剛體的動量與角動量.ppt

第五章 剛體的轉(zhuǎn)動 rotation of a rigid body,2019/5/10,鄭建洲,2,5- 1 剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動,1. 剛體rigid body,剛體是一種特殊的質(zhì)點系統(tǒng)， 無論它在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi) 任意兩質(zhì)點間的距離始終保持不變。,2、剛體的平動：translation of a rigid body,當剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動。,剛體的平動過程,b,c,a,平動和轉(zhuǎn)動,剛體的平動過程,平動和轉(zhuǎn)動,b,剛體的平動過程,平動和轉(zhuǎn)動,剛體的平動過程,平動和轉(zhuǎn)動,剛體的平動過程,平動和轉(zhuǎn)動,剛體的平動過程,平動和轉(zhuǎn)動,剛體的平動過程,平動和轉(zhuǎn)動,剛體的平動過程,平動和轉(zhuǎn)動,剛體的平動過程,平動和轉(zhuǎn)動,2019/5/10,鄭建洲,12,剛體在平動時，在任意一段時間內(nèi)，剛體中所質(zhì)點的位移都是相同的。而且在任何時刻，各個質(zhì)點的速度和加速度也都是相同的。所以剛體內(nèi)任何一個質(zhì)點的運動，都可代表整個剛體的運動。,剛體運動時，如果剛體的各個質(zhì)點在運動中都繞同一直線圓周運動，這種運動就叫做轉(zhuǎn)動，這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。,平動和轉(zhuǎn)動,3. 剛體的定軸轉(zhuǎn)動 rotation of a rigid body around a fix axis,定軸轉(zhuǎn)動：,定軸轉(zhuǎn)動,剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運動，且在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。,2019/5/10,鄭建洲,14,特點：,角位移，角速度和角加速度均相同； 質(zhì)點在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運動，且作圓周運動。,剛體的定軸轉(zhuǎn)動,角位移,角速度,角加速度,定軸轉(zhuǎn)動,剛體運動的角量描述:,2019/5/10,鄭建洲,15,4. 角速度矢量 angular velocity vector,角速度,角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動方向呈右手螺旋關(guān)系。,角速度矢量,在定軸轉(zhuǎn)動中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。,2019/5/10,鄭建洲,16,5、角量與線量的關(guān)系:,對時間微分,方向,對于勻加速轉(zhuǎn)動,有下面公式:,2019/5/10,鄭建洲,17,(1) 滑輪的角加速度。,(2) 開始上升后,5秒末滑輪的角速度,(3) 在這5秒內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。,(4) 開始上升后,1秒末滑輪邊緣上 一點的加速度(不打滑) 。,解: (1) 輪緣上一點的切向加速度與 物體的加速度相等,例題5-1:一條纜索繞過一定滑論拉動一升降機,滑論半徑為0.5m, 如果升降機從靜止開始以 a=0.4m/s2 勻加速上升, 求：,2019/5/10,鄭建洲,18,(2),(3),(4),合加速度的方向與輪緣切線方向夾角,已知at=a=0.4m/s2,2019/5/10,鄭建洲,19,*例題5-2 一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動后均勻 地減速，經(jīng)t=50 s后靜止。 （1）求角加速度a 和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過 的轉(zhuǎn)數(shù)N； （2）求制動開始后t=25s 時飛 輪的加速度 ； （3）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在 t=25s 時邊緣上一點的速 度和加速度。,角速度,解 （1）設(shè)初角度為0方向如圖所示，,2019/5/10,鄭建洲,20,量值為0=21500/60=50 rad/s，對于勻變速轉(zhuǎn)動，可以應(yīng)用以角量表示的運動方程，在t=50S 時刻 =0 ，代入方程=0+at 得,角速度,從開始制動到靜止，飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)N 分別為,2019/5/10,鄭建洲,21,角速度,（2）t=25s 時飛輪的角速度為,2019/5/10,鄭建洲,22,（3）t=25s 時飛輪邊緣上一點P 的速度。,的方向與0相同 ；,的方向垂直于 和 構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為,角速度,由,2019/5/10,鄭建洲,23,邊緣上該點的加速度 其中 的方向 與 的方向相反， 的方向指向軸心， 的大小 為,的方向幾乎和 相同。,角速度,2019/5/10,鄭建洲,24,例題5-3 一飛輪在時間t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飛輪上某點角位置可用表示為 at+bt3-ct4 將此式對t求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達式為,角加速度是角速度對t的導(dǎo)數(shù)，因此得,由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動。,角速度,2019/5/10,鄭建洲,25,5-2 轉(zhuǎn)動中的功和能 Work and energy in the rotation,1.