1 ， 1,

26、1)， DM2， 1， 0 ， DC (1,0,0)， CF (0， 1,1)，x1 y1 z1 0，n DF 0，11由得11 0，2xn1 DM 0.y1 1令 x1 1，則 n1 1， ， .2 2同理可得 n2 (0,1,1) n1 n2 0，平面 MDF平面 EFCD. 1 1方法二 (1) OMOF FB BM 2DF BF2BA1 ) 1111 (2DB BFBF 2BA2BD2BF2BA1 112( BC BA)2BF 2BA1 12BC 2BF.向量 OM與向量BF， BC共面，又 OM?平面 BCF， OM平面 BCF.18最新 料推薦(2) 由題意知， BF， BC， B

27、A兩兩垂直， CDBA， FC BCBF， 11 OMCD2BC 2BFBA 0，11 BCBF ( OM FC22BC BF)121 22BC2BF 0. OMCD， OMFC，又 CD FC C， OM平面 EFCD.又 OM? 平面 MDF，平面 MDF平面 EFCD.【變式探究】如圖，在底面是矩形的四棱錐P ABCD中， PA底面 ABCD，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是 PC，PD的中點(diǎn)， PAAB 1， BC 2.(1) 求證： EF平面 PAB；(2) 求證：平面 PAD平面 PDC.證明(1) 以點(diǎn) A為原點(diǎn)， AB所在直線為x 軸， AD所在直線為y 軸， AP所在直線為z 軸，建立如圖

28、所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(0,0,0)， B(1,0,0)，C(1,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,1)，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是 PC， PD的中點(diǎn)，111 E 2， 1， 2 ， F 0， 1， 2 ，1， (1,0,0) ，0， 0EF2AB1 ， ，EF2ABEFAB19最新 料推薦即 EFAB，又 AB? 平面 PAB， EF?平面 PAB， EF平面 PAB.(1,0， 1)，(2) 由 (1) 可知 PB， 1) ，PD (0,2，AP(0,0,1)，AD(0,2,0)，DC (1,0,0)(1,0,0) 0， APDC(0,0,1) (0,2,0)(1,0,0) 0，ADDC ， ，即 ， .AP DC ADDCAP DC AD DC又 APAD A， DC平面 PAD. DC? 平面 PDC