高中數(shù)學(xué)課件第二章第13節(jié)《定積分與微積分基本定理.ppt

1.了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本 思想,了解定積分的概念. 2.了解微積分基本定理的含義.,1.定積分的性質(zhì) (1) kf(x)dx ； (2) f1(x)f2(x)dx ； (3) f(x)dx .,f(x)dx(k為常數(shù)),f1(x)dx f2(x)dx,f(x)dx f(x)dx(其中acb),2.微積分基本定理 一般地，如果F(x)f(x)，且f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)的 函數(shù), f(x)dx . 這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式. 其中F(x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù).,F(b)F(a),為了方便，我們常把F(b)F(a)記作 ，即 f(x)dx .,F(x),F(x) F(b)F(a),1.定積分 cosxdx ( ) A.1 B.0 C.1 D.,解析： cosxdxsinx sinsin00.,答案：B,2.已知k0， (2x3x2)dx0，則k ( ) A.0 B.1 C.0或1 D.以上均不對(duì),解析： (2x3x2)dx 2xdx 3x2dxx2 x3 k2k30.k0或k1.又k0，k1.,答案：B,3.設(shè)函數(shù)f(x)xmax的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x1，則 f( x)dx的值等于 ( ) A. B. C. D.,解析：f(x)2x1，m2，a1， 即f(x)x2x.,答案：A,解析：,答案：2(e1),5.曲線(xiàn)y 與直線(xiàn)yx，x2所圍成圖形面積為 .,解析：,答案： ln2,利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算，因此應(yīng)注意掌握一些常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,特別警示 (1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間a，a上連續(xù)，則 f(x)dx2 f(x)dx；若f(x)是奇函數(shù)，且在區(qū)間a，a上連續(xù)，則 f(x)dx0. (2)如果被積函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分的性質(zhì) f(x)dx f(x)dx f(x)dx，根據(jù)函數(shù)的定義域，將積分區(qū)間分解為若干部分，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值，相加即可.,求下列定積分：,思路點(diǎn)撥,課堂筆記,(4)令f(x)3x34sinx，x ， f(x)在 ， 上為奇函數(shù)，,1.求由兩條曲線(xiàn)圍成的圖形的面積的解題步驟 (1)畫(huà)出圖形； (2)確定圖形的范圍，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，定出 積分的上、下限； (3)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置； (4)寫(xiě)出平面圖形面積的定積分的表達(dá)式； (5)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積.,2.幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法 (1)由三條直線(xiàn)xa、xb(ab)、x 軸，一條曲線(xiàn)y f(x)f(x)0圍成 的曲、邊梯形的面積(如圖(1)：,(2)由三條直線(xiàn)xa、xb(ab)、x 軸、一條曲線(xiàn)yf(x)f(x)0圍成 的曲邊梯形的面積(如圖(2)：,(3)由兩條直線(xiàn)xa、xb(ab)、兩條曲線(xiàn)yf(x)、y g(x)f(x)g(x)圍成的平面圖形的面積(如圖(3)：,求曲線(xiàn)yx2，直線(xiàn)yx，y3x圍成的圖形的面積.,思路點(diǎn)撥,課堂筆記 作出曲線(xiàn)yx2，直線(xiàn) yx，y3x的圖象，所求面積為圖 中陰影部分的面積. 解方程組 得交點(diǎn)(1,1)， 解方程組 得交點(diǎn)(3,9)， 因此，所求圖形的面積為,若將本例中“直線(xiàn)yx，y3x”改為“yx32x”，又該如何求解？