2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案新人教B版.doc

2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題知識點(diǎn)一拋物線的范圍思考觀察下列圖形，思考以下問題：(1)觀察焦點(diǎn)在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形，分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別？(2)根據(jù)圖形及拋物線方程y22px(p0)如何確定橫坐標(biāo)x的范圍？梳理拋物線y22px(p0)中，x_，y_.拋物線y22px(p0)中，x_，y_.拋物線x22py(p0)中，x_，y_.拋物線x22py(p0)中，x_，y_.知識點(diǎn)二四種形式的拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)準(zhǔn)線方程xxyy頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)離心率e1通徑長2p知識點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點(diǎn)個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個數(shù)，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的個數(shù) 當(dāng)k0時，若0，則直線與拋物線有_個不同的公共點(diǎn)；若0時，直線與拋物線有_個公共點(diǎn)；若0)，|PF|x0|x0；拋物線y22px(p0)，|PF|x0|x0；拋物線x22py(p0)，|PF|y0|y0；拋物線x22py(p0)，|PF|y0|y0.(2)已知AB是過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：y1y2p2，x1x2；|AB|x1x2p(為直線AB的傾斜角)；SABO(為直線AB的傾斜角)；以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切(3)當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸垂直時，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長等于2p.跟蹤訓(xùn)練2已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)(1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離類型三拋物線綜合問題命題角度1與拋物線有關(guān)的最值問題例3拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x，y)為該拋物線上的動點(diǎn)，若點(diǎn)A(1，0)，求的最小值反思與感悟(1)若曲線和直線相離，在曲線上求一點(diǎn)到直線的距離最小問題，可找到與已知直線平行的直線，使其與曲線相切，則切點(diǎn)為所要求的點(diǎn)(2)以上問題一般轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”或“點(diǎn)到直線的垂線段最短”來解決跟蹤訓(xùn)練3已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A2 B3 C. D.命題角度2定值或定點(diǎn)問題例4拋物線y22px(p0)上有兩動點(diǎn)A，B及一個定點(diǎn)M，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列(1)求證：線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)Q；(2)若|MF|4，|OQ|6(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求拋物線的方程反思與感悟在拋物線的綜合性問題中，存在著許多定值問題，我們不需要記憶關(guān)于這些定值的結(jié)論，但必須牢牢掌握研究這些定值問題的基本方法，如設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程、根與系數(shù)關(guān)系的利用、焦半徑的轉(zhuǎn)化等跟蹤訓(xùn)練4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的A，B兩點(diǎn)，4，求證：直線l必過一定點(diǎn)1已知點(diǎn)A(2，3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()A B1 C D2已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0，2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A. B3 C. D.3過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|_.4已知過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則p_.5已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線C上，且|AK|AF|，則AFK的面積為_. 1拋物線的中點(diǎn)弦問題用點(diǎn)差法較簡便2軸對稱問題，一是抓住對稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系3在直線和拋物線的綜合問題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化提醒：完成作業(yè)第二章2.4.2答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考(1)拋物線與另兩種曲線相比較，有明顯的不同，橢圓是封閉曲線，有四個頂點(diǎn)，有兩個焦點(diǎn)，有中心；雙曲線雖然不是封閉曲線，但是有兩支，有兩個頂點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)，有中心；拋物線只有一條曲線，一個頂點(diǎn)，一個焦點(diǎn)，無中心(2)由拋物線y22px(p0)有 所以x0.所以拋物線x的范圍為x0.拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸梳理0，)(，)(，0(，)(，)0，)(，)(，0知識點(diǎn)三兩一沒有平行或重合一題型探究例1解橢圓的方程可化為1，其短軸在x軸上，拋物線的對稱軸為x軸，設(shè)拋物線的方程為y22px或y22px(p0)拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，即3，p6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x或y212x，其準(zhǔn)線方程分別為x3或x3.引申探究解由題意，設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，焦點(diǎn)F(，0)，直線l：x，所以A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(，m)，(，m)，所以|AB|2|m|.因?yàn)镺AB的面積為4，所以|2|m|4，所以m2.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.跟蹤訓(xùn)練1解由已知，拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上，也可能在負(fù)半軸上故可設(shè)拋物線方程為y2ax(a0)設(shè)拋物線與圓x2y24的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)拋物線y2ax(a0)與圓x2y24都關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對稱，|y1|y2|且|y1|y2|2，|y1|y2|，代入圓x2y24，得x234，x1，A(1，)或A(1，)，代入拋物線方程，得()2a，a3.所求拋物線方程是y23x或y23x.例2(1)16(2)xy10或xy10(3)跟蹤訓(xùn)練2解(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直線l的方程為y. 聯(lián)立消去y得x25x0.若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26.于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，又準(zhǔn)線方程是x，所以M到準(zhǔn)線的距離等于3.例3解拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x1，如圖，過點(diǎn)P作PN垂直x1于點(diǎn)N，由拋物線的定義可知|PF|PN|，連接PA，在RtPAN中，sinPAN，當(dāng)最小時，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此時，PA為拋物線的切線，設(shè)PA的方程為yk(x1)，聯(lián)立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，cosNPA.跟蹤訓(xùn)練3A例4(1)證明設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則|AF|x1，|BF|x2，|MF|x0，x0為已知值由題意得x0，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(x0，t)，其中t0(否則|AF|MF|BF|p0)而kAB，故線段AB的垂直平分線的方程為yt(xx0)，即t(xx0p)yp0，可知線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)Q(x0p，0)(2)解由|MF|4，|OQ|6，得x04，x0p6，聯(lián)立解得p4，x02.拋物線方程為y28x.跟蹤訓(xùn)練4證明設(shè)l：xtyb