保險(xiǎn)精算》之二--利息理論.ppt

保險(xiǎn)精算之二,王 明 征 大連理工大學(xué)管理學(xué)院 2009年11月,第二章 利息理論,2,利息的基本理論,利息是借入資本需要支付的使用價(jià)值或 出讓資本使用權(quán)得到的報(bào)酬： 在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，資金的周轉(zhuǎn)使用會(huì)帶來價(jià)值的增值。資金周轉(zhuǎn)使用時(shí)間越長，實(shí)現(xiàn)的價(jià)值增值就越大。同時(shí)，由于受通貨膨脹的影響，等額的貨幣在不同時(shí)間上的實(shí)際價(jià)值也不同。 利息的計(jì)算與累積函數(shù)的形式、利息的計(jì)算次數(shù)、投資時(shí)期長短等有關(guān),3,一、累積函數(shù),總額函數(shù)： 累積函數(shù)是單位本金的累計(jì)額，以 表示。 其中， ， 。,4,累積函數(shù),a(t)通常為t 的連續(xù)函數(shù)，在坐標(biāo)平面上表現(xiàn)為通過（0，1）點(diǎn)的曲線，如圖2-1和圖2-2所示 a(t)為增函數(shù)時(shí)才能保證總額函數(shù)的遞增性和存在正的利息。 有時(shí)，當(dāng)利息定期結(jié)算時(shí)，也表現(xiàn)為不連續(xù)的階梯函數(shù)，在定期內(nèi)，為常數(shù)，定期結(jié)算后，上一個(gè)臺(tái)階，如圖2-3所示。,5,利息率,利息率 1年內(nèi)1單位本金的利息就是實(shí)際年利息率 以 表示第n個(gè)基本計(jì)息時(shí)間單位的實(shí)際利率,6,單利和復(fù)利,單利：只在本金上生息 設(shè)第t年實(shí)際利率it，1年末的累積額為: 第2年末的累積額為: 當(dāng)各年利率均為i時(shí)，有,7,單利和復(fù)利,復(fù)利：在本金和利息上生息 設(shè)第t年實(shí)際利率it，1年末的累積額為: 第2年末的累積額為: 當(dāng)各年利率均為i時(shí)，有,8,單利與復(fù)利的區(qū)別：,利息可以按年結(jié)算，也可以按半年、季度和月結(jié)算。在單利下，計(jì)息單位不影響利息額；在復(fù)利下，年利使率不變，但結(jié)算的時(shí)間單位不同，也會(huì)使實(shí)際利息值不同。,9,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,10,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,在復(fù)利下，,11,例2.1：某人1997年1月1日借款1000元，假設(shè)借款年利息率為5%，試分別以單利和復(fù)利計(jì)算： （1）如果1999年1月1日還款，需要的還款總額為多少？ (2) 如果1997年5月20日還款，需要的還款總額為多少？ (3) 借款多長時(shí)間后需要還款1200元？,12,例2.2 ：以10000元本金進(jìn)行5年投資，前2年的利率為5%，后3年的利率為6%，以單利和復(fù)利分別計(jì)算5年后的累積資金。,13,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,在單利下，,14,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,貼現(xiàn)率：單位貨幣在單位時(shí)間內(nèi)的貼現(xiàn)額，單位時(shí)間以年度衡量時(shí)，成為實(shí)際貼現(xiàn)率。 d表示一年的貼現(xiàn)率: dn表示第n年貼現(xiàn)率:,15,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,16,可見， di,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,17,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,18,19,20,名義利率與名義貼現(xiàn)率,名義利率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年利率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)，,21,名義利率與名義貼現(xiàn)率,名義貼現(xiàn)率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年貼現(xiàn)率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)，,22,23,24,25,利息力,利息力：衡量確切時(shí)點(diǎn)上利率水平的指標(biāo)。 定義利息力為，,26,故，,27,1 2 3 4 5 6 7 8,28,30000,20000,X,50000,利息問題實(shí)踐：,29,6000,X,-12000,1995 1997 2001 2004,8000,30,4000,6000,X,5000,1996 2000 2002 2003,31,2000,6000,X,2000,1998,1995,7100,年金,年金：是收付款的一種方式，每隔一個(gè)相等的時(shí)間間隔的一系列固定數(shù)額的收付款方式。 