§6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用.ppt

6.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用,高 效 梳 理 gao xiao shu li,課前必讀知識(shí)備考,等差、等比交匯，考查數(shù)列的綜合問題. 以遞推關(guān)系為背景，考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和. 數(shù)列與函數(shù)、不等式交匯，考查數(shù)列的綜合應(yīng)用. 以實(shí)際問題為背景，考查數(shù)列的應(yīng)用.,(1)解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟 審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意 建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么 求解求出該問題的數(shù)學(xué)解 還原將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中,(2)數(shù)列應(yīng)用題常見模型 等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差 等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比數(shù)列，這個(gè)固定的數(shù)就是公比,(3)與銀行利率相關(guān)的幾類模型銀行儲(chǔ)蓄單利公式利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和ya(1xr)，屬于等差模型.銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和ya(1r)x，屬于等比模型產(chǎn)值模型原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值yN(1p)x.,(4)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，是隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮是an與an1的遞推關(guān)系，還是前n項(xiàng)和Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系(5)分期付款模型設(shè)貸款總額為a，年利率為r，等額還款數(shù)為b，分n期還完，則ba.,(5)分期付款模型設(shè)貸款總額為a，年利率為r，等額還款數(shù)為b，分n期還完，則b,考 點(diǎn) 自 測(cè) kao dian zi ce,課前熱身基礎(chǔ)備考,1已知等差數(shù)列an的公差d0，它的第1、5、17項(xiàng)順次成等比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的公比是( ),答案：B,2已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線yx22x3的頂點(diǎn)是(b，c)，則ad等于( ) A3 B2 C1 D2,答案：B,解析：由于a，b，c，d成等比數(shù)列，所以有bcad.曲線yx22x3(x1)22的頂點(diǎn)為(1,2)，所以b1，c2，所以adbc2.,3數(shù)列an的通項(xiàng)公式是關(guān)于x的不等式x2xnx(nN*)的解集中的整數(shù)個(gè)數(shù)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn( ),答案：C,4某種產(chǎn)品三次調(diào)價(jià)，單價(jià)由原來的每克512元降到216元，則這種產(chǎn)品平均每次降價(jià)的百分率為_,解析：設(shè)平均每次降價(jià)百分率為x，則512(1x)3216，x0.25.,答案：25%,5萊因德紙草書是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得,解析：設(shè)公差為d(d0)， 則5份分別為202d,20d,20,20d,202d， 則7(202d20d)20(20d)(202d)，,題 型 突 破 ti xing tu po,互動(dòng)探究方法備考,題型一ti xing yi,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 【例1】已知等差數(shù)列an中，a11，公差d0，且a2，a5，a14分別是等比數(shù)列bn的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng) (1)求an、bn的通項(xiàng)公式；,解析：(1)等差數(shù)列an中的a2，a5，a14分別是等比數(shù)列bn的第二、三、四項(xiàng)，且a11， (1d)(113d)(14d)2，d2，an2n1. 又公比q3，a2b23，b11， bnb1qn113n13n1. 故an2n1，bn3n1.,創(chuàng)新預(yù)測(cè)1 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且2，an，Sn成等差數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,解析：(1)由題意知2anSn2，an0， 當(dāng)n1時(shí)，2a1a12，a12. 當(dāng)n2時(shí)，Sn2an2，Sn12an12，,數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 ana12n122n12n.,題型二ti xing er,以遞推關(guān)系為背景的數(shù)列的綜合,又anan10，anan12(n2)， 數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列， an32(n1)2n1.,(3)Tn321522(2n1)2n0， 又2Tn0322(2n1)2n(2n1)2n1， 得 Tn3212(22232n)(2n1)2n1 6822n1(2n1)2n1 (2n1)2n12， Tn(2n1)2n12.,題型三ti xing san,數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合,(2)由(1)得an4n2202logabn，bna2n11. 