數(shù)學(xué)物理方程綜述.ppt

第十八章 數(shù)學(xué)物理方程綜述,18.1 線性偏微分方程解法綜述,對于二階線性偏微分方程定解問題，前面我們介紹了 幾種主要解法，并詳細(xì)闡述了其解題思路為了理解方便， 對它們綜述如下：,1.行波法：先求出滿足定解問題的通解，再根據(jù)定解條件 確定其定解問題的解. 行波法是通解法中的一種特殊情形, 行波法又稱達(dá)朗貝爾(dAlembert)解法. 它不僅可以求解無 界區(qū)域的線性偏微分方程，而且能求解某些非線性偏微 分方程,2.分離變量法：先求出滿足一定條件（如邊界條件）的特 解族，然后再用線性組合的辦法組合成級數(shù)或含參數(shù)的積分, 最后構(gòu)成適合定解條件的特解；,這是求解線性偏微分方程定解問題的最主要方法從理 論上說，分離變量法的依據(jù)是SturmLiouville型方程的本 征值問題從解題步驟上看，要求本征值問題所對應(yīng)的定解 條件必須是齊次的(若為非齊次，則需先齊次化)從而使 得這種解法對于定解問題中微分方程的具體形式有一定的 限制，同時對所討論問題的空間區(qū)域形狀也有明顯限制并且 還涉及到正交曲面坐標(biāo)系的選取,在具體求解時，當(dāng)然還必須求解相應(yīng)的常微分方程 的本征值問題除了本書中介紹過的幾個本征值問題外， 也可能會出現(xiàn)其他的特殊函數(shù),3 冪級數(shù)解法：就是在某個任選點的鄰域上，把待求的解 表示為系數(shù)待定的級數(shù)，代入方程以逐個確定系數(shù)勒讓 德多項式、貝塞爾函數(shù)即用冪級數(shù)解法求解得出這種解 法普遍，但計算量大，較為繁瑣必要時可借助于計算機(jī) 迭代計算,4 格林函數(shù)法：這種方法具有極大的理論意義它給出了 定解問題的解和方程的非齊次項以及定解條件之間的關(guān)系， 因而便于討論當(dāng)方程的非齊次項或定解條件發(fā)生變化時，解 是如何相應(yīng)地發(fā)生變化的. Green函數(shù)法，已經(jīng)成為理論物 理研究中的常用方法之一,5. 積分變換方法：這種方法的優(yōu)點是減少方程自變量的 數(shù)目從原則上說，無論對于時間變量，還是空間變量； 無論是無界空間，還是有界空間；都可以采用積分變換,的方法求解線性偏微分方程的定解問題但從實際計算上 看，還需要根據(jù)方程和定解條件的類型，選擇最合適的積 分變換反演問題，是關(guān)系到擬采用的積分變換是否實際 可行的關(guān)鍵問題反演時涉及的積分很簡單，甚至有現(xiàn)成 的結(jié)果(如查積分變換表，專用工具書等)可供引用，采用 積分變換的確可以帶來極大的便利但若涉及的積分比較 復(fù)雜，而且沒有現(xiàn)成的積分變換結(jié)果可供引用，那么反演 問題就成為了積分變換的難點,積分變換法和分離變量法存在密切的聯(lián)系例如， 當(dāng)本征值過渡到連續(xù)譜時，分離變量法就變?yōu)橄鄳?yīng)的積分 變換法,另外，從實用的角度來看，如果空間是有界的，一般 說來，積分變換和分離變量法沒有什么差別，故仍不妨采用 分離變量法,積分變換方法也具有分離變量法所沒有的優(yōu)點：它還可以 應(yīng)用于求解某些非線性偏微分方程,6. 保角變換法這種方法的理論基礎(chǔ)是解析函數(shù)所代表的變換具有保角性這種解法主要用于二維Laplace 方程或Poisson方程的邊值問題，因為在保角變換下，前者的形式不變，后者也只是非齊次項作相應(yīng)的改變粗略地說，運用保角變換，可以把“不規(guī)則”的邊界形狀化為規(guī)則的邊界形狀例如，可以把多邊形化為上半平面或單位圓內(nèi)再結(jié)合上半平面或圓內(nèi)的Poisson公式，就能直接求出二維Laplace方程的解,運用保角變換，可以解決一些典型的物理問題或工程問題例如，有限大小的平行板電容器的邊緣效應(yīng)問題，空氣動力學(xué)中的機(jī)翼問題，以及其他一些流體力學(xué)問題又如，應(yīng)用保角變換法，可以把偏心圓化為同心圓,7. 