高等數(shù)學(xué)(微積分)課件--64定積分的應(yīng)用.pptVIP

1,6.4定積分的應(yīng)用,一、平面圖形的面積 二、立體的體積 三、經(jīng)濟應(yīng)用,2,定積分引例的回顧,用定積分解決曲邊梯形面積的步驟可概括為四步： (1)分割：將大曲邊梯形分成n個小曲邊梯形;,( Ai為第i個小曲邊梯形的面積)；,(2)取近似：,(3)求和：,(4)取極限：,提示：用A表示任一小區(qū)間x,x+x上窄曲邊梯形面積,則A=A,并取Af(x)dx=dA,于是Af(x)dx A=lim f(x)dx,3,元素法(微元法)思想,一般說來，如果所求量U與x的變化區(qū)間a,b有關(guān)，且關(guān)于區(qū)間a,b具有可加性，在a,b中的任意小區(qū)間x,x+x上找出U的部分量的近似值dU=f(x)dx,那么,求量U的這種方法叫做定積分的元素法。,稱為量U的元素(微元)。,應(yīng)用方向:,平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長,4,應(yīng)用元素法的前提,所求量U滿足以下三點： (1)所求量U與變量x的變化區(qū)間a,b有關(guān)； (2)所求量U對a,b具有可加性； (3)微元dU=f(x)dx,弧長,體積,面積,5,元素法一般步驟,1. 根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間a,b。 2. 設(shè)想把區(qū)間a,b分成個n小區(qū)間,取其中任一小區(qū)間并記為x,x+dx,估計出所求量U相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量U的近似值。如果U能近似地表示為a,b上的一個連續(xù)函數(shù)在x處的值f(x)與dx的乘積，就把f(x)dx稱為量U的元素且記作dU,即dU=f(x)dx 。 3. 以所求量U的元素f(x)dx為被積表達式，在區(qū)間a,b上作定積分，得,即為所求量的積分表達式.,6,平面圖形的面積(關(guān)于x積分),平面圖形面積問題可借助定積分幾何意義或者用元素法思想進行求解。,直角坐標情形:,面積元素: dU=|f(x)|dx,曲邊梯形的面積,面積元素: dU=|f2(x)-f1(x)|dx,平面圖形的面積,7,左右為曲邊的圖形面積計算,由左、右兩條曲線x=(y)、x=(y)及直線y=c、y=d (其中cd)圍成的圖形的面積：,其面積的微元為：,所求的面積為：,這是以y為積分變量的面積表達式,8,例題與講解(1條曲線),9,例題與講解(2條曲線),例：計算由兩條拋物線y2=x和y=x2所圍成的圖形的面積。,解,兩曲線的交點,面積元素,選 為積分變量,10,平面圖形的面積(關(guān)于y積分),1:介紹關(guān)于y軸積分的平面圖形面積計算公式 2：重新做前面例題,11,例題與講解*,例：計算由曲線y=x3-6x和y=x2所圍成的圖形的面積.,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,于是所求面積,12,例題與講解(選擇適當?shù)姆椒?,例：計算由曲線y2=2x和y=x-4直線所圍成的圖形的面積.,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,13,例題與講解,例*：求擺線,與x軸圍成的圖形的面積.,一拱形,解：,14,極坐標下平面圖形面積計算*,極坐標情形： 設(shè)由曲線r=()及射線=、=圍成一曲邊扇形,求其面積。其中()在,上連續(xù),且()0。,面積元素,曲邊扇形的面積,15,例題與講解,例：求雙紐線2=a2cos2所圍平面圖形的面積.,解,由對稱性知總面積=4倍 第一象限部分面積,16,例題與講解,例：求心形線r=a(1+cos) (其中a0)所圍平面圖形的面積。,解,利用對稱性知,17,平行截面面積已知的立體體積,如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體,但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積,那么,這個立體的體積也可用定積分來計算。,立體體積,18,例題講解(圓錐體積),19,例題與講解*,例：設(shè)有一底圓半徑R的圓柱,被一與圓柱面交成角且過底圓直徑的平面所截,求截下的楔形體積。,立體中過點x且垂直于x軸的截面是直角三角形。,解 取如圖所示的坐標系，則底圓方程為,其面積為,楔形體體積為,20,旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體是由某平面內(nèi)一個圖形繞平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。,取x為積分變量,變化區(qū)間為 a,b過點x的且垂直于軸的截面面積為,繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為:,或,設(shè)旋轉(zhuǎn)體表面是由曲線段y=f(x), xa,b繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成,現(xiàn)計算其體積(容積)。,21,繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積,由連續(xù)曲線段x=(y),yc,d繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋體如右圖：,繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為:,或,22,例題與講解,例：求由橢圓,旋轉(zhuǎn)橢球體的體積,解 旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓,繞x軸旋轉(zhuǎn)。,所圍成,的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的,23,例題與講解,例：求由y=x2,x=y2所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。,解：,24,經(jīng)濟應(yīng)用舉例之一,已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量 已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量Q的變化率是時間t的函數(shù)f(t),且時刻t0的產(chǎn)量Q0,即Q(t)=f(t), Q0=Q(t0) .則,產(chǎn)品的總產(chǎn)量函數(shù)可表示為,注：通常假設(shè)t0=0時，Q0=0即Q(t0)=0。,25,例題與講解,例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為f(t)=100+10t-0.45t2 (噸/小時),求總產(chǎn)量函數(shù)Q(t);從t0=4到t1=8這段時間內(nèi)的總產(chǎn)量Q。 解：,=572.8(噸),26,經(jīng)濟應(yīng)用舉例之二,已知邊際函數(shù)求總量函數(shù) 例：已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x(百臺)的邊際成本、收益函數(shù)分別為MC=3+x/3(萬元/百臺),MR=7-x (萬元/百臺),并知固定成本為C(0)=1(萬元).求總收益、總成本函數(shù);產(chǎn)量從1百臺增加到5百臺時的總利潤增加額L。,解：,答：,27,小結(jié),1. 求在直角坐標系下、極坐標系下平面圖形的面積。,（注意恰當?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算）,2. 旋轉(zhuǎn)體的體積,平行截面面積為已知的立體的體積,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周*,3. 經(jīng)濟應(yīng)用: 已知變化率求總函數(shù)值。,28,練習(xí),解答,解答,解答,解答,解答,解答,解答,