可分離變量的方程(5).ppt_第1頁
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一階方程的一般形式為,本節(jié)主要研究能把導(dǎo)數(shù)解出來的一階方程,的解法,這個方程雖然簡單，也常常很難求出解的有限表達式,幾特殊類型的一階微分方程的解法。,所以本節(jié)只討論,特殊類型的一階方程的求解,一階方程有時也可以寫成如下的對稱形式,它既可視為以 x 為自變量以 y 為未知函數(shù)的方程,也可以視為以 y 為自變量,以 x 為未知函數(shù)的方程,很重要的觀點,考慮方程,或?qū)懗?兩邊積分得,但并不是所有的一階方程都能象上面那樣采取兩邊積分的方法來求它的通解,如,困難就在于方程的右端含有未知函數(shù),積分,求不出來,為了解決這個問題,方程的兩邊同乘以,使方程變?yōu)?這樣變量 x , y 已經(jīng)分離在等式的兩端,兩邊積分得,或,可以驗證,是方程的通解,注,y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中,稱為奇解,一、可分離變量的微分方程,可分離變量的微分方程.,這類方程的特點是,經(jīng)過適當(dāng)整理，可使方程的只含有一個變量和其微分,解法,分離變量法,為微分方程的解.,求解步驟,分離變量,兩邊積分,得到隱式通解或通積分,(或?qū)懗蓎(x)(y),討論下列方程那些是可分離變量的微分方程:,是,不是,不是,是,是,是,y1dy2xdx,dy(3x25x)dx,y(1x)(1y2),10ydy10xdx,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分離變量得,兩邊積分,得,即,( C 為任意常數(shù) ),或,說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、,減解.,( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 ),二、典型例題,練習(xí) 求解微分方程,解,分離變量,兩端積分,例2. 解初值問題,解: 分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得 C = 1,( C 為任意常數(shù) ),故所求特解為,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,則,故有,即,解得,( C 為任意常數(shù) ),所求通解:,練習(xí):,解 分離變量,即,( C 0 ),解,由題設(shè)條件,衰變規(guī)律,解,設(shè)鼓風(fēng)機開動后 時刻 的含量為,在 內(nèi),的通入量,的排出量,6分鐘后, 車間內(nèi) 的百分比降低到,例6.,成正比,求,解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程,初始條件為,對方程分離變量,然后積分 :,得,利用初始條件, 得,代入上式后化簡, 得特解,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度,降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.,t 足夠大時,三、小結(jié),分離變量法步驟:,1.分離變量;,2.兩端積分-隱式通解.,注,分離變量時，注意檢查是否有漏解，特別是寫成對稱形

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