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文檔簡介

微分方程,第七章, 積分問題, 微分方程問題,推廣,微分方程的基本概念,第一節(jié),微分方程的基本概念,引例,幾何問題,物理問題,引例1.,一曲線通過點(1,2) ,在該曲線上任意點處的,切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 .,引例2. 列車在平直路上以,的速度行駛, 制動時,獲得加速度,求制動后列車的運動規(guī)律.,求出制動后多少時間列車能停住 ,及制動后行駛的路程 .,常微分方程,偏微分方程,含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程,(本章內(nèi)容),( n 階顯式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 階常微分方程的形式是,的階.,分類,或, 使方程成為恒等式的函數(shù).,通解：,解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程階數(shù)相同., 確定通解中任意常數(shù)的條件.,n 階方程的初始條件(或初值條件):,特解：,微分方程的解,不含任意常數(shù)的解,定解條件,其圖形稱為積分曲線.,例1. 驗證函數(shù),是微分方程,的解,的特解 .,并求滿足初始條件,求所滿足的微分方程 .,例2. 已知曲線上點 P(x, y) 處的法線與 x 軸交點為 Q,且線段 PQ 被 y 軸平分,轉(zhuǎn)化,可分離變量的微分方程,第二節(jié),解分離變量方程,可分離變量方程,可分離變量方程的解法:,兩邊積分, 得,說明：當(dāng)G(y) 與F(x) 可微且 G(y) g(y)0 時, 根據(jù) 隱函數(shù)存在定理, 由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解. 同樣, 當(dāng)F(x) = f (x)0 時, 由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解.,則有,稱為方程的隱式通解.,例1. 求微分方程,的通解.,( C 為任意常數(shù) ),例2. 解初值問題,例3. 求下述微分方程的通解:,( C 為任意常數(shù) ),例5.,( C 0 ),例4. 求下述微分方程的通解:,后者是通解 , 但不包含前一個解 . 通解不一定是方程的全部解 .,y = x 及 y = C,例7.,成正比,求,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度,降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.,例6.,子的含量 M 成正比,求在,衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律.,已知 t = 0 時鈾的含量為,已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原,內(nèi)容小結(jié),1. 微分方程的概念,微分方程;,定解條件;,2. 可分離變量方程的求解方法:,分離變量后積分;,根據(jù)定解條件定常數(shù) .,解;,階;

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