,解：由x32xx2x1,0,2， 所以面積為S (x32xx2)dx (x2x32x)dx,定積分在物理中的應(yīng)用，主要包括求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程；求變力所做的功兩部分內(nèi)容. (1)要求一個(gè)物體在一段時(shí)間內(nèi)的位移，只要求出其運(yùn)動(dòng)的 速度函數(shù)，再利用微積分基本定理求出該時(shí)間段上的定 積分即可，即物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程s，等于其速度 函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a，b上的定積分 v(t)dt.另外物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度v，等于其加速度 函數(shù)aa(t)在時(shí)間區(qū)間a，b上的定積分 a(t)dt.,(2)如果變力F(x)使得物體沿力的方向由xa運(yùn)動(dòng)到xb(a b)，則變力F(x)對(duì)物體所做的功W F(x)dx.,列車(chē)以72 km/h的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車(chē)獲得加速度a0.4 m/s2，問(wèn)列車(chē)應(yīng)在進(jìn)站前多長(zhǎng)時(shí)間，以及離車(chē)站多遠(yuǎn)處開(kāi)始制動(dòng)？,思路點(diǎn)撥,課堂筆記 因列車(chē)停車(chē)在車(chē)站時(shí)，速度為0.故應(yīng)先求出速度的表達(dá)式，之后令v0，求出t.再根據(jù)v和t應(yīng)用定積分求出路程. 已知列車(chē)速度v072 km/h20 m/s，列車(chē)制動(dòng)時(shí)獲得的加速度為a0.4 m/s2， 設(shè)列車(chē)開(kāi)始制動(dòng)到經(jīng)過(guò)t秒后的速度為v，則vv0 adt20 0.4dt200.4t，令v0，得t50(s).,設(shè)該列車(chē)由開(kāi)始制動(dòng)到停止時(shí)所走的路程是s，則 S vdt (200.4t)dt500(m)， 所以列車(chē)應(yīng)在進(jìn)站前50 s，以及離車(chē)站500 m處開(kāi)始制動(dòng).,高考對(duì)該部分內(nèi)容的常規(guī)考法為：利用微積分基本定理求已知函數(shù)在某一區(qū)間上的定積分或求曲邊梯形的面積.09年廣東高考以物理知識(shí)為載體，考查了定積分的幾何意義以及考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是高考對(duì)該部分內(nèi)容考查的一個(gè)新方向.,考題印證 (2009廣東高考)已知甲、乙兩車(chē)由同 一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線(xiàn)(假定為直 線(xiàn))行駛.甲車(chē)、乙車(chē)的速度曲線(xiàn)分別為v甲和 v乙(如圖所示).那么對(duì)于圖中給定的t0和 t1，下列判斷中一定正確的是 ( ) A.在t0時(shí)刻，兩車(chē)的位置相同 B.t0時(shí)刻后，乙車(chē)在甲車(chē)前面 C.在t1時(shí)刻，甲車(chē)在乙車(chē)前面 D.t1時(shí)刻后，甲車(chē)在乙車(chē)后面,【解析】 路程S甲 v(t)dt的幾何意義為曲線(xiàn)v甲與tt1及t軸所圍的區(qū)域面積，同理S乙 v(t)dt的幾何意義為曲線(xiàn)v乙與tt1及t軸所圍的區(qū)域面積.由圖易知S甲S乙，因而選C.,【答案】 C,自主體驗(yàn) 在區(qū)間0,1上給定曲線(xiàn)yx2，若 0,1，則圖中陰影部分的面積S1與 S2之和最小值為 .,解析：S1面積等于邊長(zhǎng)為t與t2矩形面積去掉曲線(xiàn)yx2與x軸、直線(xiàn)xt所圍成的面積，即 S2的面積等于曲線(xiàn)yx2與x軸、xt，x1圍成面積去掉矩形面積，矩形邊長(zhǎng)分別為t2，(1t)，即,所以陰影部分面積S為 S(t)4t22t4t(t )0時(shí)，得t0，t . 當(dāng)t 時(shí)，S最小，且最小值為S( ) .,答案：,1.(2009福建高考) (1cosx)dx等于 ( ) A. B.2 C.2 D.2,解析：,答案：D,2.(2010開(kāi)原模擬)若 (2x )dx3ln2,則a的值為 ( ) A.6 B.4 C.3 D.2,解析：,答案：D,3.如圖，陰影部分的面積為 ( ),解析：陰影部分的面積為,答案：C,4.設(shè)函數(shù)f(x)ax2c(a0)，若 f(x)dx f(x0),0x01， 則x0的值為 .,解析：,答案：,5.ysinx(0x2)與x軸所圍成圖形的面積是 .,解析：,答案：4,6.在曲線(xiàn)yx2(x0)上某一點(diǎn)A處作一切線(xiàn)使之與曲線(xiàn)以及x 軸所圍的面積為