人教版九級數學下《第章相似》專項訓練含答案.docVIP

第27章 相似 專項訓練專訓1證明三角形相似的方法名師點金：要找三角形相似的條件，關鍵抓住以下幾點：(1)已知角相等時，找兩對對應角相等，若只能找到一對對應角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對應成比例；(2)無法找到角相等時，判斷三邊是否對應成比例；(3)考慮平行線截三角形相似定理及相似三角形的“傳遞性”利用平行線判定兩三角形相似1如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC，CD于點P，Q.(1)請寫出圖中各對相似三角形(相似比為1除外)；(2)求BPPQQR.(第1題)利用邊或角的關系判定兩直角三角形相似2下面關于直角三角形相似敘述錯誤的是()A有一銳角對應相等的兩個直角三角形相似B兩直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似C有一條直角邊相等的兩個直角三角形相似D兩個等腰直角三角形相似3如圖，BCAD，垂足為C，AD6.4，CD1.6，BC9.3，CE3.1，求證：ABCDEC.(第3題)利用角判定兩三角形相似4如圖，ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長，與CE交于點E.(1)求證：ABDCED；(2)若AB6，AD2CD，求BE的長 (第4題)利用邊角判定兩三角形相似5如圖，AB3AC，BD3AE，又BDAC，點B，A，E在同一條直線上(第5題)求證：ABDCAE.利用三邊判定兩三角形相似6如圖，AD是ABC的高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點求證：DEFABC.(第6題)專訓2巧作平行線構造相似三角形名師點金：解題時，往往會遇到要證的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形的情況，添加輔助線構造相似三角形是這類幾何證明題的一種重要方法常作的輔助線有以下幾種：(1)由比例式作平行線；(2)有中點時，作中位線；(3)根據比例式，構造相似三角形巧連線段的中點構造相似三角形1如圖，在ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點，D是AC的中點，BD分別交AE，AF于點P，Q，求BPPQQD.(第1題)過頂點作平行線構造相似三角形2如圖，在ABC中，ACBC，F(xiàn)為底邊AB上一點，BFAF32，取CF的中點D，連接AD并延長交BC于點E，求的值(第2題)3如圖，過ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E.求證：AEED2AFFB.(第3題)過一邊上的點作平行線構造相似三角形4如圖，在ABC中，ABAC，在邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使ADAE，直線DE和BC的延長線交于點P.求證：.(第4題)過一點作平行線構造相似三角形5如圖，在ABC中，點M為AC邊的中點，點E為AB上一點，且AEAB，連接EM并延長交BC的延長線于點D.求證：BC2CD.作輔助線的方法一：(第5題)作輔助線的方法二：(第5題)作輔助線的方法三：(第5題)作輔助線的方法四：(第5題)專訓3用線段成比例法解四邊形問題名師點金：利用線段成比例不僅能解三角形問題，還能解四邊形問題在中考中涉及相似、線段成比例的四邊形的題型有填空題、選擇題、解答題，是中考熱門命題點之一一、選擇題1如圖，菱形ABCD中，點M，N在AC上，MEAD，NFAB.若NFNM2，ME3，則AN()(第1題)A3 B4 C5 D62如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB8，AD6，將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則CEF的面積為()(第2題)A. B. C2 D43如圖，在平行四邊形ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BGAE于G，BG4，則EFC的周長為()A11 B10 C9 D8(第3題)(第4題)二、填空題4如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，若AB4，BC2，那么線段EF的長為_三、解答題5如圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C.(1)設RtCBD的面積為S1，RtBFC的面積為S2，RtDCE的面積為S3，則S1_S2S3(填“”“”或“”)；(2)寫出圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明(第5題)6如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，沿直線MN對折，使A，C重合，直線MN交AC于O.(1)求證：COMCBA；(2)求線段OM的長度(第6題)7如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且AFEB.