求極值及解線性規(guī)劃問(wèn)題命令與2

求極值及解線性規(guī)劃問(wèn)題命令與例題 7.1求函數(shù)的局部極值Mathematica求函數(shù)局部極小值的一般形式為 :FindMinimum 目標(biāo)函數(shù) , 自變量名 1，初始值 1, 自變量名 2，初始值 2,具體的擬合命令有 :n 命令形式 1： FindMinimum fx, x, x0功能：以 x0為初值 , 求一元函數(shù) f(x)在 x0附近的局部極小值。n 命令形式 2： FindMinimum fx, x, x0 , x1功能：以 x0和 x1為初值，求一元函數(shù) f(x)在它們附近的局部極小值。這可以避免求導(dǎo)困難。n 命令形式 3： FindMinimum fx, x, x0 , xmin,xmax 功能：以 x0為初值 , 求一元函數(shù) f(x)在 x0附近的局部極小值 , 如果中途計(jì)算超出自變量范圍 xmin,xmax, 則終止計(jì)算。n 命令形式 4： FindMinimum fx,y,., x, x0,y, y0,功能：以點(diǎn) (x0, y0,) 為初值 , 求多元函數(shù) f(x,y,) 在 (x0, y0,) 附近的局部極小值 例 1: 求函數(shù) y=3x4-5x2+x-1, 在 -2,2的極大值、極小值和最大值、最小值。解 : 先畫(huà)出函數(shù)圖形，再確定求極值的初值和命令。 Mathematica 命令為 : In1:= Plot3x4-5x2+x-1,x,-2,2 從圖中看到函數(shù)在 -1和 1附近有兩個(gè)極小值點(diǎn)，在 0附近有一個(gè)極大值點(diǎn)，用 Mathematica 命令求之：In2:=FindMinimum3x4-5x2+x-1,x,1Out2= -2.19701, x - 0.858028 In3:=FindMinimum3x4-5x2+x-1,x,-1Out3= -4.01997, x - -0.959273 In4:=FindMinimum- (3x4-5x2+x-1), x,0Out4= 0.949693, x - 0.101245 In5:= 3x4-5x2+x-1/.x-2 In6:= 3x4-5x2+x-1/.x-2 故所求函數(shù)在 -2,2的 x=2處取得最大值 29,在 x=-0.959273處取得最小值為 -4.01997 例 2: 求函數(shù) z=(e2x)(x+y2+2y)，在區(qū)間 -1,1-2,1內(nèi)的極值。解 : 本題限制了求極值的范圍，為確定初值，借助等高線圖本題限制了求極值的范圍，為確定初值，借助等高線圖Mathematica命令為命令為In7:= ContourPlot(畫(huà)等高線 )Exp2x*(x+y2+2y),x,-1,1,y,-2,1, Contours-20, ContourShading（去掉圖中的陰影） -False, PlotPoints-30從圖中可知函數(shù)在（ 0.45,-1.2）可能有極值，取 x0=0.45， y0= -1.1, 再用求極值命令I(lǐng)n8:= FindMinimumExp2x*(x+y2+2y), x, 0.45, y, -1.1Out8= -1.35914, x - 0.5, y - -1.求得函數(shù)在 x= 0.5, ， y= -1取得極小值 -1.35914。例 3:求函數(shù) f(x,y,z)=x4+siny-cosz,在點(diǎn)（ 0， 5，4）附近的極小值 。解 :In9:= FindMinimumx4+SinyCosz,x,0,y,5,z,4Out9= -2., x - 0., y - 4.71239, z - 6.28319故函數(shù)在 （ 0, 4.71239, 6.28319）取得極小值 -2。Mathematica求函數(shù)局部極大值的一般形式為 :FindMaximum 目標(biāo)函數(shù) , 自變量名 1，初始值 1, 自變量名 2，初始值 2,具體的擬合命令與 FindMinimum函數(shù)類似。n 應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，當(dāng)函數(shù)有多個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，需要適當(dāng)選擇極值點(diǎn)。n FindMinimum(x-1)2 (x-2)2 (x-4)2, x, 0.2n FindMinimum(x-1)2 (x-2)2 (x-4)2, x, 1.6n FindMinimum(x-1)2 (x-2)2 (x-4)2, x, 5n FindMinimum(x-1)2 (x-2)2 (x-4)2, x, 3.6n 通過(guò)求導(dǎo)計(jì)算可知函數(shù)有 3個(gè)極小值點(diǎn)，分別是 1、 2、 4。不過(guò)由第 3個(gè)式子可以發(fā)現(xiàn)選擇初始點(diǎn)為 5時(shí)并沒(méi)有找到離它最近的極小值點(diǎn) 4。7.2 解線性規(guī)劃問(wèn)題線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，應(yīng)用很廣。線性規(guī)劃問(wèn)題可以描述為求一組非負(fù)變量，這些非負(fù)變量在滿足一定線性約束的條件下，使一個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)取得極?。