2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五解析幾何第三講第二課時圓錐曲線的定點(diǎn)定值存在性問題教案.doc

第三講 第二課時圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、存在性問題圓錐曲線中的定點(diǎn)問題方法結(jié)論定點(diǎn)的探索與證明問題(1)探索直線過定點(diǎn)時，可設(shè)出直線方程為ykxb，然后利用條件建立b，k等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系方程找出定點(diǎn)；(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明一般情況典例(2017洛陽模擬)設(shè)橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，B，C是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)(B，C均不在x軸上)，線段AC的中點(diǎn)為D，且B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線(1)求橢圓E的離心率；(2)設(shè)F(1,0)，過F的直線l交E于M，N兩點(diǎn)，直線MA，NA分別與直線x9交于P，Q兩點(diǎn)證明：以PQ為直徑的圓過點(diǎn)F.解析：(1)法一：由已知A(a,0)，F(xiàn)(c,0)，設(shè)B(x0，y0)，C(x0y0)，則D(，)，B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，又(cx0，y0)，(，)，y0(cx0)y0，a3c，從而e.法二：設(shè)直線BF交AC于D，連接OD，由題意知，OD是CAB的中位線，OD綊AB，OFDAFB.，解得a3c，從而e.(2)F的坐標(biāo)為(1,0)，c1，從而a3，b28.橢圓E的方程為1.設(shè)直線l的方程為xny1，(n0)由(8n29)y216ny640，y1y2，y1y2，其中M(ny11，y1)，N(ny21，y2)直線AM的方程為，P(9，)，同理Q(9，)，從而(8，)(8，)6464640.FPFQ，即以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)F.類題通法定點(diǎn)的探索與證明問題注意利用特殊化思想探求再證明，求解的方法常見的有如下兩種：(1)直線過定點(diǎn)，引入適當(dāng)?shù)淖兞?，求出直線方程，根據(jù)方程求出定點(diǎn)；(2)曲線過定點(diǎn)，先用特殊位置的曲線探求定點(diǎn)，再證明曲線過該點(diǎn)，與變量無關(guān)演練沖關(guān)(2017高考全國卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足 .(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且1，證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.解析：(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)，由 得x0x，y0y.因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.(2)證明：由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)，由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即，又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.圓錐曲線中的定值問題方法結(jié)論解答圓錐曲線的定值，從三個方面把握(1)從特殊開始，求出定值，再證明該值與變量無關(guān)；(2)直接推理、計(jì)算，在整個過程中消去變量，得定值；(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面，把參數(shù)從含有參數(shù)的項(xiàng)里面分離出來，并令其系數(shù)為零，可以求出定值典例(2017沈陽模擬)已知橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(，0)，e.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設(shè)R(x0，y0)是橢圓C上一動點(diǎn)，由原點(diǎn)O向圓(xx0)2(yy0)24引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值(3)在(2)的條件下，試問|OP|2|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由解析：(1)由題意得，c，e，解得a2，橢圓C的方程為1.(2)由已知，直線OP：yk1x，OQ：yk2x，且與圓R相切，2，化簡得(x4)k2x0y0k1y40，同理，可得(x4)k2x0y0k2y40，k1，k2是方程(x4)k22x0y0ky40的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，x40，0，k1k2.點(diǎn)R(x0，y0)在橢圓C上，1，即y6x，k1k2.(3)|OP|2|OQ|2是定值18.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立得，解得，xy，同理，可得xy由k1k2，得|OP|2|OQ|2xyxy18.綜上：|OP|2|OQ|218.類題通法定值問題在求解時注意“設(shè)而不求”思想方法的靈活運(yùn)用，即引入?yún)⒆兞?，用它來表示有關(guān)量，進(jìn)而看能否把變量消去“先猜后證”法是解決這類問題的有效方法，也就是先由特殊情形探求出定值或定點(diǎn)，進(jìn)而證明它適用所有情形演練沖關(guān)(2016高考北京卷)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|BM|為定值解析：(1)由題意得解得a2，b1.所以橢圓C的方程為y21.(2)證明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)設(shè)P(x0，y0)，則x4y4.當(dāng)x00時，直線PA的方程為y(x2)令x0，得yM，從而|BM|1yM|1|.直線PB的方程為yx1.令y0，得xN，從而|AN|2xN|2|.所以|AN|BM|2|1|4.當(dāng)x00時，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.綜上|AN|BM|為定值存在性問題方法結(jié)論1存在性問題的解題步驟(1)先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞浚鶕?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)(2)解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在(3)得出結(jié)論2解決存在性問題的注意事項(xiàng)存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時，要分類討論(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑典例(2017西安模擬)已知F1，F(xiàn)2為橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(1，)在橢圓E上 ，且|PF1|PF2|4.(1)求橢圓E的方程；(2)過F1的直線l1，l2分別交橢圓E于A，C和B，D，且l1l2，問是否存在常數(shù)，使得，成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由解析：(1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.橢圓E：1.將P(1，)代入可得b23，橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)AC的斜率為零或斜率不存在時，；當(dāng)AC的斜率k存在且k0時，AC的方程為yk(x1)，代入橢圓方程1，并化簡得(34k2)x28k2x4k2120.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|AC|x1x2|.直線BD的斜率為，|BD|.綜上，2，.故存在常數(shù)，使得，成等差數(shù)列類題通法存在性問題的兩種常考題型的求解方法(1)給出問題的一些特殊關(guān)系，要求探索出一些規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性通常要對已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律(2)只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語句表述此類問題也是最?？嫉奶剿餍詥栴}，解答這類問題時，一般要先對結(jié)論給出肯定存在的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，若推出相符的結(jié)論，則存在性得到肯定；若導(dǎo)致矛盾，則假設(shè)不存在本題就是“是否存在”型探索性問題演練沖關(guān)(2017湖南東部五校聯(lián)考)已知橢圓E：1的右焦點(diǎn)為F(c,0)且abc0，設(shè)短軸的一個端點(diǎn)為D，原點(diǎn)O到直線DF的距離為，過原點(diǎn)和x軸不重合的直線與橢圓E相交于C，G兩點(diǎn)，且|4.(1)求橢圓E的方程(2)是否存在過點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A，B且使得24成立？若存在，試求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解析：(1)由橢圓的對稱性知|2a4，a2.又原點(diǎn)O到直線DF的距離為，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時不滿足條件故可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為yk(x2)