(1)求證：ADFDEC；(2)若AB8，AD6，AF4，求AE的長(第7題)8如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DC，CB上的點，且DECF，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點Q，連接DF.(1)求證：ADEDCF.(2)若E為CD的中點，求證：Q為CF的中點(3)連接AQ，設SCEQS1，SAEDS2，SEAQS3，在(2)的條件下，判斷S1S2S3是否成立？并說明理由 (第8題)9如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE，作BFAE，垂足為H，交CD于F，作CGAE，交BF于G.求證：(第9題)(1)CGBH；(2)FC2BFGF；(3).10如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長交邊AB于點E，連接BP并延長交邊AD于點F，交CD的延長線于點G.(1)求證：APBAPD；(2)已知DFFA12，設線段DP的長為x，線段PF的長為y.求y與x的函數關系式；當x6時，求線段FG的長(第10題)專訓4用線段成比例法解與圓有關問題名師點金：線段成比例法求解有關線段問題在三角形、四邊形中有著廣泛的應用，是近幾年中考命題的必考內容；在中考中，它的另一重點是與圓的知識相結合進行考查；題型既有選擇題、填空題，也有解答題，也常以壓軸題的形式出現(xiàn)一、選擇題1如圖，已知ABC，ABBC，以AB為直徑的圓交AC于點D，過點D的O的切線交BC于點E.若CD5，CE4，則O的半徑是()A3 B4 C. D.(第1題)(第2題)2如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，弦AD平分BAC，交BC于點E，AB6，AD5，則AE的長為()A2.5 B2.8 C3 D3.23如圖，A，B，C，D是O上的四個點，ABAC，AD交BC于點E，AE3，ED4，則AB的長為()A3 B2 C. D3(第3題)(第4題)二、填空題4如圖，AB是O的直徑，點C在圓上，CDAB，DEBC，則圖中與ABC相似的三角形有_個5如圖，直線l與半徑為4的O相切于點A，P是O上的一個動點(不與點A重合)，過點P作PBl，垂足為B，連接PA.設PAx，PBy，則xy的最大值是_(第5題)三、解答題6如圖，AB是O的直徑，AC是O的弦，過點B作O的切線DE，與AC的延長線交于點D，作AEAC交DE于點E.(1)求證：BADE；(2)若O的半徑為5，AC8，求BE的長(第6題)7如圖，在ABC中，BABC，以AB為直徑作半圓O，交AC于點D，連接DB，過點D作DEBC，垂足為點E.(第7題)(1)求證：DE為半圓O的切線；(2)求證：DB2ABBE.8如圖，AB是圓O的直徑，點C，D在圓O上，且AD平分CAB.過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于點E，與AB的延長線相交于點F.(1)求證：EF與圓O相切；(2)若AB6，AD4，求EF的長(第8題)9如圖，AB是O的直徑，點C在O上，CAB的平分線交O于點D，過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E，連接BC交AD于點F.(1)猜想ED與O的位置關系，并證明你的猜想；(2)若AB6，AD5，求AF的長 (第9題)10如圖，AB是O的直徑，點E是上的一點，DBCBED.(1)求證：BC是O的切線；(2)已知AD3，CD2，求BC的長(第10題)11如圖，AB是O的直徑，點C為O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC，PBPC12.(1)求證：AC平分BAD；(2)探究線段PB，AB之間的數量關系，并說明理由；(3)若AD3，求ABC的面積 (第11題)答案1解：(1)BCPBER，PCQPAB，PCQRDQ，PABRDQ.(2)四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形BCADCE，ACDE，BCPBER，則，BPPR，.點R是DE的中點，DRRE.又PCDR，.QR2PQ.又BPPRPQQR3PQ，BPPQQR312.2C3證明：AD6.4，CD1.6，ACADCD6.41.64.8.3.又3，.又BCAD，ACBDCE90，ABCDEC.(第4題)4(1)證明：ABC是等邊三角形，AACB60.ACF120.CE是外角平分線，ACEACF12060.AACE.又ADBCDE，ABDCED.(2)解：如圖，作BMAC于點M，則AMCM3，BM3.AD2CD，CD2，AD4.則MD1.在RtBDM中，BD2.由ABDCED得，即2，ED.BEBDED3.5證明：BDAC，點B，A，E在同一條直線上，DBACAE，又3，ABDCAE.方法規(guī)律：本題運用了數形結合思想和演繹推理，通過已知條件尋找兩邊成比例并且夾角相等，從而證明兩三角形相似6證明：AD是ABC的高，ADBD.又E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點在RtABD中，DE為斜邊AB上的中線DEAB，即.