2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教A版.docx

2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.(重點(diǎn))2.會求簡單的拋物線的方程.(重點(diǎn))3.了解拋物線的實(shí)際應(yīng)用.(難點(diǎn))4.能區(qū)分拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式.(易混點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程閱讀教材P56P58“思考”部分，完成下列問題.1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程四種不同標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程xxyy判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)中的p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.()(2)拋物線的焦點(diǎn)位置由一次項及一次項系數(shù)的正負(fù)決定.()(3)平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.()(4)拋物線可看作雙曲線的一支.()【答案】(1)(2)(3)(4)小組合作型求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出它們的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).(1)過點(diǎn)(3,2)；(2)焦點(diǎn)在直線x2y40上；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.【精彩點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解題的關(guān)鍵是明確標(biāo)準(zhǔn)方程的類型和參數(shù)p的值.【自主解答】(1)點(diǎn)(3,2)在第二象限，設(shè)拋物線方程為y22px或x22py(p0).將點(diǎn)(3,2)代入方程，得2p或2p.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，所求拋物線方程是y2x，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為x；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，所求拋物線方程為x2y，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為y.(2)令x0，由方程x2y40，得y2.拋物線的焦點(diǎn)為F(0，2).設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，則由2，得2p8，所求拋物線方程為x28y.令y0，由方程x2y40，得x4.拋物線的焦點(diǎn)為F(4,0).設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，則由4，得2p16，所求拋物線方程為y216x.綜上，所求拋物線方程為x28y或y216x.其準(zhǔn)線方程為y2或x4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)或(4,0).(3)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，可知p.所求拋物線方程為y25x或y25x或x25y或x25y.求拋物線方程，通常用待定系數(shù)法，若能確定拋物線的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可.若拋物線的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論.焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程可設(shè)為y2ax(a0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線方程可設(shè)為x2ay(a0).再練一題1.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為y1; 【導(dǎo)學(xué)號：97792027】(2)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是3.【解】(1)由準(zhǔn)線方程為y1知拋物線焦點(diǎn)在y軸正半軸上，且1，則p2.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y.(2)設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為x，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p3，因此所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y26x.拋物線的實(shí)際應(yīng)用噴灌的噴頭裝在直立管柱OA的頂點(diǎn)A處，噴出水流的最高點(diǎn)B高5 m，且與OA所在的直線相距4 m，水流落在以O(shè)為圓心，半徑為9 m的圓上，則管柱OA的長是多少？【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)題意先建立坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.【自主解答】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)水流所形成的拋物線的方程為x22py(p0)，因為點(diǎn)C(5，5)在拋物線上，所以252p(5)，因此2p5，所以拋物線的方程為x25y，點(diǎn)A(4，y0)在拋物線上，所以165y0，即y0，所以O(shè)A的長為51.8 (m).所以管柱OA的長為1.8 m.在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，常以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，這樣可使得標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應(yīng)用.再練一題2.某河上有一座拋物線形的拱橋，當(dāng)水面距拱頂5 m時，水面寬8 m，一木船寬4 m，高2 m，載貨的木船露在水面上的部分為0.75 m，當(dāng)水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？【解】以橋的拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，拱高所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.(如圖)設(shè)拋物線的方程是x22py(p0)，由題意知A(4，5)在拋物線上，故162p(5)p，則拋物線的方程是x2y(4x4)，設(shè)水面上漲，木船面兩側(cè)與拋物線形拱橋接觸于B、B時，木船開始不能通航.設(shè)B(2，y)，22yy.0.752.故當(dāng)水面上漲到與拋物線形的拱頂相距2 m時，木船開始不能通航.探究共研型拋物線定義的應(yīng)用探究1拋物線中p的幾何意義是什么？【提示】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.探究2拋物線定義的功能是什么？【提示】根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，拋物線定義的功能是可以把點(diǎn)點(diǎn)距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距，從而使有關(guān)的運(yùn)算問題變得簡單、快捷.(1)若動點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x50的距離小1，則動點(diǎn)M的軌跡方程是_.(2)如圖231，已知拋物線y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2).求|PA|PF|的最小值，并求此時P點(diǎn)坐標(biāo).圖231【精彩點(diǎn)撥】(1)中先由拋物線的定義確定點(diǎn)M的軌跡，再寫方程.(2)由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d，求|PA|PF|的問題可轉(zhuǎn)化為|PA|d的問題.【自主解答】(1)如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y). 由已知條件可知，點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x40的距離.根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F(4,0)為焦點(diǎn)的拋物線，且4，即p8.因為焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，所以點(diǎn)M的軌跡方程為y216x.【答案】y216x(2)如圖，作PQl于Q，由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，由圖可知，求|PA|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|d的最小值的問題.將x3代入拋物線方程y22x，得y.2，A在拋物線內(nèi)部.設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d.由圖可知，當(dāng)PAl時，|PA|d最小，最小值為.即|PA|PF|的最小值為，此時P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x2.點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2).1.對于動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比此動點(diǎn)到定直線的距離大多少或小多少的問題，實(shí)際上也是拋物線問題.2.拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等.再練一題3.(1)已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為() 【導(dǎo)學(xué)號：97792028】A.B.2C.D.(2)拋物線y22px(p0)上的動點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則p_.【解析】(1)如圖，由拋物線定義知|PA|PQ|PA|PF|，則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|PF|的最小值，則當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時，|PA|PF|取得最小值.又A(0,2)，F(xiàn)，(|PA|PF|)min|AF|.故選A.(2)依題意，點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以1，則p2.【答案】(1)A(2)21.拋物線y2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(1,0)B.C.D.【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，所以p，故焦點(diǎn)坐標(biāo)是.【答案】D2.拋物線y28x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A.1B.2C.4D.8【解析】拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p4.【答案】C3.若雙曲線1的右焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合，則m_.【解析】雙曲線1的右焦點(diǎn)為(，0)，拋物線y212x的焦點(diǎn)F(3,0)，3，m6.【答案】64.以拋物線y28x上的任意一點(diǎn)為圓心作圓與直線x20相切，則這些圓必過一定點(diǎn)，這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是_.【解析】拋物線y28x的準(zhǔn)線方程是x20，根據(jù)拋物線的定義，圓心到直線x20的距離等于圓心到焦點(diǎn)的距離，所以這些圓必過拋物線的焦點(diǎn)，所以應(yīng)填(2