3_8064967_12.中點問題.課標(biāo)高考的特色試題

2017 年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 617 中國 高考數(shù)學(xué)母題 (第 178 號 ) 中點問題 直線與二次曲線相交 的一個特殊 問題 是 弦的 中點問題 與中點相關(guān)的兩類重要問題是 :垂直平分線和 對稱問題 ;弦的 中點問題 是課標(biāo)高考的特色試題 . 母題結(jié)構(gòu) :( )(中點性質(zhì) ) 若 :222(ab0)的 不過坐標(biāo)原點 意一條 弦 ,則 22 若 雙曲線 G:22(a0,b0)的 不過坐標(biāo)原點 意一條 弦 ,則 B 的中點 2( )(中點 問題 ) 存在的條件 :圓錐曲線 G 存在以 P(x0,中點弦的充要條件是 P(x0,圓錐曲線 G 的 “ 內(nèi) 部” ; 中點弦方程 :圓錐曲線 G:x+=0 以 P(x0,中點 弦的方程 :20F=;記憶的方法 :不變 :各項系數(shù)、常數(shù)項及運算符號不變 ;變化 :二次項 :次項 :x20y20 ( )(對稱條件 )己知 直線 l:y=kx+m(k 0)和 橢圓 C:222(ab0),則 橢圓 在 不同的兩點關(guān)于 直線 充要條件是 (a2+直線 且不平行于坐標(biāo)軸 ,有兩個交點 A,B,線段 中點為 M.( )證明 :直線 斜率與 l 的斜率的乘積為定值 ; ( )若 l 過點 (3m,m),延長線段 交于點 P,四邊形 否為平行四邊形？若能 ,求此時 l 的斜率 ;若不能 ,說明理由 . 解析 :( )設(shè)直線 l:y=kx+b(0),A(x1,B(x2,將 y=kx+b 代入 9x2+y2=() x1+M(92k b) 9;( )由 l 過點 (3m,m) b=3 )3( M(-)9(3 )3(2k )3(3 2k 又由 四邊形 平行四邊形 P(-)9(3 )3(2 2 k )3(6 2k 9-)9(3 )3(2 2 k +9)3(6 2 k =4(3= k=4 7 . 點評 :對 于中點性質(zhì)的證明有三種證法 :韋達定理法 ;作差分析法 ;中點弦方程 ;對具體問題可選用適合的證法 . 同 類 試題 : 1.(2015 年課標(biāo) 高考文科試題 )已知橢圓 C:222(ab0)的離心率為22,點 (2, 2 )在 C 上 .( )求 C 的方程 ; ( )直線 且不平行于坐標(biāo)軸 ,有兩個交點 A,B,線段 中點為 直線 斜率與直線 2,(2010 年大綱 高考試題 )己知斜率為 1 的直線 l 與雙曲線 C:22(a0,b0)相交于 B、 D 兩點 ,且 中點為M(1,3).( )求 C 的離 心率 ; ( )設(shè) C 的右頂點為 A,右焦點為 F,|17,證明 :過 A、 B、 D 三點的圓與 x 軸相切 . 子題類型 :(2006 年北京高考試題 )橢圓 C:222(ab0)的兩個焦點為 P 在橢圓 C 上 ,且 |34,|314.( )求橢圓 C 的方程 ; 618 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017 年課標(biāo)高考 母題 ( )若直線 l 過圓 x2+ 的圓心 M,交橢圓 、 且 A、 B 關(guān)于點 M 對稱 ,求直線 l 的方程 . 解析 :( )由 2a=|6 a=3,又因 | 4 b=2 橢圓 49 22 =1; ( )圓 x2+ 的圓心 M(),A、 B 關(guān)于點 M 對稱 線段 中點為 M,設(shè)點 A(x0,則點 B(由點A、 B 在橢圓 C 上 36)2(9)4(4 369420202020yx 85=0 點 A 在直線 85=0 上 ,同理可得 :點 B 也在直線85=0 上 直線 l 的方程 :85=0. 點評 :中點問題即與中點相關(guān)的問題 ,而求中點弦的方程是中點問題的核心 ,本題中求中點弦方程的方法具有普遍性 . 同 類 試題 : 3.(2012 年浙江 高考試題 )如圖 ,橢圓 C:222(ab0)的離心率 為21,其左焦點到點 P(2,1)的距離為 10 ,不過原點 O 的直線 相交于 A,B 兩點 ,且線段 直線 分 .( )求橢圓 C 的方程 ; ( )求 積取最大值時直線 l 的方程 . 4.(2011 年山東高考試題 )在平面直角坐標(biāo)系 ,已知橢圓 C:32x+斜率為 k(k0)且不過原點的直線 于 A,B 兩點 ,線段 中點為 E,射線 橢圓 ,交直線 x=點 D(-3,m).( )求 m2+ ( )若 |=|(i)求證 :直線 (問點 B,能 ,求出此時 若不能 ,請說明理由 . 件 子題類型 :(1986 年廣東高考試題 )己知橢圓 C 的直角坐標(biāo)方程為42x+32y=1,試確定 m 的取值范圍 ,使得對于直線y=4x+m,橢圓 C 上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱 . 解析 :設(shè)點 A(x1,B(x2,中點 M(x0,由 1243 1243 22222121yx 321 2121 21 xx 3)41(00 m,3m,由點 M(3m)在橢圓34 22 =1 的內(nèi)部 3 )3(4)( 22 0)相交于 E、 且線段 4,1),求 ( )對于平面上任一點 P,當(dāng)點 Q 在線段 運動時 ,|最小值為 P 與線段 距離 在 x 軸上運動 ,寫出點 P(t,0)到線段 距離 t 的函數(shù)關(guān)系式 . 2017 年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 619 8.(2009 年浙江 高考試題 )已知 橢圓 222 =1(ab0)的右頂點為 A(1,0),過 . ( )求橢圓 ( )設(shè)點 P 在拋物線 C2:y=x2+h(h R)上 , 處的切線與 ,P 的中點與 中點的橫坐標(biāo) 相等時 ,求 h 的最小值 . 9.(2010 年上海高考試題 )已知橢圓 的方程為222(ab0),點 P 的坐標(biāo)為 (-a,b).( )若直 角坐標(biāo)平面上的點 M、A(0, B(a,0)滿足 21(,求點 M 的坐標(biāo) ;( )設(shè)直線 l1:y=p 交橢圓 于 C、 D 兩點 ,交直線 l2:y=.若 22明 :( )對于橢圓 上的點 Q(00) 直線 AB:3+m2)t=0 m2+2|2; 620 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017 年課標(biāo)高考 母題 ( )直線 OD:y=圓 程聯(lián)立 ,并消去 3 9m 233m;|=| 39m= ( t=231m;(i)直線 AB:3+m2)t=0 =0 過定點 ();( G(23 B(- 233m,由點 B 在直線 223 1=0 m=1 外接圓 方程 :(x+21)2+5. ( )橢圓 E:11216 22 )直線 l:2;( )假設(shè)存在不同的兩點 P,P,(x0,由 43 3 由 2 , M(2,3)在 橢圓 E 上 ,矛盾 . ( )設(shè) 點 P(x0,由 21 P(21),由 P 在 橢圓 內(nèi) m (- , (36,+ ); ( )設(shè) A( 2 ,B( 2 (0 5時 ,h(t)= 1)4( 2 t . ( )橢圓 C1:2y=1;( )設(shè) P(t,t2+h),則 切線 PM:y=2h,中點的橫坐標(biāo) =