《二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)》PPT課件.ppt

第二節(jié) 偏 導(dǎo) 數(shù),一、 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法,二 、高階偏導(dǎo)數(shù),一、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法,引例:,研究弦在點(diǎn) 處的振動(dòng)速度與加速度 ,就是,中的 固定于 處,求,一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).,關(guān)于 t 的,將振幅,定義1.,在點(diǎn),存在,則稱此極限為函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù)，記為,的某鄰域內(nèi)極限,設(shè)函數(shù),注意:,同樣可定義對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù),若函數(shù) 在域 內(nèi)每一點(diǎn) 處對(duì) x,則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為,偏導(dǎo)數(shù) ,記為,或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,例如, 三元函數(shù) 在點(diǎn) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù),偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) .,定義為,(請(qǐng)自己寫(xiě)出),二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,是曲線,在點(diǎn) M0 處的切線,對(duì) x 軸的斜率.,在點(diǎn)M0 處的切線,斜率.,是曲線,對(duì) y 軸的,顯然,例如,注意：函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,但在該點(diǎn)不一定連續(xù).,在上節(jié)已證 在點(diǎn) 并不連續(xù)!,例1 求,解法1,解法2,在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).,例2 設(shè),證,例3 求,的偏導(dǎo)數(shù) . (P14 例4),解,求證,偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè),例4 已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證:,證:,說(shuō)明:,(R 為常數(shù)) ,不能看作,分子與分母的商 !,此例表明,整體記號(hào),二、高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，,則稱它們是z = f ( x , y ),的二階偏導(dǎo)數(shù) .按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):,類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).,例如， 關(guān)于 的三階偏導(dǎo)數(shù)為,關(guān)于 的 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 的一階偏導(dǎo),數(shù)為,例5,設(shè),求,解,例6 求函數(shù),解,注意: 此處,但這一結(jié)論并不總成立.,的二階偏導(dǎo)數(shù)及,例如,二者不等,例7 證明函數(shù),滿足拉普拉斯,證,利用對(duì)稱性 , 有,方程,則,定理,例如, 對(duì)三元函數(shù),說(shuō)明:,本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.,函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 ,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo),數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.,因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,而初等,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn) 連續(xù)時(shí), 有,(證明略),證:令,則,則,定理,令,同樣,在點(diǎn),連續(xù),得,內(nèi)容小結(jié),1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論,定義; 記號(hào); 幾何意義,函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù),混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān),2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法,先代