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2019年6月22日星期六,1,第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限,第一章,(Existence criterion for limits & Two important limits),二、兩個(gè)重要極限,一、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則,三、內(nèi)容小結(jié),2019年6月22日星期六,2,1. 單調(diào)有界準(zhǔn)則,數(shù)列,單調(diào)增加,單調(diào)減少,準(zhǔn)則I 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,單調(diào)上升有上界數(shù)列必有極限,單調(diào)下降有下界數(shù)列必有極限,說 明: (1) 在收斂數(shù)列的性質(zhì)中曾證明:收斂的數(shù)列一定有界,但有界的數(shù)列不一定收斂,(2) 利用準(zhǔn)則來判定數(shù)列收斂必須同時(shí)滿足 數(shù)列單調(diào)和有界這兩個(gè)條件,2019年6月22日星期六,3,(3) 準(zhǔn)則只能判定數(shù)列極限的存在性,而未給出求極限的方法,例如,數(shù)列,,雖然有界但不單調(diào);,,雖然是單調(diào)的,但其無界,,易知,這兩數(shù)列均發(fā)散,數(shù)列,(4) 對于準(zhǔn)則I,,函數(shù)極限根據(jù)自變量的不同變化過程,也有類似的,準(zhǔn)則,,只是準(zhǔn)則形式上略有不同.,例如,,準(zhǔn)則I 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào),在,的左極限,必存在,并且有界,則,2019年6月22日星期六,4,作為準(zhǔn)則的應(yīng)用,我們討論一個(gè)重要極限:,首先,證,是單調(diào)的,所以,數(shù)列,是單調(diào)增加的,2019年6月22日星期六,5,顯然,,單調(diào)性的證明可證得數(shù)列,是單調(diào)增加的設(shè)數(shù)列,由于數(shù)列,是單調(diào)增加的,,所以數(shù)列,是單調(diào)減少的.,又,其次,證,有界,類似于,,則,則,. 綜上,根據(jù)極限存在準(zhǔn)則可知,數(shù)列是,收斂的.,2019年6月22日星期六,6,通常用字母,來表示這個(gè)極限,即,也可以證明,當(dāng),取實(shí)數(shù)而趨于,或,時(shí),函數(shù),的極限都存在且都等于,,即,利用變量代換,可得更一般的形式,2019年6月22日星期六,7,例1,解:,例2 求,解:,2019年6月22日星期六,8,2. 夾逼準(zhǔn)則,準(zhǔn)則II,證:,由條件 (2) ,當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),令,則當(dāng),時(shí), 有,由條件 (1),即,故,2019年6月22日星期六,9,我們可將準(zhǔn)則II推廣到函數(shù)的情形:,準(zhǔn)則II,且,注意:,準(zhǔn)則II和準(zhǔn)則II統(tǒng)稱為夾逼準(zhǔn)則.,.,的極限是容易求的,與,并且,與,關(guān)鍵是構(gòu)造出,利用夾逼準(zhǔn)則求極限,2019年6月22日星期六,10,例3,解:,由夾逼準(zhǔn)則得,2019年6月22日星期六,11,解: 利用夾逼準(zhǔn)則 .,且,由,思考題:,?,1,2,1,1,lim,2,2,2,=,+,+,+,+,+,+,p,p,p,n,n,n,n,n,n,L,2019年6月22日星期六,12,夾逼準(zhǔn)則不僅說明了極限存在,,而且給出了求極限的,方法,下面利用它證明另一個(gè)重要的,圓扇形AOB的面積,證: 當(dāng),即,亦即,時(shí),,顯然有,AOB 的面積,AOD的面積,故有,注,極限公式:,2019年6月22日星期六,13,當(dāng),時(shí),注,2019年6月22日星期六,14,例4 求,解:,例5 求,(課本例7),解: 令,則,因此,原式,注:,利用變量代換,可得更一般的形式,2019年6月22日星期六,15,例6 求,(課本 例5),解:,例7 求,(補(bǔ)充題),解:,2019年6月22日星期六,16,內(nèi)容小結(jié),1. 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則,夾逼準(zhǔn)則;,單調(diào)有界準(zhǔn)則 .,2. 兩個(gè)重要極限,或,2019年6月22日星期六,17,課后練習(xí),習(xí) 題 1-6 1 (2)(4 ) 2 (2)(4)(6) 3(3),思考與練習(xí),1. 填空題 ( 14 ),2019年6月22日星期六,18,解:,原式 =,2. 求,2019年6月22日星期六,19,3. 證明,證明:,對任一,,有,,則當(dāng),時(shí),有,于是,(1)當(dāng),時(shí),,由夾逼準(zhǔn)則得,(2)當(dāng),時(shí),,同樣有,2019年6月22日星期六,20,故極限存在,,4. 設(shè), 且,求,解:,設(shè),則由遞推公式有
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