力矩的功 work done by torque,力矩的功：當剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動而發(fā)生角位移時，就稱力矩對剛體做功。,力 對P 點作功：,2019/5/10,鄭建洲,26,因,力矩作功：,對于剛體定軸轉(zhuǎn)動情形，因質(zhì)點間無相對位移，任何一對內(nèi)力作功為零。,力矩的功,2019/5/10,鄭建洲,27,A、所謂力矩的功，實質(zhì)上還是力的功，并無任何關(guān)于力 矩的功的新的定義，只是在剛體轉(zhuǎn)動中，用力矩和角位移 的積來表示功更為方便而己。,B、對于定軸轉(zhuǎn)動剛體，所有內(nèi)力的功總和在任何過程中均為零。（內(nèi)力成對，大小相等方向相反，一對內(nèi)力矩的代數(shù)和為零；內(nèi)力矩的功總和為零。另一角度，內(nèi)力的功 相對位移為零 .）,C、功率：,當 M 與 同方向，A 和P 為正,當 M 與 反方向， A 和P 為負,說明：,2019/5/10,鄭建洲,28,1).剛體的轉(zhuǎn)動動能:,剛體是有許多質(zhì)點組成的,第 i 小塊質(zhì)點的動能,總動能:,質(zhì)點運動的動能,2.剛體的轉(zhuǎn)動動能rotational kinetic energy of a rigid body,2019/5/10,鄭建洲,29,2).轉(zhuǎn)動慣量: rotational inertia (moment of inertia),如果剛體是連續(xù)分布的質(zhì)點系,轉(zhuǎn)動慣量的物理意義,平動：,質(zhì)點平動動能,動量,剛體的轉(zhuǎn)動動能,轉(zhuǎn)動：,角動量,可見，轉(zhuǎn)動慣量J是轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度,2019/5/10,鄭建洲,30,說明： A、轉(zhuǎn)動動能定理也與質(zhì)點動力學(xué)中講的動能定理 相同，只是動能的表示形式不同而己，,B、對剛體，內(nèi)力的功總和在任何過程中都為零。,3、定軸轉(zhuǎn)動的動能定律 rotational kinetic energy theorem,把質(zhì)點系的動能定理應(yīng)用到定軸轉(zhuǎn)動的剛體，由于剛體內(nèi)各個質(zhì)元間相互不作功，Ainr=0, 而Aext=Md.則,剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。,2019/5/10,鄭建洲,31,4、剛體的重力勢能:,x,y,z,o,C,2019/5/10,鄭建洲,32,質(zhì)元的質(zhì)量,質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離,轉(zhuǎn)動慣量的計算,剛體的質(zhì)量可認為是連續(xù)分布的，所以上式可 寫成積分形式,5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算Calculation of moment of inertia (Calculation of rotational inertia),按轉(zhuǎn)動慣量的定義有,2019/5/10,鄭建洲,33,轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。,質(zhì)量是平動中慣性大小的量度。,轉(zhuǎn)動慣量的計算,區(qū)別：,平動： 平動動能,線動量,轉(zhuǎn)動： 轉(zhuǎn)動動能,角動量,例題5.4 P146,均勻圓環(huán) ：,dm,C R,2019/5/10,鄭建洲,35,轉(zhuǎn)動慣量的計算,例題5.5 求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。,解 設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、,寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的,質(zhì)量dm= 2rdr ?？傻?2019/5/10,鄭建洲,36,例5.5 : 計算質(zhì)量為m, 半徑為R, 厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量. 軸與盤面垂直并通過盤心。,l,解: 圓盤可以認為由許多圓環(huán)組成。,實心圓柱對軸的轉(zhuǎn)動慣量,2019/5/10,鄭建洲,37,例題5.6 求質(zhì)量為m、長為 l 的均勻細棒對下面 三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量： （1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直； （2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直； *（3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的一點 并和棒垂直。,2019/5/10,鄭建洲,38,l,l,O,x,dx,A,解 如圖所示，在棒上離軸x 處，取一長度元dx，如 棒的質(zhì)量線密度為，這長度元的質(zhì)量為dm=dx。,（1）當轉(zhuǎn)軸通過中心并和棒垂直時，我們有,轉(zhuǎn)動慣量的計算,2019/5/10,鄭建洲,39,因=m/ l ，代入得,轉(zhuǎn)動慣量的計算,（2）當轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并和棒垂直時，我們有,2019/5/10,鄭建洲,40,轉(zhuǎn)動慣量的計算,（3）當轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的B點并和棒垂 直時，我們有,這個例題表明，同一剛體對不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動慣量并不相同。,2019/5/10,鄭建洲,41,哪種握法轉(zhuǎn)動慣量大？