1.1 銳角三角函數(shù)(第1課時)教學設計1

第一章 直角三角形的邊角關系銳角三角函數(shù)（第1課時）教學設計說明深圳市華一實驗學校 萬劍波一、學生知識狀況分析在本節(jié)課以前，學生學習了直角三角形的邊邊關系（如勾股定理）、角角關系（直角三角形的兩個銳角互余）等知識.對于邊角關系，平面幾何中在特殊的直角三角形中有所接觸，如“在直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半”等.但還不能從根本上掌握直角三角形的邊與角之間的內(nèi)在聯(lián)系.本課時從學生觀察比較熟悉的生活工具梯子的傾斜程度來展開，便于學生在直觀感受的基礎上進一步探討更本質(zhì)的東西，即由直觀感受轉(zhuǎn)為定性分析，最終進行定量研究，從而揭示直角三角形邊角關系的內(nèi)在本質(zhì).由于學生基于生活經(jīng)驗有一定的直觀感受，因此學習本章節(jié)內(nèi)容就有了很好的生活基礎，降低了學習難度.但要準確刻畫梯子傾斜程度，就需要通過本節(jié)課的學習利用直角三角形邊與邊的關系來判斷.二、教學任務分析本課是九年級下冊第一章第一節(jié)銳角三角函數(shù)的第一課時.先由學生基于生活經(jīng)驗直觀感受、判斷梯子的傾斜程度，然后通過不易于判斷的個例呈現(xiàn)給學生，引導學生進行簡單的演算、比較、推理，教師采用教育技術實驗的方法，借助幾何畫板，通過幾何直觀，幫助學生真正領會到直角三角形中邊與角之間確實存在著一定的關系，最終探索出直角三角形中，一個銳角的對邊與鄰邊的比是隨銳角的變化而變化的.說明在直角三角形中，用一個銳角的對邊與鄰邊的的比來定義正切是合理的.在問題解決的過程中，要滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，發(fā)展學生的幾何直觀能力和符號感.由于不同學生對問題的理解是不一樣的，教師應尊重學生間的差異，不要急于否定學生的答案，而要鼓勵學生開展討論，給學生提供成果展示的機會，培養(yǎng)學生的交流能力及學習數(shù)學的自信心.本節(jié)課教學目標如下：知識與技能：1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關系的過程.理解正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.2.能夠用表示直角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度（坡比）等.3.能夠根據(jù)直角三角形的邊角關系，用正切進行簡單的計算.過程與方法：1.體驗數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學習利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題.2.體會解決問題的策略的多樣性，發(fā)展學生的幾何直觀能力和符號感，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.情感態(tài)度與價值觀：1.通過本節(jié)課程的學習，促使學生更加熱愛生活，理解數(shù)學源于生活，又為生活服務.2.進一步鍛煉學生用數(shù)學的觀點來解釋身邊的事物，形成良好的數(shù)學思維習慣和思維品質(zhì).教學重點：理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學意義，密切數(shù)學與生活的聯(lián)系.教學難點：理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.三、教學過程分析本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設問題情境；第二環(huán)節(jié)：探求新知；第三環(huán)節(jié)：應用與拓展；第四環(huán)節(jié)：變式練習；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè).第一環(huán)節(jié) 創(chuàng)設問題情境本環(huán)節(jié)設計了兩個活動內(nèi)容活動內(nèi)容1：介紹世界文化遺產(chǎn)意大利比薩斜塔，激發(fā)學習興趣我們都知道世界著名的建筑意大利比薩斜塔.