閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明.ppt

4.2 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明,一、性質(zhì)的證明 3.2 給出了閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì):有界性、最值性和零點(diǎn)定理，沒有給予證明。本節(jié)除給出這三個(gè)性質(zhì)的證明外，還要引入一個(gè)新 概念一致連續(xù)，并證明閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)必是一致連續(xù)（第四個(gè)性質(zhì)）。這四個(gè)性質(zhì)都是建立在實(shí)數(shù)連續(xù)性的基礎(chǔ)之上。因此，他們的證明要應(yīng)用4。1中描述實(shí)數(shù)集連續(xù)性的定理。 定理1.（有界性) 若函數(shù) 在閉區(qū)間 連續(xù)，則函數(shù) 在閉區(qū)間 有界，即 ，有 證法 有已知條件得到函數(shù)有 在 的每一點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域有界。要將函數(shù) 在每一點(diǎn)的領(lǐng)域有界擴(kuò)充到在閉區(qū)間 有界，可應(yīng)用有限覆蓋定理，從而能找到 。 證明 已知函數(shù) 在 連續(xù)，根據(jù)連續(xù)定義，,有 從而 ， 即 ,函數(shù) 在開區(qū)間 有界。顯然，開區(qū)間集 覆蓋閉區(qū)間 .根據(jù)有限覆蓋定理（4.1定理3），存在有限個(gè)開區(qū)間，設(shè)有n個(gè)開區(qū)間,也覆蓋閉區(qū)間 ，且 ，有 。 取 。于是， ，且 ， 有 。 定理2、（最值性）若函數(shù) 在閉區(qū)間 連續(xù)，則函數(shù) 在 取到最小 值 與最大值 ，即在 上存在 與 ，使 與 且 ，有 。 證法 只給出取到最大值的證明。根據(jù)定理1，函數(shù) 在 有界。設(shè),。只須證明， ，使 ，即函數(shù) 在 取到最大值。 證明 設(shè) 。用反證法。假設(shè) ，有 。顯然，函數(shù) 在 連續(xù)，且 。于是，函數(shù) 在 也連續(xù)。根據(jù)定理1，存在 ， 有 或 即 不是數(shù)集 的上確界，矛盾。于是 ，使 。,定理3.（零點(diǎn)定理） 若函數(shù) 在閉區(qū)間 連續(xù)，且 （即 與 異號(hào)），則在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 。 證明 不妨設(shè) 。用反證法。假設(shè) ， 有 ，將閉區(qū)間 二等分，分點(diǎn)是 。已知 ，如果 ，則函數(shù) 在閉區(qū)間 的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)相反；如果 ，則函數(shù) 在閉區(qū)間 的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)相反。于是，兩個(gè)閉區(qū)間 與 必有一個(gè)使函數(shù) 在其兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)相反。將此閉區(qū)間表為為 ，有 。,再將 二等分，必有一個(gè)閉區(qū)間，函數(shù) 在其兩個(gè)端點(diǎn) 的函數(shù)值符號(hào)相反。將此閉區(qū)間表為 ,有 。 用二等分方法無限進(jìn)行下去，得到閉區(qū)間列 ，且 1） 2） 。 對每個(gè)閉區(qū)間 ，有 。根據(jù)閉區(qū)間套定理 (4.1定理1)，存在唯一數(shù) 屬于所有的閉區(qū)間，且 （1）,而 ，且 ，設(shè) 。一方面，已知函數(shù) 在 連續(xù)，根據(jù)連續(xù)符號(hào)大的保號(hào)性， ，即 有 ；另一方面，由（1）式，當(dāng) 充分大時(shí)，有 。已知 ，即函數(shù) 在 中某點(diǎn)的函數(shù)值小于0，矛盾。于是， 。 同法可證 。所以閉區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ， 使 。 二、一致連續(xù)性 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 連續(xù)。即 函數(shù) 在 連續(xù)。根據(jù) 連續(xù)定義， （滿足連續(xù)定義的 有無限多，取較大者）， ，有 。 從連續(xù)的定義不難看到， 的大小，一方面與給定的 有關(guān)；另一方面與點(diǎn) 的位置也有關(guān)，也就是，當(dāng) 暫時(shí)固定時(shí)，因點(diǎn) 位置的不同，,的大小也在變化。如圖4.2，當(dāng) 暫時(shí)固定時(shí)，在點(diǎn) 附近，函數(shù)圖像變化比較“慢”，對應(yīng)的 較大；在 附近，函數(shù)圖像變化比較“快”，對應(yīng)的 較小。于是，當(dāng) 暫時(shí)固定時(shí)， ， ，有 。 無限多個(gè) ，存在無限多個(gè) ，那么在無限多個(gè) 中是否存在最小的正數(shù)呢？換句話說，對無限多個(gè) 是否存在一個(gè)通用的 （ 即 ，,圖 4.2,有 ）呢？事實(shí)上，在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)中，有的不存在通用的 ，有的存在通用的 。 定義 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義。若 （通用的 ）， ，有 稱函數(shù) 在 一致連續(xù)（或均勻連續(xù)）。 根據(jù)一致連續(xù)的定義，若函數(shù) 在 一致連續(xù)，則函數(shù) 在 必連續(xù)。事實(shí)上，將 固定，令 變化，即函數(shù) 在 連續(xù)。因?yàn)?是 的任意一點(diǎn)，所以函數(shù) 在 連續(xù)。 一致連續(xù)的否定就是非一致連續(xù)?，F(xiàn)將一致連續(xù)與非一致連續(xù)列表對比如下：函數(shù) 在區(qū)間,例1. 證明函數(shù) 在 一致連續(xù)，在 非一致連續(xù)。 證明 要使不等式 成立。從不等式 ,解得 。取 。 于是， 有 即函數(shù) 在 一致連續(xù)。,有 即函數(shù) 在 非一致連續(xù)。 例2. 證明：函數(shù) 在 一致連續(xù)。 證明 ，要使不等式 成立。取 。于是， 有,即函數(shù) 在 一致連續(xù)。 定理4.（一致連續(xù)性） 若函數(shù) 在閉區(qū)間 連續(xù)，則函數(shù) 在閉區(qū)間 一致連續(xù)。 證法 應(yīng)用反正法與致密性定理。 證明 假設(shè)函數(shù) 在 非一致連續(xù)，即 有 取 ， 有,， 有 ， 有 這樣在閉區(qū)間 內(nèi)構(gòu)造兩個(gè)有界數(shù)列 與 。 根據(jù)致密