例如：購房時(shí)的按揭付款方式；退休購買養(yǎng)老金 期首付年金 期末付年金,32,期首付年金現(xiàn)值,33,期末付年金現(xiàn)值,34,期首付年金終值,35,對(duì)于n年定期、每年1元、期首付的年金在n年末的終值為：,期末付年金終值,36,對(duì)于n年定期、每年1元、期末付的年金在n年末的終值為：,等額確定年金的終值和現(xiàn)值,37,n年定期的每年1單位元期首付年金、期末付年金的現(xiàn)值和終值間關(guān)系圖,一年多次收付的年金,對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金現(xiàn)值，以 表示，,38,一年多次收付的年金,39,對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金現(xiàn)值以 表示，,一年多次收付的年金,40,對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期首付年金在n 年末的終值為，,一年多次收付的年金,41,對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金在n 年末的終值為，,42,X,X,X,X,X,1,2,3,30,29, .,. . .,43,X,X,X,X,X,0,1,2,14,15,. . .,. . .,2000,44,45,永續(xù)年金,46,定義： 收付時(shí)期沒有限制，每隔一個(gè)間隔永遠(yuǎn)連續(xù)收付的 年金，相當(dāng)于前面定期年金當(dāng)時(shí)期n趨于無窮大時(shí) 的值。,每年一元期末付永續(xù)年金現(xiàn)值 為，,永續(xù)年金,47,其他永續(xù)年金現(xiàn)值為：,變額年金,變額年金是每次收付額不等的年金 常見的有， 每次收付額等差遞增或遞減 每次收付額等比遞增,48,變額遞增年金,如果在n年定期內(nèi)，第一年末收付1單位元，第2年末收付2單位元，以后每次比上一次遞增1單位元的期末付年金現(xiàn)值以 表示。,49,變額遞增年金,50,兩者相減后得,代入上式后得,上述年金期首付時(shí)，年金現(xiàn)值為,變額遞減年金,51,當(dāng)?shù)谝荒晔崭秐元，以后每隔一年收付額減少一單位元的n年定期遞減的期末付年金為，,上述定期遞減年金在期首付時(shí)，為,變額年金的終值是相應(yīng)年金現(xiàn)值與利率累積系數(shù)之積,等比遞增年金,52,對(duì)等比遞增的年金，如果第一年1單位元，以后收付額 每年遞增j比例，n年定期的年金現(xiàn)值為：,53,54,等額分期償還,等額分期償還債務(wù)的方法是在規(guī)定的還款期內(nèi) 每次償還相等數(shù)額的還款方式。 每次償還金額為,55,56,在每期償還的金額中，既包含當(dāng)期應(yīng)償還的利息，也包含部分本金。償還的利息等于期初尚未償還本金余額與當(dāng)期實(shí)際利率的乘積，每期的償還金額扣減償還的利息就是償還的本金部分。 未償還本金余額就是計(jì)算日尚未償還的借款。我們用 表示第k期末的未償還本金余額，也就是第k次還款后需要在以后償還的剩余還款額。 經(jīng)過n期償還，在第n期末將還清全部借款，借款余額為0. 中間時(shí)點(diǎn)，未償還本金余額可以采取過去法和將來法： 在過去法下，未償還本金余額等于借款本金扣減過去已償還本金的差額。設(shè)每期期初的本金金額為 ，則每期的利息分別為 ，各期償還的本金為 因此，各期末未償還本金余額為： 由此可見，第k期末的未償還本金余額等于原始本金在k期末的累積值與過去所有已支付的款項(xiàng)在k期末的累計(jì)值的差額。,57,將來法下，未償還本金余額是將來需要償還的總金額在計(jì)算時(shí)的現(xiàn)值 利用將來法與過去法計(jì)算的未償還本金余額是相等的：,等額分期償還表,58,變額分期償還,變額分期償還指每期償還的金額不等的還款方式。 原始貸款金額為B0 ，第k 期償還的金額為Rk （k=1，2，,n）,59,例 2.26,60,一筆金額為nR 元的貸款，年利率為i ，期限為n 年，每年償還R 元本金，其分期償還表如下：,償債基金,償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款的利息，同時(shí)為了能夠在貸款期末一次性償還貸款的本金，定期向一個(gè)“基金”供款，使該“基金”在貸款期末的積累值正好等于貸款本金。這一基金稱為償債基金，其基金累計(jì)的利率與貸款利率可能相等，也可能不等。,61,等額償債基金,等額償債基金方法下借款人每期向償債基金的儲(chǔ)蓄金額相等，設(shè)為D ，如果該償債基金每期的利率恒為j，n 為貸款期限，當(dāng)期支付的利息設(shè)為I，則借款人每期支付總金額為： 假設(shè)償債基金的利率與貸款利率相等，即j =i ，則借款人每期支付總金額為，,62,變額償債基金,設(shè)原始貸款本金為B0 ，貸款利率為i ，償債基金利率為j ，借款人在第k 期末支付的總金額為Rk （k=1，2，n），則，第k 期末向償債基金的儲(chǔ)蓄額為(Rk iB0)，償債基金在第n 期末的累積值等于原始貸款本金B(yǎng)0 ，即， 當(dāng)i= j時(shí)，,63,債券價(jià)值,按利息的支付方式，債券可分為零息債券和附息債券兩種。零息債券在債券到期前不支付利息，而是在債券到期時(shí)隨本金一次性支付所累計(jì)的利息。附息債券由發(fā)行人在到期日前定期支付利息，投資者可定期獲得固定的息票收入。 債券定價(jià)原理：債券的理論價(jià)格就是債券未來息票收入的現(xiàn)值和到期償還值的現(xiàn)值之和。 基本符號(hào)和概念： P債券的理論價(jià)格； i投資者要求的收益率或市場利率； F債券的面值； C債券的償還值； r債券的息票率； rF每期的息票收入；g債券的修正息票率；n息票的償還次數(shù)； K償還值按收益率i 計(jì)算的現(xiàn)值； G債券的基價(jià)，,64,債券價(jià)值,65,債券的價(jià)格基本公式：,溢價(jià)公式:,債券的價(jià)格應(yīng)該等于債券未來收益的現(xiàn)值，即等于 按市場利率 i計(jì)算的未來息票收入現(xiàn)值與償還值的現(xiàn)值 之和,當(dāng)債券的價(jià)格P超過其償還值C時(shí) 債券按溢價(jià)出售; 當(dāng)債券的價(jià)格P低于其償還值時(shí) 債券按折價(jià)發(fā)行。 溢價(jià)的正負(fù)對(duì)應(yīng)于修正息票率g與市場利率i的關(guān)系。,債券的價(jià)格等于未來息票收入的現(xiàn)值和到期償還值的現(xiàn)值之和，K是到期償還值的現(xiàn)值。,66,基價(jià)公式：,Makeham公式：,債券的基價(jià)是投資者為了獲得與息票收入rF相等的利息收入所必需的投資額，即iG=rF 。