線性代數(shù)課件4-1向量組的線性相關(guān)性.ppt

第四章 向量組的線性相關(guān)性,1 向量組及線性表示,目的要求,（3）理解向量的線性組合、線性表示概念；,（1）了解向量概念；,（2）掌握向量加法、數(shù)乘運算法則；,（4）掌握線性方程組與線性表示的關(guān)系.,一、n 維向量的概念,分量全為復數(shù)的向量稱為復向量.,分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，,默認為實向量,1.定義：,例如,n維實向量,n維復向量,第1個分量,第n個分量,第2個分量,2、n 維向量的表示方法,維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行,維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列,注意,行向量和列向量總被看作是兩個不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩陣的運算法則 進行運算；,當沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當作列向量.,3、向量的幾何意義：,d. 四維以上向量集合，無具體幾何意義.,叫做 維向量空間,叫做 維向量空間 中的 維超平面,a. 一維向量集合-,數(shù)軸；,b. 二維向量集合-,平面；,c. 三維向量集合-,空間；,4.特殊向量（與矩陣類比可知）,a. 零向量：,b. 負向量：,c. n 維單位坐標向量組：,思考題,比如一個本科學生大學階段共修36門課程,成績描述了學生的學業(yè)水平，把他的學業(yè)水平用一個向量來表示，這個向量是幾維的？請大家再多舉幾例,說明向量的實際應(yīng)用,在日常工作、學習和生活中，有許多問題都需要用向量來進行描述.,比如平均成績、總學分等，維數(shù)還將增加,答 36維的,如果我們還需要考察其它指標，,5.向量組：,若干個同維數(shù)的向量所組成的集合叫做向量組.,行向量組,列向量組,默認為列向量組,有限個向量,無限個向量,先討論有限個向量,m個n維列向量構(gòu)成向量組,稱為向量組,，或者稱為向量組A,或者稱為向量組,6.有限個向量的向量組與矩陣一一對應(yīng),行向量組,列向量組,7、線性方程組的向量表示：,線性方程組與增廣矩陣的列向量組一一對應(yīng),二、向量的運算,轉(zhuǎn)置、相等、加法、數(shù)乘、乘法；運算律,例：設(shè),求,（特殊矩陣）,解,三、 線性組合與線性表示,定義,，對于任何一組實數(shù),給定向量組,，稱向量,為向量組A的線性組合.,，稱為,線性組合的系數(shù).,若不存在系數(shù),給定向量組A：,若存在一組系數(shù),使得,成立，則稱,和向量,使（*）成立,能否線性表示，只需看,注：,能找到實數(shù)組,能表示；,是否成立,舉例：,（1）,零向量,線性表示；,（2）,能由,線性表示；,（3）,中任何一個向量,線性表示；,都能由,能由,(4) 設(shè),解：設(shè),不存在,線性表示判定方法,向量,有解；,其中,能由,線性表示,解一：設(shè),(5) 設(shè),，且表示方式唯一,解二：設(shè),(5) 設(shè),已知向量,向量組,問向量b能否由向量組 A 線性表示?,(6) 設(shè),解：設(shè),因此向量 b 不能由向量組 A 線性表示.,證明：向量b 能由向量組,并求出表示式.,線性表示，,(7) 設(shè),證明 令,故方程,即,的解為,四、向量組的線性表示與等價,定義,兩個向量組,若向量組 B 中每個向量都可由向量組A 線性,表示，則稱向量組B 能由向量組 A 線性表示.,若向量組 B 與向量組 A 能相互線性表示，,則稱向量組 B 與向量組A等價.,使得,存在數(shù),向量組B 能由向量組A 線性表示，即對每個向量,若記,從而,矩陣,稱為線性表示的系數(shù)矩陣,向量組B 能由向量組A 線性表示,B 中每個向量都可由向量組A 線性表示,存在系數(shù)矩陣K，使得B=AK,矩陣方程AX=B有解,R(A)=R(A,B),向量組B 與向量組A 等價,矩陣方程AX=B和BY=A都有解,R(A)=R(A,B)=R(B),舉例,能由,但不等價.,線性表示，,(1),與,等價.,(2),已知向量組,證明：向量組A與向量組B等價.,和,(3),證：令,因此向量組A與向量組B等價.,證：,(4),五、矩陣乘法與向量組的線性表示關(guān)系,說明：矩陣C的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示，表示的系數(shù)矩陣為B.,說明：矩陣C的行向量組能由矩陣B的行向量組線性表示，表示的系數(shù)矩陣為A.,六、矩陣等價與向量組等價關(guān)系：,七、方程組的線性表示與等價：,已知方程組A和方程組B，,對方程組A的各個方程做線性運算得到的方程,稱為方程組A的一個線性組合；,若方程組B的每個方程都是方程組A的線性組合,就稱方程組B能由方程組A線性表示，,都是B的解；,此時A的解,若方程組A與方程組B能