數(shù)學(xué)建模作業(yè)1

班組：1班13組姓名：王文淑（200806410118） 李晶晶（200806410156） 王春玲（200806410143）題目：藥物在體內(nèi)的分布模型摘要：本文針對藥物在體內(nèi)的分布情況，以藥物在體內(nèi)均勻分布，被吸收，分解,排泄為假設(shè)基礎(chǔ)，利用藥物動力學(xué)理論，通過對房室的分析，針對單房室系統(tǒng)，建立起藥物變化所滿足的關(guān)系式(微分方程 )，并以三種常見給藥方式：快速靜脈注射模型，恒速靜脈點滴模型，口服和肌肉注射模型做了具體分析。該模型對于藥物的使用時間、使用劑量及給藥方式具有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義，但該模型假設(shè)條件太多，建立的模型相對簡單，因此提出應(yīng)用多變量多因素的改進(jìn)方案。關(guān)鍵詞：廣義指數(shù)分布 單房室系統(tǒng) 均勻分布 常微分方程正文 一、模型假設(shè)為了考查藥物在機(jī)體內(nèi)的分布情況, 將機(jī)體看作一個單房室系統(tǒng), 藥物在其中均勻分布, 被吸收、分解與排泄.根據(jù)以上假設(shè)給出一室模型的藥物轉(zhuǎn)移流程圖。 機(jī)體二、模型建立通過對房室的分析, 建立藥物變化所滿足的關(guān)系式(微分方程) , 測定它所包含的關(guān)鍵參數(shù), 從而求出藥物濃度在機(jī)體內(nèi)的分布變化規(guī)律.將機(jī)體看作一個單房室系統(tǒng), 假設(shè)機(jī)體內(nèi)藥物在任一時刻都是均勻分布的, t 時刻機(jī)體內(nèi)藥物總量為 x(t), 系統(tǒng)處于一種平衡中, 也就是有關(guān)系式（1）其中 和分別表示藥物輸入 ( 進(jìn)入) 和輸出機(jī)體內(nèi)的速率.藥物的輸出 ( 分解與排泄) 速率, 在同一個機(jī)體內(nèi)通?？梢哉J(rèn)為與藥物當(dāng)前的濃度成正比.則=kx（2）藥物的輸入規(guī)律與給藥方式有關(guān).三、模型求解下面研究三種常見的給藥方式下機(jī)體內(nèi)藥物的變化規(guī)律.1 快速靜脈注射快速靜脈注射時, 假設(shè)總量為 D 的藥物在瞬間注入機(jī)體內(nèi), 記機(jī)體的總體積為V.可以將系統(tǒng)近似地看作初始總量D, 濃度為D/V , 只輸出, 不輸入的房室, 則可以列出微分方程: （3）這是簡單的微分方程, 其解為 （4）機(jī)體內(nèi)藥物的濃度為 （5）在醫(yī)學(xué)上, c(t)叫做血漿藥物濃度.2 恒速靜脈點滴在恒速靜脈點滴時, 藥物以恒速進(jìn)入機(jī)體內(nèi),也就是=（6）由房室系統(tǒng)的假設(shè), 機(jī)體內(nèi)藥物總量滿足微分方程:（7）這是一階常系數(shù)線性微分方程, 其解為（8）從而（9）可以看出 （10）叫做穩(wěn)態(tài)血藥濃度.雖然點滴不可能無限期進(jìn)行下去, 但由于點滴的時間一般都比較長, 當(dāng)點滴結(jié)束時, 血液中藥物的濃度已經(jīng)非常接近此值.在現(xiàn)實生活中, 點滴一般都要反復(fù)幾次, 設(shè)點滴時間為 T1, 兩次點滴的時間間隔為 T2, 則在第一次點滴結(jié)束時機(jī)體內(nèi)藥物的濃度為（11）然后在停止點滴的時間段內(nèi), 患者體內(nèi)藥物只輸出, 不輸入.在這一時間段內(nèi), 血液濃度(3) 式,區(qū)別在于初值不同,也就是 （12）則在點滴的情況下,血藥濃度: 當(dāng)0t ( 第一次)時,為t時, （13） 可以類似地討論以后各次點滴時的情況,區(qū)別只在于初值上的不同.