D67(1)對坐標曲線積分.ppt

,第七節(jié)（1）,二、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì),三、 對坐標的曲線積分的計算法,四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,對坐標的曲線積分,第六章,一、場的概念,一 數(shù)量場與向量場,分布著某種物理量的平面或空間區(qū)域稱為場,如果這個物理量能用數(shù)表示，稱為數(shù)量場,如果這個物理量用向量表示，稱為向量場,如果這個物理量與時間有關，稱為時變場,如果這個物理量與時間無關，稱為定常場,函數(shù),數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù)),場,向量場(矢性函數(shù)),如: 溫度場, 電勢場等,數(shù)量場的等值面,向量場的向量線,二、 對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì),1. 引例: 變力沿曲線所作的功.,設一質(zhì)點受如下變力作用,在 xOy 平面內(nèi)從點 A 沿光滑曲線弧 L 移動到點 B,求移,“大化小”,“常代變”,“近似和”,“取極限”,恒力沿直線所作的功,解決辦法:,動過程中變力所作的功W.,1) “大化小”.,2) “常代變”,把L分成 n 個小弧段,有向小弧段,近似代替,則有,所做的功為,則,用有向線段,3) “近似和”,4) “取極限”,(其中 為 n 個小弧段的 最大長度),2. 定義.,設 L 為xOy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑,弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧 L 上,對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數(shù),或第二類曲線積分.,其中,L 稱為積分弧段 或 積分曲線 .,稱為被積函數(shù) ,在L 上定義了一個向量函數(shù),極限,若 為空間曲線弧 , 記,稱為對 x 的曲線積分;,稱為對 y 的曲線積分.,若記, 對坐標的曲線積分也可寫作,類似地,3. 性質(zhì),(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則,則,定積分是第二類曲線積分的特例.,說明:,對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !,(3) 若由閉合曲線C所圍成的平面區(qū)域被劃分為兩個無公共內(nèi)點的區(qū)域1和2 ，它們的邊界分別記作C1 ，C2 ，那么沿閉合曲線C的第二型線積分等于按同一方向閉合曲線 C1和C2 的第二型線積分之和，即,其中曲線C、C1和C2 或者都取正向或者都取負向.,將上式兩端同乘以-1，并利用 性質(zhì)2就有,三、對坐標的曲線積分的計算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定義且,L 的參數(shù)方程為,則曲線積分,連續(xù),存在, 且有,特別是, 如果 L 的方程為,則,對空間光滑曲線弧 :,類似有,定理,14,例1,解,例2. 計算,其中L 為沿拋物線,解法1 取 x 為參數(shù), 則,解法2 取 y 為參數(shù), 則,從點,的一段.,例3. 計算,其中 L 為,(1) 半徑為 a 圓心在原點的,上半圓周, 方向為逆時針方向;,(2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的參數(shù)方程為,(2) 取 L 的方程為,則,則,例4. 計算,其中L為,(1) 拋物線,(2) 拋物線,(3) 有向折線,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,例5,解,例6. 設在力場,作用下, 質(zhì)點由,沿 移動到,解: (1),(2) 的參數(shù)方程為,試求力場對質(zhì)點所作的功.,其中 為,例7. 求,其中,從 z 軸正向看為順時針方向.,解: 取 的參數(shù)方程,例8. 已知,為折線 ABCOA(如圖), 計算,提示:,例9. 質(zhì)量為,的質(zhì)點，從空間一點A沿某光滑曲線C,移動到另一點B，求重力所做的功W。,四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,兩型線積分的異同,（1）第一型線積分無方向， 第二型線積分有方向。,（2）第一型線積分是對弧長的積分， 第二型線積分是對坐標的積分,（3）第一型線積分對應參數(shù)的下限小，上限大， 第二型線積分對應參數(shù)的下限為起點，上限為終點,（4）第一型線積分用于求質(zhì)量、質(zhì)心、轉動慣量等， 第二型線積分用于求變力作功、引力場作功等。,（5）兩類線積分的被積函數(shù)都定義在曲線上。,（6）兩類線積分的計算都是化為定積分計算的。,例9.,將積分,化為對弧長的積,分,解：,其中L 沿上半圓周,1. 定義,2. 性質(zhì),(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) L 表示 L 的反向弧,對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!,內(nèi)容小結,3. 計算, 對有向光滑弧, 對有向光滑弧,4. 兩類曲線積分的聯(lián)系, 對空間有向光滑弧 :,原點 O 的距離成正比,思考與練習,1. 設一個質(zhì)點在,處受,恒指向原點,沿橢圓,此質(zhì)點由點,沿逆時針移動到,提示:,(解見 P196 例5),備用題 1.,解:,線移動到,向坐標原點,其大小與作用點到 xOy 面的