但你知道比薩斜塔是如何傾斜的和傾斜角度是多少嗎?如下圖，小明說，只要測得垂直中心線、塔身中心線的長度及塔頂中心點偏離垂直中心線的距離這三個數(shù)據(jù)中的任意兩個，他就可以計算出塔身傾斜角的大小.你想知道小明是如何做的嗎？那么，我們一起來學習新知識吧.通過本章的學習，你就會明白小明這樣做的道理.活動目的：讓學生初步從實際問題中去體會直角三角形的邊角之間存在一定的關系，并通過這個活動，讓學生留意身邊的數(shù)學；初步感受到傾斜程度在生活中的隨處可見，并可以用數(shù)學模型來描述.教學效果：學生對小明的方法感到好奇，生動的課堂引入激發(fā)了學生強烈的求知欲望.并能初步感受到傾斜程度是可以用數(shù)學方法來描述的.活動內(nèi)容2：觀察梯子的傾斜程度由活動1知道，傾斜的物體在生活中隨處可見，那我們該如何判斷物體的傾斜程度呢？大家都會用“陡峭”或“平緩”來描述.1.圖11和圖12中，這里擺放的兩個梯子，你能辨別出那一個比較陡一些嗎？你是如何判斷的？圖11圖122.圖13中，這里擺放的兩個梯子，你能辨別出那一個比較陡一些嗎？你又是如何判斷的？圖13表1對于圖13，學生可能難于下手，這時老師可以借助幾何畫板的動態(tài)演示，引導學生比較對邊與鄰邊的比值，即比較表一中的與大小，當、時，借助幾何畫板直觀的驗證梯子的傾斜程度，以突破學生認識上的障礙.（為了方便研究，表格中的數(shù)據(jù)精確到十分位）活動目的：先讓學生從圖1-1和圖1-2中直觀感受梯子的傾斜程度，再讓學生理性思考該如何尋找方法判斷圖1-3中梯子的傾斜程度.這樣學生會感到知識上的匱乏，從而對數(shù)學產(chǎn)生好奇心和求知欲.讓他們從實例中體會不同情況下比較梯子的傾斜程度只靠直觀感受是不夠的，還需要其他方法用邊的比進行比較.活動效果：學生可以很快用不同的方法從圖11和圖12中分辨出哪個梯子更陡.但對于圖13，學生則普遍感到有一定難度.教師通過運用幾何畫板的演示活動，引導學生比較對邊與鄰邊的比，來比較梯子的傾斜程度.學生會發(fā)現(xiàn)這是個新的知識，需要利用這個新的知識來認識梯子的傾斜程度，這為引入本節(jié)課的知識點正切值埋下了伏筆. 第二環(huán)節(jié) 探求新知活動內(nèi)容1：在小明家的墻角處放有一架較長的梯子，墻很高，又沒有足夠長的尺來測量，你有什么巧妙的方法得到梯子的傾斜程度呢？圖14如圖1-4，小明想通過測量及，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量及 ，算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎？（1）和有什么關系？（2）和有什么關系？（3）如果改變在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么結(jié)論？活動目的：通過對前面問題的討論，學生已經(jīng)知道可以用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度.這個活動旨在說明，當傾斜角確定時，其對邊與鄰邊之比也隨之確定.這一比值只與傾斜角度有關，而與直角三角形的大小無關.教學效果：學生能借助三角形相似的知識理解兩個比的關系，通過簡單推理獲得結(jié)論：，并能發(fā)現(xiàn)如果改變在梯子上的位置，仍有.能理解這個關系之所以不變，是由于銳角不變的原因，為學生理解下面的知識：用對邊與鄰邊的比來定義正切，奠定了基礎.活動內(nèi)容2：結(jié)合活動內(nèi)容1，請同學們思考：既然直角三角形中，一個銳角一旦確定，它的對邊與鄰邊的比也隨之確定.那么這個確定的比我們能不能用一個數(shù)學符號來表示呢？數(shù)學上，我們把這個確定的比叫做一個銳角的正切.如圖15，我們把的對邊與的鄰邊的比，叫做的正切（tangent），記作.即 圖15的鄰邊的對邊對于正切的定義，同學們必須明確以下幾點：1. 中常省略角的符號“”.用希臘字母表示角時也可省略如：、等.但用三個字母表示角和用阿拉伯數(shù)字表示角時，不能省略角的符號“”，要寫成或、等；2、沒有單位，它表示一個比值；3、是一個完的整數(shù)學符號，不可分割，不表示“”乘以“”；4、一個角的正切是在直角三角形中定義的，因此，只能在直角三角形中適用；請同學們思考，梯子的傾斜程度與的值有關嗎？