高數(shù)D25函數(shù)的微分-2.ppt

目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、微分運(yùn)算法則 三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第五節(jié) 一、微分的概念 函數(shù)的微分 第二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、微分的概念 引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響, 問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則 面積的增量為 關(guān)于x 的 線性主部 高階無窮小 時(shí)為 故 稱為函數(shù)在 的微分 當(dāng) x 在取 得增量時(shí), 變到邊長由 其 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 相應(yīng)于自變量增量 定義: 若函數(shù)在點(diǎn) 的增量可表示為 ( A 為不依賴于x 的常數(shù)) 則稱函數(shù) 而 稱為 記作即 定理: 函數(shù) 在點(diǎn) 可微的充要條件是 即 在點(diǎn)可微, 的微分， 且可微時(shí)必 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 : 函數(shù) 證: “必要性” 已知在點(diǎn) 可微 , 則 故在點(diǎn) 可導(dǎo), 且 在點(diǎn) 可微的充要條件是 在點(diǎn) 處可導(dǎo), 且可微時(shí)必即 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 : 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件是 在點(diǎn) 處可導(dǎo), 且即 “充分性” 已知 即 在點(diǎn) 可導(dǎo),則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明: 時(shí) , 所以時(shí) 很小時(shí), 有近似公式 與是等價(jià)無窮小, 當(dāng) 故當(dāng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分的幾何意義 當(dāng) 很小時(shí), 則有 從而 導(dǎo)數(shù)也叫作微商 切線縱坐標(biāo)的增量 自變量的微分, 記作 記 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如, 基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P116表) 函數(shù) y = f (x) 在任意點(diǎn) x 處的微分稱為函數(shù)的微分, 記作dy或df (x)，如 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、 微分運(yùn)算法則 設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則 (C 為常數(shù)) 分別可微 , 的微分為 微分形式不變 5. 復(fù)合函數(shù)的微分 則復(fù)合函數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1.求 解: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 設(shè)求 解: 利用一階微分形式不變性 , 有 例3. 在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立: 說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容. 注意 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.注意: 注 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 當(dāng) 很小時(shí), 使用原則: 得近似等式: 或 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別當(dāng)很小時(shí), 常用近似公式:很小) 證明: 令 得 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的近似值 . 解: 例4. 計(jì)算 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 有一批半徑為1cm 的球 , 為了提高球面的光潔度, 解: 已知球體體積為 ，鍍銅體積為 V 在 時(shí)體積的增量 因此每只球需用銅約為 ( g ) 用銅多少克 . 估計(jì)一下, 每只球需要鍍上一層銅 , 厚度定為 0.01cm , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可微可導(dǎo) 2. 微分運(yùn)算法則 微分形式不變性 : ( u 是自變量或中間變量 ) 3. 微分的應(yīng)用 近似計(jì)算 估計(jì)誤差 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí) 1. 設(shè)函數(shù)的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn) 處的及 并說明其正負(fù) . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 設(shè)由方程確定, 解: 方程兩邊求微分, 得 當(dāng)時(shí)由上式得 求 6. 設(shè) 且則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè) P123 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; *12