第九篇_解析幾何第5講_橢圓

第5講橢圓【2013年高考會這樣考】1考查橢圓的定義及利用橢圓的定義解決相關(guān)問題2考查橢圓的方程及其幾何性質(zhì)3考查直線與橢圓的位置關(guān)系【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1熟練掌握橢圓的定義及其幾何性質(zhì)會求橢圓的標準方程2掌握常見的幾種數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等體會解析幾何的本質(zhì)問題用代數(shù)的方法解決幾何問題基礎(chǔ)梳理1橢圓的概念在平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫橢圓這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若ac，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若ac，則集合P為空集2橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(ab0)1(ab0)圖形續(xù)表性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2一條規(guī)律橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)間的關(guān)系：給出橢圓方程1時，橢圓的焦點在x軸上mn0；橢圓的焦點在y軸上0mn.兩種方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2、b2的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a、b、c的方程組，解出a2、b2，從而寫出橢圓的標準方程三種技巧(1)橢圓上任意一點M到焦點F的所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為ac，最小距離為ac.(2)求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結(jié)合b2a2c2就可求得e(0e1)(3)求橢圓方程時，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標準方程，判斷的依據(jù)是：中心是否在原點；對稱軸是否為坐標軸雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為()A.1 B.1C.1或1 D以上都不對解析2a2b18，ab9，又2c6，c3，則c2a2b29，故ab1，從而可得a5，b4，橢圓的方程為1或1.答案C2(2012合肥月考)設(shè)P是橢圓1上的點，若F1、F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10解析依橢圓的定義知：|PF1|PF2|2510.答案D3(2012蘭州調(diào)研)“3m5”是“方程1表示橢圓”的 ()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析要使方程1表示橢圓，應(yīng)滿足解得3m5且m1，因此“3m5”是“方程1表示橢圓”的必要不充分條件答案B4(2012淮南五校聯(lián)考)橢圓1的離心率為，則k的值為()A21 B21C或21 D.或21解析若a29，b24k，則c ，由即，得k；若a24k，b29，則c ，由，即，解得k21.答案C5(2011全國新課標)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么C的方程為_解析根據(jù)橢圓焦點在x軸上，可設(shè)橢圓方程為1(ab0)e，根據(jù)ABF2的周長為16得4a16，因此a4，b2，所以橢圓方程為1.答案1考向一橢圓定義的應(yīng)用【例1】(2011青島模擬)已知F1、F2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且.若PF1F2的面積為9，則b_.審題視點 關(guān)鍵抓住點P為橢圓C上的一點，從而有|PF1|PF2|2a，再利用，進而得解解析由題意知|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29.b3.答案3 橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求|PF1|PF2|；通過整體代入可求其面積等【訓(xùn)練1】 已知ABC的頂點B，C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是()A2 B6C4 D12解析由橢圓的定義知：|BA|BF|CA|CF|2a，周長為4a4(F是橢圓的另外一個焦點)答案C考向二求橢圓的標準方程【例2】(1)求與橢圓1有相同的離心率且經(jīng)過點(2，)的橢圓方程(2)已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5、3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程審題視點 用待定系數(shù)法求橢圓方程，但應(yīng)注意橢圓的焦點位置是否確定解(1)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為t(t0)，橢圓過點(2，)，t2，故所求橢圓標準方程為1.(2)設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，由已知條件得解得a4，c2，b212.故所求方程為1或1. 運用待定系數(shù)法求橢圓標準方程，即設(shè)法建立關(guān)于a、b的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時，考慮是否兩解，有時為了解題需要，橢圓方程可設(shè)為mx2ny21(m0，n0，mn)，由題目所給條件求出m、n即可【訓(xùn)練2】 (1)求長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0)的橢圓的標準方程(2)已知橢圓1(ab0)的一個焦點是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個三等分點M，N與F構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程解(1)若橢圓的焦點在x軸上，設(shè)方程為1(ab0)，橢圓過點A(3,0)，1，a3，2a32b，b1，方程為y21.若橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓方程為1(ab0)，橢圓過點A(3,0)，1，b3，又2a32b，a9，方程為1.綜上所述，橢圓方程為y21或1.(2)由FMN為正三角形，則c|OF|MN|b1.b.a2b2c24.故橢圓方程為1.