ù螅┲档膯?wèn)題，線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為：目標(biāo)函數(shù) ： min S= c 1x 1 + c 2x 2 + + c n x na11 x 1 + a12 x 2 +.+ a 1n x n = b 1a21 x 1 + a22 x 2 +. + a 2n x n = b2約束條件： . a m1x 1 + a m2x 2 +.+ a mn x n = b mx 1 ,x 2 , x n 0這里 x 1 ,x 2 , x n 是變量， c i, aij ,bi都是已知常數(shù)，且 bi 0，約束條件常用符號(hào) :s.t.表示。 n 線性規(guī)劃的一般形式為 ：目標(biāo)函數(shù) ： min S= c 1x 1 + c 2x 2 + + c n x na11 x 1 + a12 x 2 +.+ a 1n x n b 1a21 x 1 + a22 x 2 +. + a 2n x n b2約束條件： . a m1x 1 + a m2x 2 +.+ a mn x n b m n 式中符號(hào) “”可以是關(guān)系符號(hào)： , 極小值點(diǎn) 1，自變量 2 - 極小值點(diǎn) 2， 。l 命令 2結(jié)果形式為： 極大值 , 自變量 1 - 極大值點(diǎn) 1，自變量 2 - 極大值點(diǎn) 2， 。l 上面命令中的 f為線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù) ,它必須是變量x1,x2, 的線性函數(shù)。l 上面命令中的 inequalities為線性規(guī)劃中的約束不等式組 ,每個(gè)關(guān)系式必須用逗號(hào)分隔。l 上面命令中的 x1,x2, 線性規(guī)劃中的自變量名稱 ,它們必須取非負(fù)值且可以用其它符號(hào)名。例 4: 求線性規(guī)劃問(wèn)題MaxS= 17x 1 -20 x 2 +18 x 3x 1 - x 2 +x 3 20, x1, x2, x3Out10= 160, x1 - 0, x2 - 10, x3 - 20計(jì)算結(jié)果可得所求目標(biāo)函數(shù)極大值為 160，對(duì)應(yīng)的極大值點(diǎn)為（ 0， 10， 20）。例 5: 求線性規(guī)劃問(wèn)題Min m= 13x -y +5zx +y =7,s.t. y + z 2,y0,z0 解 : Mathematica 命令為 : In11:= ConstrainedMin13x-y+5z, x+y=7, y+z2, y0, z0, x,y,z Out11= 16, x - 2, y - 10, z - 0計(jì)算結(jié)果可得所求目標(biāo)函數(shù)極小值為 16，對(duì)應(yīng)的極小值點(diǎn)為（ 0， 10， 0）。例 6: 現(xiàn)有三種食品 A1,A2,A3,各含有兩種營(yíng)養(yǎng)成分B1,B2, 每單位食物 Ai含有 Bj成分的數(shù)量及每種食物的單價(jià)如下表所示 :n 問(wèn)應(yīng)如何選購(gòu)食物 ,才能既滿足對(duì)營(yíng)養(yǎng)成分 B1,B2的需要 ,又使費(fèi)用最少？解 : 設(shè)購(gòu)買食品 A1,A2,A3的數(shù)量分別為 x 1, x 2,x 3,花費(fèi)的費(fèi)用為S,則本問(wèn)題可以用以下的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述：Min S= 4x1 +2x2 +3x32x 1 + 4x 3 5s.t. 2x 1 + 3x 2 +x 3 4x 1 , x 2 , x 3 0種 類成分A1 A2 A3 營(yíng) 養(yǎng)成分需要量B1 2 0 4 5B1 2 3 1 4單 價(jià) 4 2 3用 Mathematica 命令為 : In12:= ConstrainedMax4x1+2x2+3x3, 2x1+4x3=5, 2x1+3x2+x3=4,x1=0,x2=0,x3=0 , x1, x2, x3Out12=67/12, x1 - 0, x2 - 11/12, x3 - 5/4 計(jì)算結(jié)果顯示購(gòu)買 11/12數(shù)量的食品 A2, 5/4數(shù)量的食品 A3可以滿足本問(wèn)題的要求 ,此時(shí)的花費(fèi)的費(fèi)用為 67/12。-例 7: 求線性規(guī)劃問(wèn)題Min f = -x-3y-3z,3x+y+2z+ v =5s.t. x+ z+ 2v+w =2x+ 2z+u+2v =6x, y, z, u, v, w0解 : Mathematica 命令為 : In13:= ConstrainedMin-x-3y-3z,3x+y+2z+v=5, x+z+2v+w=2, x+2z+u+2v=6, x, y, z, u, v, w Out13= -15, x - 0, y - 5, z - 0, u - 6, v - 0, w - 2計(jì)算結(jié)果可得所求目標(biāo)函數(shù)極小值為 -15，對(duì)應(yīng)的極小值點(diǎn)為 (x, y, z, u, v, w)=(0,5,0,6,0,2）。更常見(jiàn)的函數(shù) ： LinearProgramming 該函數(shù)的一般形式為：LinearProgrammingc,m,b,l 其中 b和 l都是表。如果 b是b1,s1, b2, s2, 表示矩陣 m的第 i行 mi滿足條件：當(dāng)si =