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線性微分方程解的結(jié)構(gòu),第六節(jié),二、二階線性微分方程解的性質(zhì),三、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu),第十二章,二、二階線性微分方程解的性質(zhì),二階線性微分方程解的性質(zhì),證,性質(zhì)2,性質(zhì)3,性質(zhì)4 (非齊次線性方程解的疊加原理),注 性質(zhì)1 性質(zhì)4可推廣到n階線性微分方程的情形.,例2,的解，,解,問題1,三、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu),回顧：,問題2,答:,不一定.,的解，,例如：,是某二階齊次線性方程的解,也是齊次線性方程的解,并不是通解.,但是,則,為解決通解的判別問題, 還需引入,函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.,定義12.1,是定義在,區(qū)間 I 上的n 個(gè)函數(shù),使得,則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān)；否則稱為,線性無關(guān).,若存在不全為 0 的常數(shù),例3,下列各函數(shù)組在給定區(qū)間上是線性相關(guān) 還是線性無關(guān)？,線性無關(guān),解,故該函數(shù)組在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān);,解,特別地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的情形：,定理,例如：,注,可以證明：,1.齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),推論,n個(gè)線性無關(guān)的特解，則此方程的通解為,方程：,如果 y1(x) 與 y2(x) 是方程(6.1)的兩個(gè)線性無關(guān)的,特解, 那么 就是方程(6.1)的通解.,驗(yàn)證：,例5,定理12.2 (二階非齊次線性方程(6.2)的解的結(jié)構(gòu)),2. 非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),證 由性質(zhì)3, 可知,是非齊次線性方程(6.2)的解,又Y 中含有,兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)，因而,也含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)，因而它是(6.2)的通解 .,例6,例7,解,(1),由性質(zhì)3，知,(2),齊次線性方程(2)的通解為：,由定理12.2，知,原方程(1)的通解為：,求二階非齊次線性微分方程(6.2) 的通解 的關(guān)鍵：,注,1確定與其相對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程 (6.1) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解;,2求(6.2) 的一個(gè)特解.,內(nèi)容小結(jié),解的疊加原理,函數(shù)組線性相關(guān)與線性無關(guān),1、二階線性

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