結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)， 當(dāng)0a1時(shí)，由a2n111，得n5.5， 顯然不存在滿足條件的自然數(shù)m； 當(dāng)a1時(shí)，由a2n111，得n5.5， 存在m6,7,8，使當(dāng)nm時(shí)bn1成立， m的最小值是6.,解析：原不等式的解集為x|0xn1，nN*， 因此ann.,題型四ti xing si,數(shù)列與實(shí)際問題的綜合 【例4】我國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，隨著時(shí)間推移，老齡化現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，為緩解社會(huì)和家庭壓力，決定采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d0)，因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a1，a2，an是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說，如,果固定年利率為r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1(1r)n1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍2(1r)n2，以Tn表示第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額 (1)寫出Tn與Tn1(n2)的遞推關(guān)系式； (2)求證：TnAnBn，其中An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列,解析：(1)由題意可得TnTn1(1r)an(n2) (2)T1a1，對(duì)n2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 TnTn1(1r)an Tn2(1r)2an1(1r)an a1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，,創(chuàng)新預(yù)測(cè)4 某市2008年共有1萬輛燃油型公交車，有關(guān)部門計(jì)劃于2009年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%，試問： (1)該市在2015年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車？,解析：(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列an，其中a1128，q1.5，則在2015年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7a1q61281.561 458(輛),對(duì) 接 高 考 dui jie gao kao,試題調(diào)研方向備考,1(2010石家莊市質(zhì)檢二)已知數(shù)列an滿足a11，an12an(1)n(nN*),高 效 作 業(yè) gao xiao zuo ye,自我測(cè)評(píng)技能備考,一、選擇題,答案：B,2某工廠總產(chǎn)值月平均增長(zhǎng)率為p，則年平均增長(zhǎng)率為( ) Ap B12p C(1p)12 D(1p)121,答案：D,解析：設(shè)1月份產(chǎn)值為1，年平均增長(zhǎng)率為x，依題意得,3某人為了觀看2010年南非足球世界杯，從2006年起，每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到2010年的5月1日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢(元)的總數(shù)為( ) Aa(1p)4 Ba(1p)5,答案：D,解析：依題意，可取出錢的總數(shù)為,4(2009福建龍巖模擬)在等比數(shù)列an中，a12，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn( ) A2n12 B3n C2n D3n1,答案：C,解析：因數(shù)列an為等比數(shù)列，則an2qn1，因數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則(an11)2(an1)(an21)a2an1anan2anan2anan22an1an(1q22q)0q1，即an2，所以Sn2n.,5拋物線y(n2n)x2(2n1)x1與x軸交點(diǎn)分別為An，Bn(nN*)，以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|的值是( ),答案：B,解析：令y0，則(n2n)x2(2n1)x10， 設(shè)兩根分別為x1，x2.,答案：B,二、填空題,5,14,解析：由于f(x)tanxsinx，顯然該函數(shù)為奇函數(shù),三、解答題 10(2009廣東六校聯(lián)考)一輛郵政車自A城駛往B城，沿途有n個(gè)車站(包括起點(diǎn)站A和終點(diǎn)站B)，每?？恳徽颈阋断虑懊娓髡景l(fā)往該站的郵袋各一個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個(gè)，設(shè)該車從各站出發(fā)時(shí)郵政車內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個(gè)有窮數(shù)列ak(k1,2,3，n)試求： (1)a1，a2，a3. (2)郵政車從第k站出發(fā)時(shí)，車內(nèi)共有郵袋數(shù)多少個(gè)？ (3)求數(shù)列ak的前k項(xiàng)和Sk.,解析：(1)由題意得a1n1， a2(n1)(n2)1， a3(n1)(n2)(n3)12.,(2)從第k站出發(fā)時(shí)，放上的郵袋共： (n1)(n2)(nk)個(gè)， 而從第二站起，每站放下的郵袋共： 123(k1)個(gè)， 故ak(n1)(n2)(nk)12(k1),(3)akkn