的值越大，梯子越陡活動目的：通過對直角三角形中邊角關系的探索，合理的引出正切的定義；通過對定義的辨析，發(fā)展學生的符號感；通過探究梯子的傾斜程度與的值的關系，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想；進一步體會正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.教學效果：通過觀察、探索梯子的傾斜程度自然的引出了正切的定義，能理解規(guī)定的合理性，經(jīng)歷了由形到數(shù)的過程；通過探索結(jié)論“的值越大，梯子越陡”體驗了由數(shù)到形的過程，體會到利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決數(shù)學問題的常用方法.第三環(huán)節(jié) 應用與拓展活動內(nèi)容1：例題1：圖16表示甲、乙兩個手扶電梯，哪個手扶電梯比較陡？圖16 活動目的：通過計算正切值判斷梯子的傾斜程度，這是對第二環(huán)節(jié)中得出結(jié)論的直接運用，旨在鞏固正切的定義以及發(fā)展學生的數(shù)學應用意識.體驗數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學習利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題，提高解決實際問題的能力教學效果：學生經(jīng)歷了觀察、探索等數(shù)學活動過程，發(fā)展了合情推理的能力，并都能通過簡單的計算得出結(jié)論，而且能有條理、清晰地闡述自己的觀點.圖17活動內(nèi)容2：認識坡角、坡度（坡比）坡角：坡面與水平面的夾角；坡度（坡比）：坡面的鉛垂高度與水平寬度的比，因此坡度（坡比）就是坡角的正切. 如圖17，有一山坡在水平方向上每前進100米就升高60，那么山坡的坡角是，坡度（坡比）就是：教學目的：認識坡角、坡度（坡比），理解坡度（坡比）其實質(zhì)就是坡角的正切.體會數(shù)學與實際生活的聯(lián)系.教學效果：通過工程學上的例子，學生能理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學聯(lián)第，加強了數(shù)學與生活的聯(lián)系，發(fā)展了學生的數(shù)學應用意識.第四環(huán)節(jié) 變式練習活動內(nèi)容：1、如圖18，在中，若，則= ； 2、如圖19，在中，則 ； 圖18圖193、如圖110,某人從山腳下的點走了200m后到達山頂?shù)狞c.已知山頂?shù)缴侥_下的垂直距離是55m.求山坡的坡度(結(jié)果精確到0.001m).圖110活動目的：為學生運用新知識解決與直角三角形有關的實際問題提供資源，并將進一步感受數(shù)形結(jié)合的思想，體會數(shù)形結(jié)合的方法.讓學生嘗試用正切表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，學會運用正切的定義進行簡單的計算.教學效果：以上3個例題都是基礎題，其中第2題學生需要添加簡單的輔助線，加深了學生對正切的理解，體會到正切是在直角三角形中定義的，因此使用的前提必須是在直角三角形中使用.第五環(huán)節(jié) 課堂小結(jié)活動內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)本堂課所學的知識點和體會；談談對本節(jié)知識的理解.活動目的：鼓勵學生結(jié)合本節(jié)課的學習，談自己的收獲與感想（學生暢所欲言，教師給予鼓勵），讓學生能正確闡述對正切、傾斜程度、坡度等數(shù)學意義的理解.教學效果：學生能暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，對各知識點掌握更加透徹.不同的學生在數(shù)學上獲得了不同的發(fā)展.第六環(huán)節(jié) 布置作業(yè)作業(yè)： 習題 1.1 1、2四、教學反思本課時結(jié)合學生身邊的數(shù)學現(xiàn)象，依據(jù)初中