從第二次點滴起,患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零.3 口服或肌肉注射口服或肌肉注射時,雖然藥物進(jìn)入機(jī)體內(nèi)可以看作瞬時完成的, 但是它集中于體內(nèi)的某一部分,靠其表面與肌體的接觸而逐步被吸收.假設(shè):藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比 ,記比例常數(shù)為,t時刻藥物的殘留量為y(t),D為一次用藥總量,則 (14)因而y(t)=D (15)從而 (16)這是一階線性常微分方程,它的解是 (17)從而血藥濃度 (18)一般來說, , 也就是藥物未吸收完時,輸入速度大于分解與排泄速度.但也有例外,與藥物的性質(zhì)及機(jī)體對該藥物的吸收、分解能力有關(guān).當(dāng)時,將（18) 看作t固定, k時型未定式, 應(yīng)用羅比達(dá)法則, 可算出這種情況下血藥濃度為: （19）口服單劑SPLX 400mg 后的藥- 時曲線圖表1及口服單劑SPLX 400mg 尿藥排泄時間曲線圖表2圖表1 圖表2 四、 模型分析對于快速靜脈注射模型 (3),就是負(fù)增長率的Malthus模型.與放射性物質(zhì)類似,容易算出藥物的血漿半衰期: (20)對于恒速靜脈點滴模型, 第一次點滴結(jié)束時,體內(nèi)藥物的濃度為(11).到體內(nèi)藥物濃度達(dá)到點滴結(jié)束時濃度的一半所需時間,姑且也叫半期，則由于，解得 （21）在這兩種情形中,當(dāng)注射和點滴結(jié)束時,體內(nèi)藥物濃度達(dá)到最大值( 峰值),然后濃度單調(diào)遞減.對于口服和肌肉注射模型,考慮到藥物在生物體內(nèi),各藥物分子在機(jī)體內(nèi)滯留時間的長短,受個體差異,藥物的生化、藥理等各種隨機(jī)因素的影響,可假設(shè)為隨機(jī)變量.它反映藥物在機(jī)體內(nèi)吸收、分解和消除所相應(yīng)的總體效應(yīng).為了將藥物隨時間變化的曲線轉(zhuǎn)化為概率密度曲線,定義藥物在體內(nèi)滯留時間的概率密度函數(shù)為: （22） 由(18)式: （23） 則 （24） 這正是文1中討論的廣義指數(shù)分布的概率密度函數(shù),由文1可以得到如下結(jié)論:a.藥物濃度的極大指點為,也就是兩個速率常數(shù)和的倒對數(shù)平均值.b.藥物在體內(nèi)的平均滯留時間為其數(shù)學(xué)期望,也就是藥物平均吸收時間與平均消除時間之和.c.藥物在體內(nèi)滯留時間的方差為,標(biāo)準(zhǔn)差為.由此也可以看到廣義指數(shù)分布的應(yīng)用及參數(shù)的實際意義。五、 模型優(yōu)缺點優(yōu)點 將模型應(yīng)用到常見的給藥方式中，具有一定的實際意義，模型建立過程中用到用到常微分方程，廣義指數(shù)分布的概率密度函數(shù)，使模型直觀易懂。缺點 沒能夠?qū)C(jī)體較復(fù)雜的運行機(jī)制考慮進(jìn)去，使模型相對簡單。六、 參考文獻(xiàn)1 劉國祥. 廣義指數(shù)分布. 赤峰學(xué)院學(xué)報, 2007,( 3) : 1- 8.2 姜啟源, 等.數(shù)學(xué)模型.北京: 高等教育出版社,2003.3 胡鵬. 新喹諾酮類抗菌藥司帕沙星. 國外醫(yī)藥抗生素分冊,1998; 19( 1) : 654 Johnson J H, Cooper M A, Andrew s J M, et a