,2019/5/10,鄭建洲,42,轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量分布有關(guān),轉(zhuǎn)動慣量與材料性質(zhì)有關(guān),平行軸定理:,剛體對任一軸的轉(zhuǎn)動慣量J,等于對過中心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量 、 與二軸間的垂直距離d的平方和剛體質(zhì)量的乘積之和。,證明略，見例題5.6（3）,2019/5/10,鄭建洲,43,定軸,（相當于 ）,剛體所受到的對于給定軸的總外力矩等于剛體對該軸的角動量的時間變化率,由轉(zhuǎn)動的動能定律微分形式：,5.4 剛體轉(zhuǎn)動定律 law of rotation of a rigid body,兩邊除以dt:,2019/5/10,鄭建洲,44,a,例題5.8. 已知：M、R、m，繩質(zhì)量不計，求：物體由靜止開始下落h 高度時的速度和滑輪的角速度。,T1=T2=T,2019/5/10,鄭建洲,45,*例5.9. 物體 m1m2，滑輪（R，m）。阻力 矩Mf ， 繩子質(zhì)量忽略，不伸長、不打滑。 求重物的加速度及繩中張力,解：,Mf,2019/5/10,鄭建洲,46,1.不計軸上摩擦 Mf=0,2019/5/10,鄭建洲,47,3.不計軸上摩擦、不計滑輪質(zhì)量(Mf=0, m=0),2.不計滑輪質(zhì)量 m=0,2019/5/10,鄭建洲,48,解：,外力：重力、軸的作用力,重力勢能的減少,1)、,例5.9：一勻質(zhì)細桿（l，m）繞光滑水平軸在豎直面內(nèi) 轉(zhuǎn)動,初始 時在水平位置，靜止釋放， 求: 1)、豎直位置時重力所作的功; 2)、下落角 時的角加速度、角速度; *3)、豎直位置時軸端所受的力。,2）、由轉(zhuǎn)動定律：,2019/5/10,鄭建洲,49,由轉(zhuǎn)動定律：,細棒在豎直位置時，端點A和中心點C的速度分別為,2019/5/10,鄭建洲,50,*3、轉(zhuǎn)動,質(zhì)心運動,l,2019/5/10,鄭建洲,51,質(zhì)點mi對O點的角動量為：,因vi垂直于Ri,，所以Li的大小為,剛體對O點的角動量，等于各質(zhì)點角動量的矢量和。L并不和OZ 方向一致。感興趣的OZ的分量Lz,叫做剛體繞定軸的角動量，即,轉(zhuǎn)動慣量J,一、剛體的角動量 angular momentum of a rigid body,5.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis,二、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理 angular momentum theorem of a rotational rigid body around a fix axis,轉(zhuǎn)動物體所受合外力矩的沖量矩等于在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)動物體角動量的增量-角動量定理。,所以,由轉(zhuǎn)動定律,當物體所受合外力矩等于零時，物體的角動量保持不變。-角動量守恒定律,若,則,由角動量定理,三、 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律 law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis,角動量守恒定律：,2019/5/10,鄭建洲,54,討論：,a.對于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的剛體，因J 保持不變， 當合外力矩為零時，其角速度恒定。,J=恒量,2019/5/10,鄭建洲,55,b.若系統(tǒng)由若干個剛體構(gòu)成,當合外力矩為零時,系 統(tǒng)的角動量依然守恒。J 大 小,J 小 大。,c.若系統(tǒng)內(nèi)既有平動也有轉(zhuǎn)動現(xiàn)象發(fā)生，若對某一定軸的合外力矩為零,則系統(tǒng)對該軸的角動量守恒。,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,56,L,A,B,A,B,C,C,常平架上的回轉(zhuǎn)儀,應(yīng)用事例：,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,精確制導(dǎo),2019/5/10,鄭建洲,57,應(yīng)用事例：,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,直升飛機,2019/5/10,鄭建洲,58,直線運動與定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對照,質(zhì)點的直線運動,剛體的定軸轉(zhuǎn)動,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,59,例5.10 一長為l 、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)細桿，可繞光滑軸O 在鉛直面內(nèi)擺動。當桿靜止時，一顆質(zhì)量為m0 的子彈水平射入與軸相距為a 處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。,解：分兩個階段進行考慮,其中,(1)子彈射入細桿,使細桿獲得初速度。因這一過程進行得很快,細桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小,可認為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細桿組成待分析的系統(tǒng),無外力矩,滿足角動量守恒條件。子彈射入細桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動量分別為,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,60,(2)子彈隨桿一起繞軸O 轉(zhuǎn)動。以子彈、細桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機械能守恒。