同理.EF為ABC的中位線，EFBC，即.DEFABC.1解：如圖，連接DF，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點，BEEFFC.D是AC的中點，ADCD.DF是ACE的中位線DFAE，且DFAE.DFPE.BEPBFD.BF2BE，BD2BP.BPPD.DF2PE.DFAE，APQFDQ，PAQDFQ.APQFDQ.設PEa，則DF2a，AP3a.PQQDAPDF32.BPPQQD532.(第1題)(第2題)2解：如圖，過點C作CGAB交AE的延長線于點G.CGAB，DAFG.又D為CF的中點，CDDF.在ADF和GDC中，ADFGDC(AAS)AFCG.BFAF32，ABAF52.ABCG.ABEGCE.3證明：如圖，過點B作BNCF交AD的延長線于點N.，ECDNBD.又CDEBDN，EDCNDB.BDCD，EDDNEN.AEED2AFFB.(第3題)(第4題)4證明：如圖，過點C作CFAB交DP于點F，PCFPBD.ADCF，ADEEFC.ADAE，ADEAED.AEDCEP，EFCCEP.ECCF.5證明：(方法一)過點C作CFAB，交DE于點F，CDFBDE.點M為AC邊的中點，AMCM.CFAB，BACMCF.又AMECMF，AMECMF.AECF.AEAB，BEABAE，BE3AE.，即BD3CD.又BDBCCD，BC2CD.(方法二)過點C作CFDE，交AB于點F，.又點M為AC邊的中點，AC2AM.2AEAF.AEEF.又AEAB，2.又CFDE，2.BC2CD.(方法三)過點E作EFBC，交AC于點F，AEFABC.由AEAB，知，EFBC，AFAC.EFCD，EFMDCM，.又AMMC，MFMC，EFCD.BC2CD.(方法四)過點A作AFBD，交DE的延長線于點F，AEFBED.AEAB，AEBE.AFBD.由AFCD，易證得AFMCDM.又AMMC，AFCD.CDBD.BC2CD.點撥：由已知線段的比，求證另外兩線段的比，通常添加平行線，構造相似三角形一、1.B2.C3.D二、4.三、5.解：(1)(2)BCFDBCCDE；選BCFCDE，證明：在矩形ABCD中，BCD90，且點C在邊EF上，BCFDCE90.在矩形BDEF中，F(xiàn)E90，在RtBCF中，CBFBCF90，CBFDCE，BCFCDE.(答案不唯一)6(1)證明：由折疊可知，COM90，BCOM.又MCOACB，COMCBA.(2)解：AB6，BC8，AC10，OCAC5，COMCBA，即，OM.7(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ADBC，CB180，ADFDEC.AFDAFE180，AFEB，AFDC.在ADF與DEC中，ADFDEC.(2)解：四邊形ABCD是平行四邊形，CDAB8.由(1)知ADFDEC，DE12.在RtADE中，由勾股定理得AE6.8(1)證明：由ADCD，ADEDCF90，DECF得ADEDCF.(2)證明：易證ADEECQ，所以.因為，所以，即點Q是CF的中點(3)解：S1S2S3成立理由：因為ADEECQ，所以，所以.因為CAEQ90，所以AEQECQ，所以AEQECQADE，所以，所以.因為EQ2AE2AQ2，所以S1S2S3.9證明：(1)BFAE，CGAE，BAHABH90，CGBF.CBGBCG90.在正方形ABCD中，ABHCBG90，BAHCBG，ABHBCG.ABBC，ABHBCG，CGBH.(2)BFCCFG，BCFCGF90，CFGBFC，即FC2BFGF.(3)CBGFBC，CGBBCF90，BCGBFC，即BC2BGBF.ABBC，AB2BGBF，即.10(1)證明：點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，DAPPAB，ADAB.在APB和APD中，APBAPD(SAS)(2)解：APBAPD，DPPB，ADPABP.在DFP和BEP中，DFPBEP(ASA)，PFPE，DFBE.GDAB，F(xiàn)DGFAB，.DFFA12，.DGBE，DPGEPB，.PEPF，yx.當x6時，y64，PFPE4，DPPB6，F(xiàn)DGFAB，解得FG5，故線段FG的長為5.方法規(guī)律：本題運用了演繹推理，考查了相似三角形、全等三角形和函數知識，是一個綜合性的問題推出，是解題的關鍵一、1.D2.B3.C二、4.45.2三、6.(1)證明：O與DE相切于點B，AB為O的直徑，ABE90，BAEE90.又DAE90，BADBAE90，BADE.(2)解：如圖，連接BC，AB為O的直徑，ACB90.AC8，AB2510，BC6.又BCAABE90，BACE，ABCEAB，.BE.(第6題)(第7題)7證明：(1)如圖，連接OD.AB為半圓O的直徑，ADB90.ABBC，D為AC中點O為AB中點，ODBC.DEBC，ODECED90，DE為半圓O的切線(2)ABBC，ADB90，CBDDBA.又ADBDEB90，ADBDEB.，即DB2ABBE.8(1)證明：連接OD，如圖因為OAOD，所以OADODA.又因為AD平分BAC，所以OADCAD，所以ODACAD.所以ODAE.又因為EF垂直于AE，所以OD垂直于EF，所以EF與圓O相切(2)解：如圖，連接CD，BD，BC，則CDBD.因為AB是直徑，所以ACBADB90.又因為AB6，AD4，所以BD2，所以CD2.因為OADCAD，ADBE90，所以ADEABD，所以，所以，所以DE.在RtCDE中，CE.易得四邊形CEDG是矩形，所以DGCE，OGB90.所以DG，OG3.在RtOGB中，GB