變分法這個方法具有理論價值和實用價值在理論上，它可以把不同類型的偏微分方程的定解問題用相同的泛函語言表達(dá)出來(當(dāng)然不同問題中出現(xiàn)的泛函是不同的)，或者說，把,不同的物理問題用相同的泛函語言表達(dá)出來正是由于這個原因，變分或泛函語言已經(jīng)成為表述物理規(guī)律的常用工具之一在實用上，變分法又提供了一種近似計算的好辦法有效地利用物理知識，靈活巧妙地選取試探函數(shù)，可以使計算大為簡化在物理學(xué)中，無論過去或現(xiàn)在，變分法都是常用的一種近似計算方法,例如，在原子和分子光譜的計算中就廣泛地采用了變分法,8.計算機(jī)仿真解法：利用數(shù)學(xué)工具軟件（Matlab,Mathematic, Mathcad）和常用計算機(jī)語言（Visual C+）等實現(xiàn)對數(shù)學(xué)物理 方程的求解，參考計算機(jī)仿真部分對三類典型的數(shù)學(xué)物理方程的 求解及其解的動態(tài)演示,9.數(shù)值計算法: 對于邊界條件復(fù)雜，幾何形狀不規(guī)則的數(shù)學(xué)物理定解問題，精確求解很困難，甚至不可能的情形，擬采用數(shù)值求解的方法其中主要的數(shù)值解法包括：有限差分法、蒙特卡洛（Monte-Carlo）法等,18.2 非線性偏微分方程,前面我們討論了線性偏微分方程定解問題的解法, 而現(xiàn)實中的許多物理現(xiàn)象都是非線性地依賴于一些物理參量變化的, 從而描述這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)物理方程就是非線性偏微分方程. 非線性偏微分方程有許多不同于線性偏微分方程的特征, 比如線性偏微分方程的疊加原理對非線性偏微分方程就不再成立, 從而基于疊加原理的求解方法對非線性偏微分方程就不再適用. 另外, 解的性質(zhì)也有許多本質(zhì)的變化.,自20世紀(jì)60年代以來，非線性方程在物理、化學(xué)、生物等各 個學(xué)科領(lǐng)域中不斷出現(xiàn)，其研究內(nèi)容日趨豐富與線性方程的 定解問題一樣，非線性方程同樣存在定解問題的適定性，但后 者要復(fù)雜得多限于篇幅，我們主要介紹物理現(xiàn)象中典型的非 線性方程及其求解方法，它們在非線性光學(xué)、量子場論和現(xiàn)代 通信技術(shù)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景,典型非線性方程及其行波解,在無限空間，線性或非線性偏微分方程,（18.2.1）,其中,為包括時間,和空間,偏導(dǎo)數(shù)的微分算子。形如,的解，稱為上式的行波解，其中,為常數(shù)對線性偏微分方程，比如波動方程，則,為滿足一定條件的任意函數(shù)但對,非線性偏微分方程，由于疊加原理已不成立，,只能取,特定的形式才有可能滿足(18.2.1)事實上，滿足式（18.2.1）的特定形式,是方程的非線性本征模式由行波解可以,分析非線性偏微分方程解的重要性質(zhì)我們特別感興趣的是非線性偏微分方程的所謂“孤立波”形式的解,18.21 孤立波,1834 年,英國科學(xué)家S.Russel沿河邊騎馬時發(fā)現(xiàn)一個有趣的 現(xiàn)象14,由于船的推動,河中涌起一個孤立的波,以幾乎不變的速,度和不變的波形向前推進(jìn)（如圖18.1所示）,很久以后才遇障礙而 消失. Russel后來發(fā)表了觀察報告,首先提出“孤立波”的名詞概念 . 1895年,荷蘭數(shù)學(xué)家（D.J. Korteweg）和他的學(xué)生(G. de Vries)在研 究淺水波時,導(dǎo)出了如下形式的方程,(18.2.1),其中,是常數(shù)，該方程以兩位科學(xué)家命名而稱為KdV方程. 