考向三橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用【例3】(2011北京)已知橢圓G：y21.過點(m,0)作圓x2y21的切線l交橢圓G于A，B兩點(1)求橢圓G的焦點坐標和離心率；(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值審題視點 (1)由橢圓方程可直接求出c，從而求出離心率(2)可設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立得一元二次方程，由弦長公式列出|AB|長的表達式從而求出|AB|的最大值解(1)由已知得，a2，b1，所以c.所以橢圓G的焦點坐標為(，0)，(，0)，離心率為e.(2)由題意知，|m|1.當m1時，切線l的方程為x1，點A，B的坐標分別為，此時|AB|.當m1時，同理可得|AB|.當|m|1時，設(shè)切線l的方程為yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.設(shè)A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2.又由l與圓x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于當m1時，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因為|AB|2，且當m時，|AB|2，所以|AB|的最大值為2. (1)求橢圓的離心率，其法有三：一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特殊值或特殊位置，求出離心率(2)弦長公式l|x1x2| .【訓(xùn)練3】 (2012武漢質(zhì)檢)在RtABC中，ABAC1，如果一個橢圓通過A，B兩點，它的一個焦點為點C，另一個焦點在AB上，則這個橢圓的離心率為_解析設(shè)另一個焦點為F，如圖所示，|AB|AC|1，ABC為直角三角形，114a，則a，設(shè)|FA|x，x，124c2，c，e.答案考向四橢圓中的定值問題【例4】(2011重慶)如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e， 一條準線的方程為x2.(1)求該橢圓的標準方程；(2)設(shè)動點P滿足：OO2O，其中M、N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為 .問：是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標；若不存在，說明理由審題視點 (1)由離心率和準線方程即可求出橢圓方程(2)充分利用橢圓的定義和性質(zhì)，利用設(shè)而不求的方法求出P點解(1)由e，2，解得a2，c，b2a2c22，故橢圓的標準方程為1.(2)設(shè)P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由OO2O得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即xx12x2，yy12y2.因為點M、N在橢圓x22y24上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)設(shè)kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220.所以P點是橢圓1上的點，設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|PF2|為定值又因c，因此兩焦點的坐標為F1(，0)，F(xiàn)2(，0) 本題考查橢圓方程的求法和橢圓中的定點、定值等綜合問題，可先設(shè)出動點P，利用設(shè)而不求的方法求出P點的軌跡方程，從而找出定點【訓(xùn)練4】 (2010安徽)如圖，已知橢圓E經(jīng)過點A(2,3)，對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e.(1)求橢圓E的方程；(2)求F1AF2的角平分線所在直線l的方程解(1)設(shè)橢圓E的方程為1(ab0)，由e，即，得a2c，得b2a2c23c2.橢圓方程可化為1.將A(2,3)代入上式，得1，解得c2，橢圓E的方程為1.(2)由(1)知F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，直線AF1的方程為y(x2)，即3x4y60，直線AF2的方程為x2.由點A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù)設(shè)P(x，y)為l上任一點，則|x2|.若3x4y65x10，得x2y80(因其斜率為負，舍去)于是，由3x4y65x10，得2xy10，直線l的方程為2xy10.規(guī)范解答16怎樣求解與弦有關(guān)的橢圓方程問題【問題研究】 求橢圓的方程是高考的重中之重，幾乎每年必考，有的是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，多數(shù)以解答題的形式出現(xiàn)雖然考向二中學(xué)習(xí)了求橢圓方程的方法，但在解答題中往往結(jié)合弦長等知識來求橢圓方程，難度中等偏上【解決方案】 解決這類問題首先根據(jù)題設(shè)條件設(shè)出所求的橢圓方程，再由直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求出待定系數(shù)【示例】(本題滿分12分)(2011天津)設(shè)橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1、F2.點P(a，b)滿足|PF2|F1F2|.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF2與圓(x1)2(y)216相交于M，N兩點，且|MN|AB|，求橢圓的方程 第(1)問由|PF2|F1F2|建立關(guān)于a、c的方程；第(2)問可以求出點A、B的坐標或利用根與系數(shù)的關(guān)系求|AB|均可，再利用圓的知識求解解答示范 (1)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c0)，因為|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2210，得1(舍)，或.所以e.(4分)(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212c2，直線PF2的方程為y(xc)A、B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.(6分)得方程組的解為不妨設(shè)A，B(0，c)，所以|AB|c.(8分)于是|MN|AB|2c.圓心(1，)到直線PF2的距離d.(10分)因為d2242，所以(2c)2c216.整理得7c212c5