選取細桿處于豎直位置時子彈的位置為重力勢能零點，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機械能為：,由角動量守恒，得：,(1),定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,61,由機械能守恒，E=E0, 代入q=300，得：,將上式與 聯(lián)立，并代入J 值，得,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,62,例5.11：圓盤（R，M），人（m）開始靜止，人走一 周，求盤相對地轉(zhuǎn)動的角度,解：,系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸,角動量守恒,人 ，盤,2019/5/10,鄭建洲,63,例題5-12* 圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J= 2103kgm2 ，它以=0.2rad/s的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是=2kg/s 。廢氣的噴射速率（相對于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多長時間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。,解 把飛船和排出的廢氣看作一個系統(tǒng)，廢氣質(zhì)量為m?？梢哉J為廢氣質(zhì)量遠小于飛船的質(zhì)量，,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,64,所以原來系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等于飛船自身的角動量，即,在噴氣過程中，以dm表示dt時間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對中心軸的角動量為dm r(u+v)，方向與飛船的角動量相同。因u=50m/s遠大于飛船的速率v(= r) ，所以此角動量近似地等于dm ru。在整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量Lg應(yīng)為,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,65,當宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時，其角動量為零。系統(tǒng)這時的總角動量L1就是全部排出的廢氣的總角動量，即為,在整個噴射過程中，系統(tǒng)所受的對于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對于此軸的角動量守恒，即L0=L1 ，由此得,即,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,66,于是所需的時間為,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,67,例題5-13* 一勻質(zhì)細棒長為l ，質(zhì)量為m，可繞通過其端點O的水平軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。當棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m ，它與地面的摩擦系數(shù)為 。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C 離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。,解： 這個問題可分為三個階段進行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機械能守恒。我們把棒在豎直位置時質(zhì)心所在處取為勢能,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,68,零點，用表示棒這時的角速度,則,（1）,第二階段是碰撞過程。因碰撞時間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所受的對轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的對O軸的角動量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，則,（2）,式中 棒在碰撞后的角速度，它可正可負。 取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,69,第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。物體作勻減速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為,（3）,由勻減速直線運動的公式得,由式（1）、（2）與（4）聯(lián)合求解，即得,（5）,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,70,亦即l6s；當 取負值，則棒向右擺，其條件為,亦即l 6s,棒的質(zhì)心C上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機械能守恒定律求得：,把式（5）代入上式，所求結(jié)果為,當 取正值，則棒向左擺，其條件為,(6),定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,71,例題4-14 工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動慣量為JA=10kgm2，B的轉(zhuǎn)動慣量為JB=20kgm2 。開始時A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？,定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,