高三年級(jí)數(shù)學(xué)(理科)調(diào)研測(cè)試試題

試卷類型：B廣州市2012屆高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試 數(shù) 學(xué)（理科） 2011.12本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并用2B鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂考生號(hào)。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案答案不能答在試卷上3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無(wú)效4作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)（或題組號(hào)）對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效5考生必須保持答題卡的整潔考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回參考公式：錐體體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)全集，集合，則等于ABCD2設(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知向量，若，則等于A B C D4等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則的值是A24 B48 C60 D725設(shè)隨機(jī)變量，且，則實(shí)數(shù)的值為A 4 B 6 C 8 D10 6在正四棱錐中，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則異面直線與所成角的大小為A B C D7已知函數(shù)，給出下面四個(gè)命題：函數(shù)的最小正周期為；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)8定義：若函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)變換后所得圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域與的值域相同，則稱變換是的同值變換下面給出四個(gè)函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的變換，其中不屬于的同值變換的是A，將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱B，將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱C，將函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D，將函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913題）9展開(kāi)式中的系數(shù)為 (用數(shù)字作答).10向面積為的三角形內(nèi)任投一點(diǎn)，則的面積小于的概率是 11已知程序框圖如右，則輸出的= 12已知實(shí)數(shù)滿足若目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)13已知直線與拋物線相交于、兩 點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則的值為 （二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）14（幾何證明選講選做題）如右圖，是圓的直徑，直線與圓相切于點(diǎn)， 于點(diǎn)，若圓的面積為，則的長(zhǎng)為 15（極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，曲線的方程為，則（為極點(diǎn)）所在直線被曲線所截弦的長(zhǎng)度為 三、解答題： 本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟16（本小題滿分12分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，（1）求的值；（2）求的長(zhǎng)17（本小題滿分12分）某城市為準(zhǔn)備參加“全國(guó)文明城市”的評(píng)選，舉辦了“文明社區(qū)”評(píng)選的活動(dòng)，在第一輪暗訪評(píng)分中，評(píng)委會(huì)對(duì)全市50個(gè)社區(qū)分別從“居民素質(zhì)”和“社區(qū)服務(wù)”兩項(xiàng)進(jìn)行評(píng)分，每項(xiàng)評(píng)分均采用5分制，若設(shè)“社區(qū)服務(wù)”得分為分，“居民素質(zhì)”得分為分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表： 社區(qū)數(shù)量居民素質(zhì)1分2分3分4分5分社區(qū)服務(wù)1分131012分107513分210934分6015分00113（1）若“居民素質(zhì)”得分和“社區(qū)服務(wù)”得分均不低于3分（即且）的社區(qū)可以進(jìn)入第二輪評(píng)比，現(xiàn)從50個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)社區(qū)，求這個(gè)社區(qū)能進(jìn)入第二輪評(píng)比的概率；（2）若在50個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)社區(qū)，這個(gè)社區(qū)的“居民素質(zhì)”得分的均值（即數(shù)學(xué)期望）為，求、的值18.（本小題滿分14分）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，將正方形沿對(duì)角線折起，使，得到三棱錐，如圖所示 （1）當(dāng)時(shí)，求證：；ABCDO（2）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求二面角的正切值19（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值本資料由七彩教育網(wǎng) 提供！20.（本小題滿分14分）已知數(shù)列中，且（1）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和21（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值廣州市2012屆高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù) 2對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算共8小題，每小題5分，滿分40分 題號(hào)12345678答案DDABADCB 二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分其中1415題是選做題，考生只能選做一題910 10 119 12 13. 141 15三、解答題： 本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟16（本小題滿分12分）解：（1）因?yàn)椋?分因?yàn)?，所?