浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.6空間向量及其運(yùn)算講義含解析.docx

8.6空間向量及其運(yùn)算最新考綱考情考向分析1.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置.2.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，了解空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.了解空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的定義、坐標(biāo)表示的運(yùn)算.4.了解空間兩點(diǎn)間的距離公式、向量的長(zhǎng)度公式及兩向量的夾角公式.本節(jié)是空間向量的基礎(chǔ)內(nèi)容，涉及空間直角坐標(biāo)系、空間向量的有關(guān)概念、定理、公式及四種運(yùn)算等內(nèi)容.一般不單獨(dú)命題，常以簡(jiǎn)單幾何體為載體；以解答題的形式出現(xiàn)，考查平行、垂直關(guān)系的判斷和證明及空間角的計(jì)算，解題要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力.1.空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長(zhǎng)度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一個(gè)平面的向量2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間兩個(gè)向量a與b(b0)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表達(dá)式：pxayb，其中x，yR，a，b為不共線向量.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空間的一個(gè)基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a，b的夾角，記作a，b，其范圍是0a，b，若a，b，則稱a與b互相垂直，記作ab.兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做向量a，b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(a)b(ab)；交換律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積aba1b1a2b2a3b3共線ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夾角a，b(a0，b0)cosa，b概念方法微思考1.共線向量與共面向量相同嗎？提示不相同.平行于同一平面的向量就為共面向量.2.零向量能作為基向量嗎？提示不能.由于零向量與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，故零向量不能作為基向量.3.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置選取有關(guān)嗎？提示無(wú)關(guān).這是因?yàn)橐粋€(gè)確定的幾何體，其“線線”夾角、“點(diǎn)點(diǎn)”距離都是固定的，坐標(biāo)系的位置不同，只會(huì)影響其計(jì)算的繁簡(jiǎn)，不會(huì)影響結(jié)果.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面.()(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(ab)ca(bc).()(3)對(duì)于非零向量b，由abbc，則ac.()(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同.()(5)若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有0.()(6)若ab0，則a，b是鈍角.()題組二教材改編2.P97A組T2如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()A.abcB.abcC.abcD.abc答案A解析()c(ba)abc.3.P98T3正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為_.答案解析|22()22222()1222122(12cos120021cos120)2，|，EF的長(zhǎng)為.題組三易錯(cuò)自糾4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A.垂直B.平行C.異面D.相交但不垂直答案B解析由題意得，(3，3，3)，(1，1，1)，3，與共線，又AB與CD沒有公共點(diǎn)，ABCD.5.已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，則|b|_.答案2解析ab，ab2(4)321x0，x2，|b|2.6.O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且t，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t_.答案解析P，A，B，C四點(diǎn)共面，t1，t.題型一空間向量的線性運(yùn)算例1如圖所示，在空間幾何體ABCDA1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以aacacb.(2)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以aabc.又ca，所以abc.思維升華用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來(lái).跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn).用，表示，則_.答案解析()，().(2)(2018金華質(zhì)檢)如圖，在三棱錐OABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，設(shè)a，b，c，用a，b，c表示，則等于()A.(abc) B.(abc)C.(abc) D.(abc)答案B解析()()(abc).題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)，G分別是A1D1，D1D，D1C1的中點(diǎn).(1)試用向量，表示；(2)用向量方法證明平面EFG平面AB1C.(1)解設(shè)a，b，c.由圖得cbabc.(2)證明由題圖，得ab，ba，EG與AC無(wú)公共點(diǎn)，EGAC，EG平面AB1C，AC平面AB1C，EG平面AB1C.又ac，ca，F(xiàn)G與AB1無(wú)公共點(diǎn)，F(xiàn)GAB1，F(xiàn)G平面AB1C，AB1平面AB1C，F(xiàn)G平面AB1C，又FGEGG，F(xiàn)G，EG平面EFG，平面EFG平面AB1C.思維升華證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面且同過點(diǎn)Pxy對(duì)空間任一點(diǎn)O，t對(duì)空間任一點(diǎn)O，xy對(duì)空間任一點(diǎn)O，x(1x)對(duì)空間任一點(diǎn)O，xy(1xy)跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，點(diǎn)M，N分別在AC1和BC上，且滿足k，k(0k1).(1)向量是否與向量，共面？(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行？解(1)k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知向量與向量，共面.(2)當(dāng)k0時(shí)，點(diǎn)M，A重合，點(diǎn)N，B重合，MN在平面ABB1A1內(nèi)，當(dāng)0k1時(shí)，MN不在平面ABB1A1內(nèi)，又由(1)知與，共面，MN平面ABB1A1.綜上，當(dāng)k0時(shí)，MN在平面ABB1A1內(nèi)；當(dāng)0k1時(shí)，MN平面ABB1A1.