由,于方程左邊第二項關(guān)于,是非線性的， 所以(18.2.1)是一非,線性偏微分方程.,現(xiàn)在來尋求方程(18.2.1)的平面前進(jìn)波(簡稱行波)解,令,(18.2.2),其中,是常數(shù)，將(18.2.2)式代入(18.2.1),得,對,積分一次得,（,為任意常數(shù)） (18.2.3),用,乘(18.2.3)式兩邊,并對,積分,得,( 18.2.4),其中,為任意常數(shù)由于孤立波是一個局部波,當(dāng),及其各階導(dǎo)數(shù)都趨于零 于是,由(18.2.3),(18.2.4)式知,時，有,從而(18.2.4)式變成,(18.2.5),從方程(18.2.5)可看出,只有當(dāng),時,KdV方,程才可能有實的行波解.當(dāng),時,可知當(dāng),由,變到,時,由零上升到極大值,然后又,下降到零,其圖形大致形如圖18.1所示,這種形狀的波稱為孤立波. 下面我們來求,的具體表達(dá)式,為此把方程 (18.2.5)寫成變量,分離的形式,(18.2.6),查積分表,可解得,(18.2.7),其中A為積分常數(shù).不妨設(shè)A=0 (否則對,作平移), 則(18.2.7),可化簡為,(18.2.8),這個函數(shù)的圖形如圖18.1所示,它表示KdV方程(18.2.1)有任意,波速c的孤立波解,其峰高為,. 由(18.2.8)式及圖18.1可得出結(jié)論,(1)波峰高與波速成正比;,(2)由(18.2.7)式知,當(dāng),固定時,相應(yīng)的,的絕,對值與,近似地成反比. 因此,速率,大的孤立,波,其波寬反而小.,是鐘形的正割雙曲函數(shù)，其圖形與淺水槽中觀察到的 孤立波的形狀相同上述KdV方程的行波解(18.2.8)稱為孤立波解， 從而在數(shù)學(xué)上證實了孤立波的存在20世紀(jì)70年代兩位美國科學(xué)家,(Zabusky和Kruskal)用數(shù)值模擬證實了：兩個相對運動的孤立 波在碰撞之后仍為兩個穩(wěn)定的，形狀與碰撞前相同的孤立波，僅 僅相位發(fā)生了變化，也就是說兩個孤立波的碰撞類似于粒子之 間的碰撞這種孤立波具有類似粒子的性能，因而這兩位科學(xué) 家將孤立波命名為“孤立子”（Solition）,20世紀(jì)中,人們不僅在淺水波中發(fā)現(xiàn)孤立波,在光纖通信,金屬相變,神經(jīng)傳播等許多領(lǐng)域中都有”孤立波”現(xiàn)象, 即某種現(xiàn)象或信息脈沖以幾乎恒定的形態(tài)進(jìn)行傳播.,非線性偏微分方程存在孤立波解，除KdV方程之外，還有 很多，如,1）非線性薛定諤方程,(18.2.9),2）正弦戈登方程,(18.2.10),此外，還有Klein-Gordon 方程，Toda非線性晶格 方程等，這些非線性偏微分方程在等離子體物理、非線性光 學(xué)、量子場論和通信技術(shù)等領(lǐng)域都有著重要的地位和作用,18.2.2 沖擊波,本節(jié)研究另一類非線性偏微分方程,（18.2.11）,式（18.2.11）稱為Burgers 方程其中,Burgers 方程,為常數(shù)，,是非線性耗散方程,下面我們以之為例來分析其沖擊波解我們不妨設(shè)上式 有行波解，并具有下列形式,（18.2.12）,將其代入Burgers 方程得到,（18.2.13）,對,積分得到,（18.2.14）,其中,為積分常數(shù)上式改寫成,（18.2.15）,設(shè)方程右邊有兩個實根,（18.2.16）,由于,和,都是待定常數(shù)，取,于是式（18.2.15）為,（18.2.17）,上式積分可得到,（18.2.18）,其中,（18.2.11）的行波解式（18.2.18），波的振幅和波速為,為積分常數(shù)因此，我們得到了Burgers方程,（18.2.19）,容易得到下列關(guān)系,式（18.2.18）稱為Burgers方程的沖擊波解,下面分析平衡點,和,此把二階方程（18.2.13）寫成一階方程組,的穩(wěn)定性為,（18.2.