彈性地基梁理論華科地下工程.ppt

第3章 彈性地基梁理論,概述 彈性地基梁的計(jì)算模型 彈性地基梁撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解 彈性地基短梁、長(zhǎng)梁及剛性梁,3.1 概述,彈性地基梁，是指擱置在具有一定彈性地基上，各點(diǎn)與地基緊密相貼的梁，如鐵路枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁等。 彈性地基梁與普通梁的區(qū)別,普通梁式靜定的或有限次超靜定結(jié)構(gòu)；彈性地基梁是無(wú)窮多次超靜定結(jié)構(gòu)。 普通梁的支座通常看做剛性支座，即只考慮梁的變形；彈性地基梁則必須同時(shí)考慮地基的變形。,3.2 彈性地基梁的計(jì)算模型,局部彈性地基模型,溫克爾假設(shè)：,把地基模擬為剛性支座上一系列獨(dú)立的彈簧。,缺點(diǎn)：,局部彈性地基模型,沒有反映地基的變形連續(xù)性，不能全面的反映地基梁的實(shí)際情況。但如果地基的上部為較薄的土層，下部為堅(jiān)硬巖石，這時(shí)將得出比較滿意的結(jié)果。,半無(wú)限體彈性地基模型,彈性地基梁的受力和變形,假設(shè),把地基看作一個(gè)均質(zhì)、連續(xù)、彈性的半無(wú)限體。,優(yōu)點(diǎn),反映了地基的連續(xù)整體性，同時(shí)從幾何上、物理上對(duì)地基進(jìn)行了簡(jiǎn)化。,缺點(diǎn),沒有反映地基的非彈性性質(zhì)； 沒有反映地基的不均勻性； 沒有反映地基的分層特點(diǎn)； 數(shù)學(xué)處理上比較復(fù)雜。,3.3 彈性地基梁撓度曲線微分 方程式及其初參數(shù)解,基本假定,地基梁在外荷載作用下產(chǎn)生變形的過程中，梁底面與地基表面始終緊密相貼，即地基的沉陷或隆起與梁的撓度處處相等； 由于梁與地基間的摩擦力對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大，可以略去不計(jì)，因而，地基反力處處與接觸面相垂直； 地基梁的高跨比較小，符合平截面假設(shè)，因而可直接應(yīng)用材料力學(xué)中有關(guān)梁的變形及內(nèi)力計(jì)算結(jié)論。,彈性地基梁的撓度曲線微分方程式,彈性地基梁的微元分析,考察 微段的平衡有：,化簡(jiǎn)得：,省略二階微量化簡(jiǎn)得：,合并二式得：,根據(jù)材料力學(xué)有：,代入化簡(jiǎn)得到撓曲微分方程：,對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解,令撓曲微分方程中 ，得到對(duì)應(yīng)齊次微分方程：,且令：,通解為：,利用雙曲函數(shù)關(guān)系：,得到另一通解：,初參數(shù)解,初參數(shù)法,把四個(gè)積分常數(shù)改用四個(gè)初參數(shù)來表示，根據(jù)初參數(shù)的物理意義來尋求簡(jiǎn)化計(jì)算的途徑。,用初參數(shù)表示積分常數(shù),彈性地基梁作用的初參數(shù),梁左端邊界條件：,得到積分常數(shù)：,其中：,彈性特征系數(shù),用初參數(shù)表示的齊次微分方程的解：,其中：,微分關(guān)系為：,實(shí)際工程中常遇到的支座形式反荷載作用下梁端參數(shù)的值,彈性地基梁的撓度曲微分方程的特解,集中荷載作用下的特解項(xiàng),集中力作用于地基梁,集中力Pi作用下的特解項(xiàng),OA和AB段撓曲微分方程分別為：,由A點(diǎn)的變形連續(xù)條件和受力情況有：,當(dāng) 時(shí)，特解項(xiàng)為零。,當(dāng) 時(shí)，,集中力偶Mi作用下的特解項(xiàng),集中力偶作用于地基梁,當(dāng) 時(shí)，取特解項(xiàng)為零。,分布荷載作用下的特解項(xiàng),分布荷載作用于地基梁,分布荷載可分解成多個(gè)集中力，按集中力求解特項(xiàng)。,荷載在右邊截面x處引起的撓度特解項(xiàng)為：,x截面以左所有荷載引起的撓度特解項(xiàng)為：,均布荷載,荷載均布與ab段,（積分限 ）,（積分限 ）,當(dāng)荷載滿跨均布時(shí)，積分限是（0，x），故有：,三角形分布荷載,三角形荷載作用于地基梁,微段上荷載引起的撓度附加項(xiàng)為：,當(dāng) 時(shí)，積分限是，,當(dāng) 時(shí)，積分限是,當(dāng)三角形荷載布滿全跨時(shí)，積分限是（0，x）有：,梁全跨布滿梯形荷載的特解項(xiàng),梯形荷載作用于地基梁,只須把均布荷載與三角形荷載作用下兩式疊加即可。,共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń?綜合荷載作用于地基梁,當(dāng) 時(shí)， 項(xiàng)取值為零。,3.4 彈性地基短梁、長(zhǎng)梁及剛性梁,彈性地基梁的分類,（a）短梁 （b）無(wú)限長(zhǎng)梁 （c）半無(wú)限長(zhǎng)梁 （d）剛性梁,換算長(zhǎng)度,長(zhǎng)梁的計(jì)算,無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力Pi的計(jì)算,無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力的計(jì)算,采用梁撓曲方程齊次解式，即：,由 有：,由對(duì)稱條件 有：,考慮地基反力與外載的平衡條件：,化簡(jiǎn)得到：,其中：,無(wú)限梁右半部分有：,其中：,對(duì)于梁的左半部分，只需將式中 和 改變負(fù)號(hào)即可。,無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力偶mi作用下的計(jì)算,無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力偶的計(jì)算,反對(duì)稱條件：,代入齊次微分方程通解得：,無(wú)限長(zhǎng)梁右半部分的變形及內(nèi)力為：,對(duì)于左半部分，只需將上式中y與M變號(hào)即可。,半無(wú)限長(zhǎng)梁作用初參數(shù)的計(jì)算,半無(wú)限長(zhǎng)梁作用的初參數(shù),將 代入：,得到：,再由：,得到：,如梁端作用有初參數(shù) ,則可得到 與 之間的關(guān)系：,最終有：,半無(wú)限長(zhǎng)梁在梯形荷載作用下的計(jì)算,故任一截面的變形與內(nèi)力為：,是齊次微分方程,的一個(gè)特解。,梯形荷載作用于半無(wú)限長(zhǎng)梁,剛性梁的計(jì)算,剛性梁的計(jì)算,按靜定梁的平衡條件，得到剛性梁的變形與內(nèi)力為：,3.5 算例,兩端自由的彈性地基梁，長(zhǎng) ，寬 ， ，地基的彈性壓縮系數(shù) ，求梁1、2、3截面的彎矩,例子1,(1)判斷梁的類型,考慮Pi集中載距右端為1m， 故屬于短梁。,(2)計(jì)算初參數(shù),梁左端條件：,梁右端條件：,代入共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń獾茫?將各數(shù)值代入后得：,解得：,（3）計(jì)算各截面的彎矩,長(zhǎng)度及彈性特征系數(shù)，作用荷載如圖，如果 和 均 ，求i截面的,例子2,（