題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例3如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn).(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.(1)證明設(shè)p，q，r.由題意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三個(gè)向量?jī)蓛蓨A角均為60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos60a2cos60a2)0.，即MNAB.同理可證MNCD.(2)設(shè)向量與的夾角為.()(qr)，qp，(qr).又|a，|cosaacos.cos.向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.思維升華 (1)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系，通過向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置.(2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角.(3)可以通過|a|，將向量的長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60.(1)求的長(zhǎng)；(2)求與夾角的余弦值.解(1)記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|，即AC1的長(zhǎng)為.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，cos，.即與夾角的余弦值為.1.已知a(2，3，4)，b(4，3，2)，bx2a，則x等于()A.(0，3，6) B.(0，6，20)C.(0，6，6) D.(6，6，6)答案B解析由bx2a，得x4a2b(8，12，16)(8，6，4)(0，6，20).2.在下列命題中：若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得pxaybzc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案A解析a與b共線，a，b所在的直線也可能重合，故不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任意兩向量a，b都共面，故不正確；三個(gè)向量a，b，c中任意兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為pxaybzc，故不正確，綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0，故選A.3.(2018臺(tái)州模擬)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，則實(shí)數(shù)m的值等于()A.B.2C.0D.或2答案B解析當(dāng)m0時(shí)，a(1，3，1)，b(2，0，0)，a與b不平行，m0，ab，解得m2.4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，2，1)，B(2，2，2)，點(diǎn)P在z軸上，且滿足|PA|PB|，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(3，0，0) B.(0，3，0)C.(0，0，3) D.(0，0，3)答案C解析設(shè)P(0，0，z)，則有，解得z3.5.已知a(1，0，1)，b(x，1，2)，且ab3，則向量a與b的夾角為()A.B.C.D.答案D解析abx23，x1，b(1，1，2)，cosa，b，又a，b0，a與b的夾角為，故選D.6.如圖，在大小為45的二面角AEFD中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是()A.B.C.1D.答案D解析，|2|2|2|22221113，故|.7.(2019舟山模擬)已知a(2，1，3)，b(1，2，3)，c(7，6，)，若a，b，c三向量共面，則_.答案9解析由題意知cxayb，即(7，6，)x(2，1，3)y(1，2，3)，解得9.8.已知a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，則c_.答案(3，2，2)解析因?yàn)閍b，所以，解得x2，y4，此時(shí)a(2，4，1)，b(2，4，1)，又因?yàn)閎c，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2，2).9.已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VAVBVCVD，.則VA與平面PMN的位置關(guān)系是_.答案平行解析如圖，設(shè)a，b，c，則acb，由題意知bc，abc.，共面.又VA平面PMN，VA平面PMN.10.已知ABCDA1B1C1D1為正方體，()232；()0；向量與向量的夾角是60；正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|.其中正確的序號(hào)是_.答案解析中，()222232，故正確；中，因?yàn)锳B1A1C，故正確；中，兩異面直線A1B與AD1所成的角為60，但與的夾角為120，故不正確；中，|0，故也不正確.11.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足().(1)判斷，三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).解(1)由題意知3，()()，即，共面.(2)由(1)知，共面且過同一點(diǎn)M，M，A，B，C四點(diǎn)共面.點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).12.已知a(1，3，2)，b(2，1，1)，A(3，1，4)，B(2，2，2).(1)求|2ab|；(2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得b？(O為原點(diǎn))解(1)2ab(2，6，4)(2，1，1)(0，5，5)，故|2ab|5.(2)令t(tR)，所以t(3，1，4)t(1，1，2)(3t，1t，42t)，若b，則b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.因此存在點(diǎn)E，使得b，此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)為.13.如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且2，若xyz，則xyz_.答案解析連接ON，設(shè)a，b，c，則()bca，aabc.又xyz，所以x，y，z，因此xyz.14.已知O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是_.答案(1，1，2)解析由題意，設(shè)，則(，2)，即Q(，2)，則(1，2，12)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(12)(22)621266(1)2，當(dāng)1時(shí)取最小值，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1，2).15.(2018溫州高考適應(yīng)性考試)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為，正方體所在空間的動(dòng)點(diǎn)P滿足|2，則的取值范圍是()A.0，4B.1，4C.0，2 D.1，2答案A解析因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以|B1C|2，則由|2得點(diǎn)P在以B1C的中點(diǎn)為球心，為半徑的球面上.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P在直線AD1上的射影為點(diǎn)A，此時(shí)取最小值0，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí)，點(diǎn)P在