分因?yàn)椋?6分 8分（2）在中，由正弦定理，得，10分所以12分17（本小題滿分12分）解：（1）從表中可以看出，“居民素質(zhì)”得分和“社區(qū)服務(wù)”得分均不低于3分（即且）的社區(qū)數(shù)量為個(gè)2分設(shè)這個(gè)社區(qū)能進(jìn)入第二輪評(píng)比為事件，則所以這個(gè)社區(qū)能進(jìn)入第二輪評(píng)比的概率為4分（2）由表可知“居民素質(zhì)”得分有1分、2分、3分、4分、5分，其對(duì)應(yīng)的社區(qū)個(gè)數(shù)分別為個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)、9個(gè)6分所以“居民素質(zhì)”得分的分布列為：8分因?yàn)椤熬用袼刭|(zhì)”得分的均值（數(shù)學(xué)期望）為，所以10分即因?yàn)樯鐓^(qū)總數(shù)為個(gè)，所以解得，12分18（本小題滿分14分）（1）證明：根據(jù)題意，在中，所以，所以.2分 因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線，所以3分因?yàn)椋?4分 （2）解法1：由（1）知，如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，5分則有，設(shè)，則，6分又設(shè)面的法向量為，ABCDOyxz則即 所以，令，則所以8分因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，且二面角的大小為，9分所以，得因?yàn)?，所以解得所?0分設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，則，即令，則所以12分設(shè)二面角的平面角為，所以13分所以ABCDOHK 所以二面角的正切值為14分解法2：折疊后在中，在中，5分 所以是二面角的平面角， 即6分在中，所以7分如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)?，且，所以平?分因?yàn)槠矫?，所以又，且，所以平?分過(guò)點(diǎn)作作，垂足為，連接， 因?yàn)?，所以平?0分因?yàn)槠矫?，所以所以為二面角的平面?1分在中，則，所以12分在中，所以13分在中，所以二面角的正切值為14分19（本小題滿分14分）（1）由題設(shè)知，1分由，得3分解得所以橢圓的方程為4分（2）方法1：設(shè)圓的圓心為，則 6分 7分8分從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值9分因?yàn)槭菣E圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，10分所以，即11分因?yàn)辄c(diǎn)，所以12分因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值1213分所以的最大值為1114分方法2：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以 6分所以7分 9分因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即10分因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即11分所以12分因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，14分方法3：若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，6分由，解得7分因?yàn)槭菣E圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，即8分所以， 9分所以 10分因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值1111分若直線的斜率不存在，此時(shí)的方程為， 由，解得或不妨設(shè)，12分因?yàn)槭菣E圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，即所以，所以 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值1113分綜上可知，的最大值為1114分20（本小題滿分14分）（1）方法1：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列，則有 1分由，且，得，所以，2分所以，解得或3分當(dāng)時(shí)，且，有4分當(dāng)時(shí)，且，有5分所以存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公比是的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公比是的等比數(shù)列6分方法2：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，1分即，2分即3分與已知比較，令4分解得或5分所以存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公比是的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公比是的等比數(shù)列6分（2）解法1：由（1）知，7分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，8分 9分 10分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，11分 12分 13分故數(shù)列的前項(xiàng)和14分注：若將上述和式合并，即得解法2：由（1）知，7分所以，8分當(dāng)時(shí)， 因?yàn)橐策m合上式，10分所以所以11分則，12分13分 14分解法3：由（1）可知，7分所以8分則，9分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，10分 11分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，12分 13分故數(shù)列的前項(xiàng)和14分注：若將上述和式合并，即得21（本小題滿分14分）解：（1）1分因?yàn)闉榈臉O值點(diǎn)，所以2分即，解得3分又當(dāng)時(shí)，從而的極值點(diǎn)成立4分（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立5分當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以上為增函數(shù)，故符合題意6分當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必須有對(duì)恒成立，故只能，所以上恒成立7分令，其對(duì)稱軸為，8分因?yàn)樗?，從而上恒成立，只要即可?因?yàn)椋獾?分因?yàn)?，所以綜上所述，的取值范圍為10分（3）若時(shí)，方程可化為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，即求函數(shù)的值域11分以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：方法1：因?yàn)?，令，則，12分 所以當(dāng)，從而上為增函數(shù)， 當(dāng)，從而上為減函數(shù)，13分 因此而，故， 因此當(dāng)時(shí)，取得最大值014分方法2：因?yàn)椋栽O(shè)，則當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減；因?yàn)?，故必有，又?因此必存在實(shí)數(shù)使得， ，所以